Eine Randelementmethode für eine instationäre 2-D Strömung mit einer freien Oberfläche
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Diplomarbeit aus dem Jahr 1999 im Fachbereich Mathematik - Angewandte Mathematik, Note: 1,0, Technische Universität Berlin (Mathematik), Veranstaltung: Numerische Mathematik/Funktionalanalysis, Sprache: Deutsch, Abstract: Inhaltsangabe:Einleitung:Das Thema dieser Arbeit ist aus dem Bereich der numerischen Simulation. Ziel ist es, unter verschiedenen Ausgangskonfigurationen, den zeitlichen Verlauf der Sickerlinie in einem porösen Erdwall darzustellen. Die Möglichkeit, physikalische Vorgänge durch mathematische Verfahren zu modellieren und mit modernen Programmiermethoden zu berechnen, liefe...
Diplomarbeit aus dem Jahr 1999 im Fachbereich Mathematik - Angewandte Mathematik, Note: 1,0, Technische Universität Berlin (Mathematik), Veranstaltung: Numerische Mathematik/Funktionalanalysis, Sprache: Deutsch, Abstract: Inhaltsangabe:Einleitung:
Das Thema dieser Arbeit ist aus dem Bereich der numerischen Simulation. Ziel ist es, unter verschiedenen Ausgangskonfigurationen, den zeitlichen Verlauf der Sickerlinie in einem porösen Erdwall darzustellen. Die Möglichkeit, physikalische Vorgänge durch mathematische Verfahren zu modellieren und mit modernen Programmiermethoden zu berechnen, lieferte die Motivation zur Bearbeitung dieser Aufgabe. Aus der vorliegenden Interdisziplinarität der Fachbereiche resultiert auch die Gliederung der vorliegenden Arbeit.
Gang der Untersuchung:
Zunächst wird das physikalische Problem hergeleitet und dargestellt. Nach der Problembeschreibung werden die theoretischen Grundlagen der zur Anwendung kommenden mathematischen Methoden beschrieben. Das Galerkin-Verfahren wird zur Diskretisierung der hergeleiteten Integralgleichungen verwendet; dadurch entstehen lineare Gleichungssysteme. Zum Abschluß illustrieren grafische Darstellungen die berechneten Ergebnisse für die Erdwall-Probleme, die mit Hilfe von numerischen Vergleichsdaten diskutiert werden.
Schließlich werden knapp die implementierten Algorithmen beschrieben. Ein Ausblick auf weitere Simulationsprobleme bildet den Abschluß dieser Diplomarbeit.
Inhaltsverzeichnis:Inhaltsverzeichnis:
INHALTSVERZEICHNISIV
EinleitungV
1.Grundlagen2
1.1Das Erdwall-Problem2
1.1.1Das Erdwall-Problem mit ansteigendem Wasser5
1.1.2Das Erdwall-Problem mit Drainage6
1.2Die Integralgleichungsmethode8
1.2.1Das Einfachschichtpotential8
1.2.2Das Doppelschichtpotential10
2.Formulierung der Integralgleichungen12
2.1Die Dirichlet-Innenraumaufgabe12
2.2Die Neumann-Innenraumaufgabe14
2.3Die Innenraumaufgabe mit gemischten Randbedingungen16
2.4Die Integralgleichungen des Erdwall-Problems19
2.4.1Die freie Oberflächenrandbedingung in einer finiten Differenzenform20
2.4.2Die Berechnung eines Zeitschritts beim Erdwall-Problem22
2.5Die anderen Erdwall-Probleme23
3.Herleitung der Gleichungssysteme24
3.1Approximation des Gebietes24
3.2Diskretisierung mit dem Galerkin-Verfahren26
3.2.1Diskretisierung der Dirichlet-Integralgleichung28
3.2.2Diskretisierung der Neumann-Integralgleichung29
3.2.3Diskretisierung der Integralgleichung mit gemischten Randbedingungen30
3.3Diskretisierung des Erdwall-Problems31
4.Aufbau der Matrizen33
4.1Berechnung der Doppelintegrale33
4.1.1Bestimmung der Matrix K34
4.1.2Bestimmung der Matrix S41
4.2Bestimmung der Matrix M43
4.3Berechnung des Einfachschichtpotentials (x)44
4.4Berechnung der Normalableitung des Einfachschichtpotentials45
4.5Bestimmung der rechten Seite b des LGS Ax = b47
5.Numerische Ergebnisse49
5.1Löser für lineare Gleichungssystem49
5.1.1cg-Verfahren49
5.1.2Bi-cg-Verfahren50
5.2Beispiele zum Testen der Integraloperatoren52
5.2.1Einfachschichtpotential und Normalableitung des Einfachschichtpotentials52
5.2.2Numerische Berechnung der Laplace-Probleme58
5.2.3Zusammenfassung der Laplace-Probleme71
5.3Darstellung der Erdwall-Probleme74
5.3.1Numerische Lösung des Erdwall-Problems74
5.3.2Numerische Lösung des Erdwall-Problems mit ansteigendem Wasser79
5.3.3Numerische Lösung des Erdwall-Problems mit Drainage81
6.Programm-Dokumentation84
6.1Programmbeschreibung des Erdwall-Problems84
6.2Zusätzliche Routinen für das Erdwall-Problem mit ansteigendem Wasser86
6.3Programmbeschreibung des Erdwall-Problems mit Drainage88
6.4Klassen88
7.Zusammenfassung und Ausblick90
Abbildungsverzeic...
Das Thema dieser Arbeit ist aus dem Bereich der numerischen Simulation. Ziel ist es, unter verschiedenen Ausgangskonfigurationen, den zeitlichen Verlauf der Sickerlinie in einem porösen Erdwall darzustellen. Die Möglichkeit, physikalische Vorgänge durch mathematische Verfahren zu modellieren und mit modernen Programmiermethoden zu berechnen, lieferte die Motivation zur Bearbeitung dieser Aufgabe. Aus der vorliegenden Interdisziplinarität der Fachbereiche resultiert auch die Gliederung der vorliegenden Arbeit.
Gang der Untersuchung:
Zunächst wird das physikalische Problem hergeleitet und dargestellt. Nach der Problembeschreibung werden die theoretischen Grundlagen der zur Anwendung kommenden mathematischen Methoden beschrieben. Das Galerkin-Verfahren wird zur Diskretisierung der hergeleiteten Integralgleichungen verwendet; dadurch entstehen lineare Gleichungssysteme. Zum Abschluß illustrieren grafische Darstellungen die berechneten Ergebnisse für die Erdwall-Probleme, die mit Hilfe von numerischen Vergleichsdaten diskutiert werden.
Schließlich werden knapp die implementierten Algorithmen beschrieben. Ein Ausblick auf weitere Simulationsprobleme bildet den Abschluß dieser Diplomarbeit.
Inhaltsverzeichnis:Inhaltsverzeichnis:
INHALTSVERZEICHNISIV
EinleitungV
1.Grundlagen2
1.1Das Erdwall-Problem2
1.1.1Das Erdwall-Problem mit ansteigendem Wasser5
1.1.2Das Erdwall-Problem mit Drainage6
1.2Die Integralgleichungsmethode8
1.2.1Das Einfachschichtpotential8
1.2.2Das Doppelschichtpotential10
2.Formulierung der Integralgleichungen12
2.1Die Dirichlet-Innenraumaufgabe12
2.2Die Neumann-Innenraumaufgabe14
2.3Die Innenraumaufgabe mit gemischten Randbedingungen16
2.4Die Integralgleichungen des Erdwall-Problems19
2.4.1Die freie Oberflächenrandbedingung in einer finiten Differenzenform20
2.4.2Die Berechnung eines Zeitschritts beim Erdwall-Problem22
2.5Die anderen Erdwall-Probleme23
3.Herleitung der Gleichungssysteme24
3.1Approximation des Gebietes24
3.2Diskretisierung mit dem Galerkin-Verfahren26
3.2.1Diskretisierung der Dirichlet-Integralgleichung28
3.2.2Diskretisierung der Neumann-Integralgleichung29
3.2.3Diskretisierung der Integralgleichung mit gemischten Randbedingungen30
3.3Diskretisierung des Erdwall-Problems31
4.Aufbau der Matrizen33
4.1Berechnung der Doppelintegrale33
4.1.1Bestimmung der Matrix K34
4.1.2Bestimmung der Matrix S41
4.2Bestimmung der Matrix M43
4.3Berechnung des Einfachschichtpotentials (x)44
4.4Berechnung der Normalableitung des Einfachschichtpotentials45
4.5Bestimmung der rechten Seite b des LGS Ax = b47
5.Numerische Ergebnisse49
5.1Löser für lineare Gleichungssystem49
5.1.1cg-Verfahren49
5.1.2Bi-cg-Verfahren50
5.2Beispiele zum Testen der Integraloperatoren52
5.2.1Einfachschichtpotential und Normalableitung des Einfachschichtpotentials52
5.2.2Numerische Berechnung der Laplace-Probleme58
5.2.3Zusammenfassung der Laplace-Probleme71
5.3Darstellung der Erdwall-Probleme74
5.3.1Numerische Lösung des Erdwall-Problems74
5.3.2Numerische Lösung des Erdwall-Problems mit ansteigendem Wasser79
5.3.3Numerische Lösung des Erdwall-Problems mit Drainage81
6.Programm-Dokumentation84
6.1Programmbeschreibung des Erdwall-Problems84
6.2Zusätzliche Routinen für das Erdwall-Problem mit ansteigendem Wasser86
6.3Programmbeschreibung des Erdwall-Problems mit Drainage88
6.4Klassen88
7.Zusammenfassung und Ausblick90
Abbildungsverzeic...
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