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Diplomarbeit aus dem Jahr 1998 im Fachbereich Mathematik - Angewandte Mathematik, Note: 1,0, Universität Siegen (Unbekannt), Sprache: Deutsch, Abstract: Inhaltsangabe:Einleitung:
Das Hauptergebnis dieser Arbeit ist die Erweiterung spezieller Ergebnisse von Dinh Nho Hào, Hans-Jürgen Reinhardt und Adrian Schneider auf allgemeinere Funktionenklassen. Mit Hilfe von Wavelets entwickelten sie unter anderem ein Verfahren zur stabilen Approximation schwacher Ableitungen auf dem Hilbertraum L2(R). Meine Aufgabe war, dieses Verfahren in Theorie und Praxis für Banachräume Lp(Rn) mit Indizes 1punendlich und n kleiner/gleich 1 zu verallgemeinern. Die Bearbeitung dieser Aufgabe gliedert sich wie folgt:
In Kapitel 4 wird mit Hilfe spezieller Wavelets ein Verfahren zur stabilen Approximation partieller Ableitungen auf Banachräumen Lp(Rn) mit Indizes 1punendlich und n Element N hergeleitet. Weitere Schwerpunkte sind die Demonstration der numerische Umsetzung des vorgestellten Verfahrens in Kapitel 5, sowie eine Einführung in die Theorie der Multiresolutionsanalyse für Funktionenräume Lp(Rn) mit Indizes p ungleich 2 in Kapitel 3. Eine knappe Darstellung einiger wichtiger Grundlagen findet man in Kapitel 2, die Diskussion der erzielten Ergebnisse und ein Ausblick auf artverwandte Probleme in Kapitel 6. Der Anhang enthält Nebenrechnungen, sowie eine Auflistung der im Zusammenhang mit dieser Arbeit verwendeten Software.
Die beiden Fälle p=1 und p=unendlich bleiben in den folgenden Betrachtungen ausgeklammert, da die in dieser Arbeit verwendeten Methoden, in den entsprechenden Räumen, aus verschiedenen Gründen, nicht ohne weiteres angewendet werden können. Im Raum L1 existiert keine unbedingte Basis, wohingegen es im Raum L unendlich nicht einmal eine Schauder-Basis geben kann, da er nicht separabel ist. Die vorliegenden Ergebnisse erlauben jedoch die näherungsweise Betrachtung der ausgeschlossenen Grenzfälle. Nicht immer sind die Endpunkte der Skala [1, unendlich] die interessanten Fälle: Treten Polstellen auf, so kann die Messung der Abweichungen von den exakten Daten der Ordnung der Singularitäten angepaßt werden. Man kann das Maß - salopp gesprochen - so maximal wie möglich wählen.
Gang der Untersuchung:Im dritten Kapitel wird der Begriff der Multiresolutionsanalyse eingeführt. Es handelt sich um eine Ausschöpfung des betrachteten Raumes Lp(Rn) durch translations-invariante Unterräume Vj mit Indizes j Element Z, deren Basen durch Skalierung und Translation einer sogenannten Skalierungsfunktion Phi generiert werden können. Sind alle Elemente der Räume Vj von einer gewissen Regularität, so erhält man, unter Zuhilfenahme geeigneter Projektionen, eine einfache Methode zur Glättung gestörter Daten. Die den Skalierungsfunktionen zugeordneten Wavelets werden, obgleich für das Verfahren nicht benötigt, der Vollständigkeit halber, ebenfalls eingeführt. Besonders herausgearbeitet wird die Verallgemeinerung auf den Fall p ungleich 2. Unter technischen Voraussetzungen wird gezeigt, daß die Orthogonalität der Wavelet-Basen in einem Hilbertraum L2(Rn) bereits ihre numerische Stabilität in allen Banachräumen Lp(Rn) mit Indizes 1punendlich impliziert. Es folgt eine Herleitung des Algorithmus der schnellen Wavelet-Transformation in mehreren Dimensionen. Die Angabe konkreter Wavelets, die allen benötigten Anforderungen entsprechen, bildet den Abschluß des dritten Kapitels. Die Konstruktionen von Daubechies und Meyer mit beschränktem Orts- beziehungsweise Frequenzband werden vorgestellt und ihre Eigenschaften anhand einiger Darstellungen illustriert.
Das Verfahren zur stabilen Approximation partieller Ableitungen auf Lp mit Hilfe von Wavelets wird im vierten Kapitel ausführlich vorgestellt. Mit Hilfe einer Ungleichung vom Bernstein-Typ wird gezeigt, daß der Vorgang der Differentiation auf allen Räumen Vj ein gut gestelltes Problem ist. Eine Ungleich...
Das Hauptergebnis dieser Arbeit ist die Erweiterung spezieller Ergebnisse von Dinh Nho Hào, Hans-Jürgen Reinhardt und Adrian Schneider auf allgemeinere Funktionenklassen. Mit Hilfe von Wavelets entwickelten sie unter anderem ein Verfahren zur stabilen Approximation schwacher Ableitungen auf dem Hilbertraum L2(R). Meine Aufgabe war, dieses Verfahren in Theorie und Praxis für Banachräume Lp(Rn) mit Indizes 1punendlich und n kleiner/gleich 1 zu verallgemeinern. Die Bearbeitung dieser Aufgabe gliedert sich wie folgt:
In Kapitel 4 wird mit Hilfe spezieller Wavelets ein Verfahren zur stabilen Approximation partieller Ableitungen auf Banachräumen Lp(Rn) mit Indizes 1punendlich und n Element N hergeleitet. Weitere Schwerpunkte sind die Demonstration der numerische Umsetzung des vorgestellten Verfahrens in Kapitel 5, sowie eine Einführung in die Theorie der Multiresolutionsanalyse für Funktionenräume Lp(Rn) mit Indizes p ungleich 2 in Kapitel 3. Eine knappe Darstellung einiger wichtiger Grundlagen findet man in Kapitel 2, die Diskussion der erzielten Ergebnisse und ein Ausblick auf artverwandte Probleme in Kapitel 6. Der Anhang enthält Nebenrechnungen, sowie eine Auflistung der im Zusammenhang mit dieser Arbeit verwendeten Software.
Die beiden Fälle p=1 und p=unendlich bleiben in den folgenden Betrachtungen ausgeklammert, da die in dieser Arbeit verwendeten Methoden, in den entsprechenden Räumen, aus verschiedenen Gründen, nicht ohne weiteres angewendet werden können. Im Raum L1 existiert keine unbedingte Basis, wohingegen es im Raum L unendlich nicht einmal eine Schauder-Basis geben kann, da er nicht separabel ist. Die vorliegenden Ergebnisse erlauben jedoch die näherungsweise Betrachtung der ausgeschlossenen Grenzfälle. Nicht immer sind die Endpunkte der Skala [1, unendlich] die interessanten Fälle: Treten Polstellen auf, so kann die Messung der Abweichungen von den exakten Daten der Ordnung der Singularitäten angepaßt werden. Man kann das Maß - salopp gesprochen - so maximal wie möglich wählen.
Gang der Untersuchung:Im dritten Kapitel wird der Begriff der Multiresolutionsanalyse eingeführt. Es handelt sich um eine Ausschöpfung des betrachteten Raumes Lp(Rn) durch translations-invariante Unterräume Vj mit Indizes j Element Z, deren Basen durch Skalierung und Translation einer sogenannten Skalierungsfunktion Phi generiert werden können. Sind alle Elemente der Räume Vj von einer gewissen Regularität, so erhält man, unter Zuhilfenahme geeigneter Projektionen, eine einfache Methode zur Glättung gestörter Daten. Die den Skalierungsfunktionen zugeordneten Wavelets werden, obgleich für das Verfahren nicht benötigt, der Vollständigkeit halber, ebenfalls eingeführt. Besonders herausgearbeitet wird die Verallgemeinerung auf den Fall p ungleich 2. Unter technischen Voraussetzungen wird gezeigt, daß die Orthogonalität der Wavelet-Basen in einem Hilbertraum L2(Rn) bereits ihre numerische Stabilität in allen Banachräumen Lp(Rn) mit Indizes 1punendlich impliziert. Es folgt eine Herleitung des Algorithmus der schnellen Wavelet-Transformation in mehreren Dimensionen. Die Angabe konkreter Wavelets, die allen benötigten Anforderungen entsprechen, bildet den Abschluß des dritten Kapitels. Die Konstruktionen von Daubechies und Meyer mit beschränktem Orts- beziehungsweise Frequenzband werden vorgestellt und ihre Eigenschaften anhand einiger Darstellungen illustriert.
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