Richard Courant

Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung (eBook, PDF)

Zweiter Band: Funktionen mehrerer Veränderlicher

• Format: PDF

Produktdetails

• Verlag: Springer-Verlag GmbH
• Seitenzahl: 470
• Erscheinungstermin: 7. März 2013
• Deutsch
• ISBN-13: 9783642619731
• Artikelnr.: 53098611

Autorenporträt

Richard Courant was born in 1888 in a small town of what is now Poland, and died in New Rochelle, N.Y. in 1972. He received his doctorate from the legendary David Hilbert in Göttingen, where later he founded and directed its famed mathematics Institute, a Mecca for mathematicians in the twenties. In 1933 the Nazi government dismissed Courant for being Jewish, and he emigrated to the United States. He found, in New York, what he called "a reservoir of talent" to be tapped. He built, at New York University, a new mathematical Sciences Institute that shares the philosophy of its illustrious predecessor and rivals it in worldwide influence. For Courant mathematics was an adventure, with applications forming a vital part.

Inhaltsangabe

Vorbemerkungen.- Erstes Kapitel Vorbereitungen.- 1. Das Zahlenkontinuum Das System der rationalen Zahlen und die Notwendigkeit seiner Er- weiterung S. 3. - Das. Kontinuum der reellen Zahlen und unendliche Dezimalbrüche S. 6. - Ungleichungen S. 8..- 2. Der Funktionsbegriff Beispiele S. 9. - Begriffliche Formulierung S. 10 - Geometrische Dar- stellung. Stetigkeit. Monotone Funktionen S. 11 - Umkehrfunktionen S.15..- 3. Nähere Betrachtung der elementaren Funktionen Die rationalen Funktionen S. 16 - Algebraische Funktionen S. 18 - Die trigonometrischen Funktionen S. 19. - Exponentialfunktion und Logarithmus S. 20..- 4. Funktionen einer ganzzahligen Veränderlichen-Zahlenfolgen-Vol- ständige Induktion Definition und Beispiele S. 21 - Das Prinzip der vollständigen Induk- tion S. 22 - Beispiel: Die Summe der ersten n Quadrate S. 24..- 5. Der Begriff des Grenzwertes einer Zahlenfolge. Beispiele $${a_n} = {1 over n}$$ S.25. - $${a_{2m}} = {1 over m}$$; $${a_{2m - 1}} = {1 over {2m}}$$ S. 26. - $${a_n} = {n over {n + 1}}$$ S. 27. - $${a_n} = root n of p $$ S. 27. - $${a_n} = {alpha ^n}$$ S. 29 - Zur geometrischen Ver- anschaulichung der Grenzwerte von ?n und $$root n of p $$ S. 30 - Die geometrische Reihe S. 31. - $${a_n} = root n of n $$ S. 32. - $${a_n} = sqrt {n + 1} - sqrt n $$ S. 32. - $${a_n} = {n over {{a_n}}}$$ S.33..- 6. Genauere Erörterung des Grenzwertbegriffes Definition der Konvergenz S. 33 - Zweite Definition der Konvergenz S. 35 - Monotone Folgen S. 36 -Rechnen mit Grenzwerten S. 37 - Die Zahl e S. 38 - Beweis der Irrationalität von e. S. 40 - Die Zahl ? als Grenzwert S. 40 - Das arithmetisch-geometrische Mittel S. 41 - Motivierung der präzisen Grenzwertdefinition S. 42..- 7. Der Begriff des Grenzwertes bei stetigen Veränderlichen Definitionen und Beispiele S. 43 - Motivierung der Begriffsbildung S.45..- 8. Der Begriff der Stetigkeit Definitionen S. 47 - Unstetigkeitspunkte S. 48 - Sätze über stetige Funktionen S. 52..- Anhang I zum ersten Kapitel Vorbemerkungen.- 1. Das Häufungsstellen-Prinzip und seine Anwendungen Das Häufungsstellen-Prinzip S. 54 - Intervallschachtelung und Zahlen- kontinuum S. 55 - Grenzwerte von Zahlenfolgen S. 56 - Beweis des CAUCHYSchen Konvergenzkriteriums S. 58 - Oberer und unterer Häu- fungspunkt, obere und untere Grenze einer Zahlenmenge S. 59..- 2. Sätze über stetige Funktionen Grö?ter und kleinster Wert stetiger Funktionen S. 60 - Die Gleich- mä?igkeit der Stetigkeit S. 61 - Der Zwischenwertsatz S. 63 - Umkehrung einer stetigen monotonen Funktion S. 64 - Weitere Sätze über stetige Funktionen S. 65..- 3. Bemerkungen über die elementaren Funktionen.- Anhang II zum ersten Kapitel.- 1. Polarkoordinaten.- 2. Bemerkungen über komplexe Zahlen.- Zweites Kapitel Grundbegriffe der Integral- und Differentialrechnung.- 1. Das bestimmte Integral Das Integral als Flächeninhalt S. 71 - Die analytische Definition des Integrales S. 72 - Ergänzungen, Bezeichnungen und Grundregeln für das bestimmte Integral S. 74..- 2. Beispiele Erstes Beispiel S. 76 - Zweites Beispiel S. 77 - Integration von x? bei beliebigem positiven ganzzahligen ? S. 78 - Integration von x? für beliebiges rationales ? ?-1 S. 79 - Integration von sin x und cos x S. 80..- 3. Die Ableitung oder der Differentialquotient Differentialquotient und Kurventangente S. 82 - Der Differentialquotient als Geschwindigkeit S. 85.-Beispiele S. 86 - Einige Grundregeln für die Differentiation S. 89.-Differenzierbarkeit und Stetigkeit der Funktionen S. 89 - Höhere Ableitungen und ihre Bedeutung S. 91 - Differentialquotienten und Differenzenquotienten; Bezeichnungen von LEIBNIZ S. 92 - Der Mittelwertsatz S. 94 - Angenäherte Darstellung beliebiger Funktionen durch lineare - Differentiale S. 97 - Be- merkungen über die Anwendungen unserer Begriffe in der Naturwissen- schaft S. 98..- 4. Das unbestimmte Integral, die primitive Funktion und die Fundamentalsätze der Differential- und Integralrechnung Das Integral als Funktion der oberen Grenze S. 100 - Der Differentialquotient des unbestimmten Integrales S. 101 - Die primitive Funktion (Stammfunktion); allgemeine Definition des unbestimmten Integrales S. 103 - Die Verwendung der primitiven Funktion zur Ausführung bestimmter Integrale S. 106 - Einige Beispiele S. 107..- 5. Einfachste Methoden zur graphischen Integration.- 6. Weitere Bemerkungen über den Zusammenhang zwischen dem Integral und dem Differentialquotienten Die Massen Verteilung und Dichte; Gesamtquantität und spezifische Quantität S. 110 - Gesichtspunkte der Anwendungen S. 112..- 7. Integralabschätzungen und Mittelwertsatz der Integralrechnung. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung S. 114 - Anwendung: Integration und Differentiation von x? S. 117..- Anhang zum zweiten Kapitel.- 1. Die Existenz des bestimmten Integrales einer stetigen Funktion.- 2. Zusammenhang des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung.- Drittes Kapitel Differential- und Integralrechnung der elementaren Funktionen.- 1. Die einfachsten Differentiationsregeln und ihre Anwendungen Differentiationsregeln S. 122 - Differentiation der rationalen Funktionen S. 124 - Differentiation der trigonometrischen Funktionen S. 125..- 2. Die entsprechenden Integralformeln Allgemeine Integrationsregeln S. 126 - Integration der einfachsten Funktionen S. 127..- 3. Die Umkehrfunktion und ihr Differentialquotient Die allgemeine Differentiationsformel S. 128 - Die Umkehrfunktionen der Potenzen und der trigonometrischen Funktionen S. 130 - Die zugehörigen Integralformeln S. 134..- 4. Die Differentiation der zusammengesetzten Funktionen Die Kettenregel S. 135 - Beispiele S. 137 - Nochmals Integration und Differentiation von x? für irrationales ? S. 138..- 5. Maxima und Minima Geometrische Bedeutung der zweiten Ableitungen (Konvexität) S. 140 - Maxima und Minima S. 141 - Beispiele für Maxima und Minima S. 144..- 6. Logarithmus und Exponentialfunktion Definition des Logarithmus. Differentiationsformel S. 148 - Das Additionstheorem S. 150 - Monotoner Charakter und Wertevorrat des Logarithmus S. 151 - Die Umkehrfunktion des Logarithmus (Exponentialfunktion) S. 151 - Die allgemeine Exponentialfunktion ?x und die allgemeine Potenz x? S. 153 - Exponentialfunktion und Logarithmus dargestellt durch Grenzwerte S. 154 - Schlu?bemerkungen S. 156..- 7. Einige Anwendungen der Exponentialfunktion Charakterisierung der Exponentialfunktion durch eine Differentialgleichung S. 157 - Stetige Verzinsung. Radioaktiver Zerfall S. 158. - Abkühlung oder Erwärmung eines Körpers in einem umgebenden Medium S. 159 - Abhängigkeit des Luftdruckes von der Höhe über dem Erdboden S. 160 - Verlauf chemischer Reaktionen S. 161 - Ein- und Ausschalten eines elektrischen Stromes S. 162..- 8. Die Hyperbelfunktionen Analytische Definition S. 163 - Additionstheoreme und Differentiationsformeln S. 164.-Die Umkehrfunktionen S. 165.-Weitere Analogien S. 166..- 9. Die Grö?enordnung von Funktionen Begriff der Grö?enordnung. Einfachste Fälle S. 168 - Die Grö?enordnung der Exponentialfunktion und des Logarithmus S. 169.-Allgemeine Bemerkungen S. 171 - Die Grö?enordnung einer Funktion in der Umgebung eines beliebigen Punktes S. 171 - Grö?enordnung des Verschwindens einer Funktion S. 172..- Anhang zum dritten Kapitel.- 1. Betrachtung einiger spezieller Funktionen Die Funktion $$y = {e^{ - {1 over {{x^2}}}}}$$ S. 173. -Die Funktion $$y = {e^{ - {1 over x}}}$$. 174. - Die Funktion $$y = {L_g}{1 over x}$$ S. 174. -Die Funktion $$y = x{L_g}{1 over x}$$ S. 175. - Die Funktion $$y = xsin {1 over x}$$; y(0) = 0 S. 176..- 2. Bemerkungen über die Differenzierbarkeit von Funktionen.- 3. Verschiedene Einzelheiten Beweis des binomischen Satzes S. 177 - Fortgesetzte Differentiation S. 178 - Weitere Beispiele für Anwendung der Kettenregel. Verallgemeinerter Mittelwertsatz S. 179..- Viertes Kapitel Weiterer Ausbau der Integralrechnung.- 1. Zusammenstellung der elementaren Integrale.- 2. Die Substitutionsregel Die Substitutionsformel S. 182 - Neuer Beweis der Substitutionsformel S. 186 - Beispiele. Integrationsformeln S. 187..- 3. Weitere Beispiele zur Substitutionsmethode.- 4. Die Produktintegration Allgemeines S. 191 - Beispiele S. 193 - Rekursionsformeln S. 194. - Die WALLissche Produktzerlegung von ? S. 195..- 5. Integration der rationalen Funktionen Aufstellung der Grundtypen S. 198 - Integration der Grundtypen S. 199 - Die Partialbruchzerlegung S. 200 - Beispiel. Chemische Reaktionen S. 202 - Weitere Beispiele für Partialbruchzerlegung. (Methode der unbestimmten Koeffizienten) S. 203..- 6. Integration einiger anderer Funktionenklassen Vorbemerkungen über die rationale Darstellung der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen S. 205.-Integration von R(cos x, sin x) S. 207 - Integration von $$Rleft( {a,{rm{of}},x,,sin x} right)$$ S. 207 - Integration von R($$x,,sqrt {1 - {x^2}} $$) S. 207 - Integration von R($$x,,sqrt {{x^2} - 1}$$) S. 208 - Integration von R ($$x,,sqrt {{x^2} + 1}$$) S. 208 - Integration von R ($$x,,sqrt {a{x^2} + 2bx + c} $$) S. 208 - Weitere Beispiele für Zurückführung auf Integrale rationaler Funktionen S. 209 - Bemerkungen zu den Beispielen S. 210..- 7. Bemerkungen über Funktionen, die sich nicht mittels der elementaren Funktionen integrieren lassen Definition von Funktionen durch Integrale. Elliptische Integrale S. 211. - Grundsätzliches über Differentiation und Integration S. 213..- 8. Erweiterung des Integralbegriffes. Uneigentliche Integrale Funktionen mit Sprungstellen S. 214 - Funktionen mit Unendlichkeitsstellen S. 214 - Unendliches Integrationsintervall S. 217..- Anhang zum vierten Kapitel.- Der zweite Mittelwertsatz der Integralrechnung..- Fünftes Kapitel Anwendungen.- 1. Darstellung von Kurven Die Parameterdarstellung S. 223-Die zu einer Kurve gehörigen Differentialquotienten bei Parameterdarstellung S. 226 - übergang zu neuen Koordinatensystemen bei Parameterdarstellung S. 228 - Allgemeine Bemerkungen S. 229..- 2. Anwendung auf die Theorie der ebenen Kurven Der Flächeninhalt in rechtwinkligen Koordinaten S. 230 - Die Unabhängigkeit vom Koordinatensystem S. 235.-Beispiel: Ellipse S. 236 - Flächeninhalt in Polarkoordinaten S. 236 - Länge einer Kurve S. 237 - Krümmung S. 241 - Schwerpunkt und statisches Moment einer Kurve S. 243 - Flächeninhalt und Volumen einer Rotationsfläche S. 244 - Trägheitsmoment S. 245..- 3. Beispiele Die Zykloide S. 246 - Kettenlinie S. 247.-Ellipse und Lemniskate S. 248..- 4. Die einfachsten Probleme der Mechanik Grundvoraussetzungen aus der Mechanik S. 249. -Freier Fall. Reibung S. 251 - Die einfachste elastische Schwingung S. 253.-Die allgemeine Bewegung auf einer vorgegebenen Kurve S. 254..- 5. Weitere Anwendungen: Fall eines Massenpunktes auf einer Kurve Allgemeines S. 256 - Diskussion der Bewegung S. 258 - Das gewöhnliche Pendel S. 259. -Das Zykloidenpendel S. 260..- 6. Arbeit Allgemeines S. 261 - Erstes Beispiel. Massenanziehung S. 263 - Zweites Beispiel. Spannen einer Feder S. 264 - Drittes Beispiel. Aufladen eines Kondensators S. 264..- Anhang zum fünften Kapitel.- Eigenschaften der Evolute.- Sechstes Kapitel Die TAYLORsche Formel und die Annäherung von Funktionen durch ganze rationale.- 1. Der Logarithmus und der Arcustangens Der Logarithmus S. 268 - Der Arcustangens S. 271..- 2. Die allgemeine TAYLORsche Formel Die TAYLORsche Formel für ganze rationale Funktionen S. 272 - Die TAYLORsche Formel für eine beliebige Funktion S. 273 - Abschätzung des Restgliedes S. 276..- 3. Anwendungen. Entwicklung der elementaren Funktionen Die Exponentialfunktion. Irrationalität von e S. 278 - sin x, cos x, $$sin x,,a,{rm{of}},x$$ S. 280 - Die binomische Reihe. Ein allgmeiner Satz über Konvergenz der TAYLORschen Reihe einer Funktion mit nicht negativen Ableitungen aller Ordnungen S. 281..- 4, Geometrische Anwendungen Berührung von Kurven S. 285--Der Krümmungskreis als Osku- lationskreis S. 287 - Zur Theorie der Maxima und Minima S. 287..- Anhang zum sechsten Kapitel.- 1. Beispiel einer Funktion, die sich nicht in eine TAYLORsche Reihe lä?t.- 2. Approximation beliebiger stetiger Funktionen durch Polynome und trigonometrische Summen Der Satz von WEIERSTRASS S. 289. - Approximation von x S. 289. - Beweis des WEIERSTRASSschen Approximationssatzes S. 291.- Anwendungen, - Trigonometrische Approximation S. 292..- 3. Nullstellen, Unendlichkeitsstellen von Funktionen und sog. unbestimmte Ausdrücke.- 4. Interpolation Problemstellung und Vorbemerkungen S. 296 - Konstruktion der Lösung. Die NEWTONScheInterpolationsformel S.298 - Restabschätzung S. 300. - Die Interpolationsformel von LAGRANGE S. 302.296.- Siebentes Kapitel Exkurs über numerische Methoden Vorbemerkungen.- 1. Numerische Integration Rechtecksregel S. 303. -Trapezformel und Tangentenformel. S. 304 - Die SIMPSONSche Regel S. 304 - Beispiele S. 305. - Fehlerabschätzung S. 306..- 2. Anwendungen des Mittelwertsatzes und des TAYLORschen Satzes Die "Fehlerrechnung" S. 308. - Berechnung von À S. 310. - Berechnung der Logarithmen S. 311..- 3. Numerische Auflösung von Gleichungen Das Verfahren von NEWTON S. 312 - Regula falsi S. 314 - Beispiel S. 315. -Das Iterationsprinzip S. 315..- Anhang zum siebenten Kapitel.- Die STIRLINGsche Formel.- Achtes Kapitel Unendliche Reihen und andere Grenzprozesse Vorbemerkungen.- 1. Die Begriffe Konvergenz und Divergenz Grundbegriffe S. 321. -Absolute und bedingte Konvergenz S. 323. - Umordnung der Reihenglieder S. 326. - Das Rechnen mit unendlichen Reihen S. 329..- 2. Untersuchung der Konvergenz und Divergenz Das Prinzip der Reihenvergleichung S. 330. -Vergleichung mit der geometrischen Reihe S. 331.- Vergleichung mit einem Integral S. 333..- 3. Grenzübergänge und Reihen von Funktionen einer Veränderlichen Allgemeines S. 335 - Grenzübergänge mit Funktionen und Kurven S.336..- 4. Gleichmä?ige und ungleichmä?ige Konvergenz Allgemeines und Beispiele S. 338 - Kriterium der gleichmä?igen Konvergenz S. 342 - Stetigkeit gleichmä?ig konvergenter Reihen stetiger Funktionen S. 344 - Die Integration gleichmä?ig konvergenter Reihen S. 345 - Differentiation unendlicher Reihen S. 346..- 5. Potenzreihen Das Konvergenzverhalten einer Potenzreihe S. 348 - Die Integration und Differentiation von Potenzreihen S. 350.- Das Rechnen mit Potenzreihen S. 351 - Eindeutigkeitssatz für die Potenzreihen S. 352..- 6. Entwicklung gegebener Funktionen in Potenzreihen. Methode der unbestimmten Koeffizienten. Beispiele Die Exponentialfunktion S. 354 - Die binomische Reihe S. 354 - Die Reihe für arc sin x S. 356 - Die Potenzreihenentwicklung von $${rm{ur s n }}x = log left( {x + sqrt {1 + {x^2}} } right)$$ S. 356 - Beispiel für Reihenmultiplikation S. 357 - Beispiel für gliedweises Integrieren. Elliptisches Integral s. 357..- 7. Potenzreihen mit komplexen Gliedern Einführung komplexer Glieder in Potenzreihen S. 358 - Ausblick auf die allgemeine Theorie analytischer Funktionen S. 360..- Anhang zum achten Kapitel.- 1. Multiplikation und Division von Reihen Multiplikation absolut konvergenter Reihen S. 361. -Multiplikation und Division von Potenzreihen S. 362..- 2. Grenzübergänge, die mit der Exponentialfunktion zusammenhängen Die Gleichmä?igkeit des Grenzüberganges $${left( {1 + {x over n}} right)^n} to {e^x}$$ S. 363.-Bemerkung über Integration und Differentiation der Exponentialfunktion S.365. -Beweis der Formel $$intlimits_0^infty {{e^{ - {x^2}}}dx = {1 over 2}sqrt pi } $$ S. 365..- 3. Unendliche Reihen und uneigentliche Integrale.- 4. ünendüche Produkte.- 5. Weitere Beispiele für unendliche Reihen Verschiedene Entwicklungen S. 370..- Neuntes Kapitel Fouriersche Reihen.- 1. Die periodischen Funktionen Allgemeines S. 373 - Zusammensetzung von reinen Schwingungen. Obertöne. Schwebungen S. 376..- 2. Die Verwendung der komplexen Schreibweise Allgemeine Bemerkungen S. 380 - Anwendung in der Lehre vom Wechselstrom S. 381 - Komplexe Darstellung der Superposition von reinen Schwingungen S. 383 - Ableitung einer trigonometrischen Formel S. 383..- 3. Beispiele für die FOURlERsche Reihe Form der FOURIERschen Reihenentwicklung S. 384 - Entwicklung der Funktionen ?(x)-x und ?(x)=x2 S. 386 - Entwicklung der Funktion x cos x S. 387. -f(x) = f x S. 388. - 5. Beispiel S. 389. - f(x) = sinx S. 389. - Entwicklung der Funktion cos #x03BC; x. Partial- bruchzeriegung des Kotangens. Produktzerlegung des Sinus S. 389. - Weitere Beispiele S. 391..- 4. Beweis der FouRiERSchen Reihenentwicklung Die Konvergenz der FouRiERSchen Reihe einer stückweise glatten Funktion S. 391 - Genauere Untersuchung der Konvergenz - BESSEL- sche Ungleichung S. 396..- 5. Die mittlere Approximation durch trigonometrische Polynome.- Anhang zum neunten Kapitel.- 1. BERNOULLISCHE Polynome und ihre Anwendungen Definition und FOURIER-Entwicklung S. 404 - Erzeugende Funktion und TAYLORSCHE Reihe des trigonometrischen und hyperbolischen Kotangens S. 406 - EULERSCHE Summenformel S. 408 - Anwendungen (konvergente Entwicklungen, Summen von Potenzen, Rekursionsformeln für die BERNOUIXISCHEN Zahlen, EULERSCHE Konstante, STIRLINGS Formel, Asymptotische Reihenauswertungen) S. 410..- 2. Integration von FouRiERSchen Reihen.- 3. Trigonometrische Interpolation Die Interpolationsformel S. 417.-Beispiele zur trigonometrischen Interpolation S. 421..- Zehntes Kapitel Die Differentialgleichungen der einfachsten Schwingungsvorgänge.- 1. Schwingungsprobleme der Mechanik und Physik Einfachste mechanische Schwingungen S. 426 - Elektrische Schwingungen S. 428..- 2. Lösung der homogenen Gleichung. Freie Bewegungen Formale Auflösung S. 429 - Physikalische Deutung der Lösung S. 431 - Anpassung an gegebene Anfangsbedingungen. Eindeutigkeit der Lösung S. 432..- 3. Unhomogene Gleichung. Erzwungene Bewegungen Allgemeine Bemerkungen S. 433.-Lösung der unhomogenen Gleichung S. 435.-Die Resonanzkurve S. 436 - Nähere Diskussion des Schwingungsablaufes S. 439 - Bemerkungen über Registrierinstrumente S. 440..- Schlu?bemerkung.