Rudolf Zurmühl

Praktische Mathematik für Ingenieure und Physiker (eBook, PDF)

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Produktbeschreibung

426 man fordert also Anfangs- und Endordinate der Lösung y (x) im Inter vall (a, b), Abb. 112. An Stelle der Randordinaten (sogenannte erste Randwertaufgabe) lassen sich auch die Randsteigungen y' (a), y' (b) . Y fordern (zweite Randwertaufgabe) oder schließ lich eine Linearkombination zwischen Ordinaten und Steigungen (dritte Randwertaufgabe). Alle jl diese Aufgaben oder auch ihre Kombinationen treten in den Anwendungen auf. . :c Ähnlich wie bei der Anfangswertaufgabe wird Abb. 112 Zur Randwertaufgabe man bei formelmäßiger Lösung versuchen, die in der allgemeinen Lösung enthaltenen freien Integratlonskonstanten aus den beiden Randbedingungen zu bestimmen und so die fragliche Sonderlösung y(x) festzulegen. Prinzipiell scheint sich gegenüber der Anfangswertaufgabe damit kaum etwas geändert zu haben. Bei der Durchführung derartiger Aufgaben aber zeigt sich sehr bald, daß sie im Gegensatz zur Anfangswertaufgabe nicht mehr in jedem Falle lösbar sind. Es treten hier also neue charakteristische Schwierigkeiten auf, zu deren Überwindung besondere Überlegungen notwendig werden. Aber auch die Behandlungsmethoden, insbesondere die uns vornehmlich interessierenden Näherungsverfahren, sind von denen der Anfangswertaufgaben grundverschieden, so daß wir es hier in der Tat mit einem neuen und im übrigen höchst reizvollen Gebiet der praktischen Mathematik zu tun haben, bei dem auch theoretische Fragen mehr als bisher in den Vordergrund treten werden. Die charakteristische Schwierigkeit des Randwertproblems sei an folgendem einfachen Beispiel erläutert. 1. Beispiel: Gegeben sei die - lineare - Differentialgleichung y" + y = 0 mit den Randbedingungen y(O) = 1, y(2) = O.

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Produktdetails

• Verlag: Springer-Verlag GmbH
• Seitenzahl: 542
• Erscheinungstermin: 11. Dezember 2013
• Deutsch
• ISBN-13: 9783642532870
• Artikelnr.: 53135615

Inhaltsangabe

Einführung. Hilfsmittel.- Bemerkungen zum Zahlenrechnen.- Zum Rechenschieber.- Zur Rechenmaschine.- Formelsprache ALGOL.- I. Kapitel Gleichungen.- 1 Allgemeine Gleichungen mit einer Unbekannten.- 1.1 Einführung.- 1.2 Graphische Näherungslösung.- 1.3 Verbesserung nach Newton.- 1.4 Newton-Verbesserung höherer Ordnung.- 1.5 Lineare und quadratische Interpolation.- 1.6 Iteration.- 1.7 Konvergenzfragen. Lineare und quadratische Konvergenz.- 1.8 Konvergenzbeschleunigung bei linearer Konvergenz.- 1.9 Regula falsi mit fastquadratischer Konvergenz.- 1.10 Komplexe Wurzeln.- 1.11 System zweier Gleichungen für zwei Unbekannte.- 2 Algebraische Gleichungen: Horner-Schema.- 2.1 Überblick. Allgemeine Eigenschaften.- 2.2 Das Horner-Schema.- 2.3 Das vollständige Horner-Schema.- 2.4 Newtonsche Wurzelverbesserung.- 2.5 Automatische Durchführung bei nur reellen Wurzeln.- 2.6 Kubische Gleichung.- 2.7 Gleichung 4. Grades.- 2.8 Das doppelzeilige Horner-Schema.- 2.9 Das Bairstow-Verfahren.- 3 Algebraische Gleichungen: Verfahren von Graeffe.- 3.1 Prinzip und Rechenschema des Graeffe-Verfahrens.- 3.2 Graeffe-Verfahren bei reellen Wurzeln.- 3.3 Ein Beispiel.- 3.4 Graeffe-Verfahren bei komplexen Wurzeln.- 3.5 Bestimmung komplexer Wurzeln nach Brodetsky-Smeal.- 3.6 Beispiel zu Brodetsky-Smeal.- 4 Stabilitätskriterien. Verfahren des Routh-Kriteriums.- 4.1 Fragestellung.- 4.2 Die Sturmsche Kette.- 4.3 Ortskurvenkriterium.- 4.4 Das Routh-Kriterium.- 4.5 Verallgemeinertes Routh-Kriterium.- 4.6 Verfahren von Collatz.- II. Kapitel Lineare Gleichungen und Matrizen.- 5 Der Gausssche Algorithmus.- 5.1 Prinzip des Algorithmus.- 5.2 Der verkettete Algorithmus.- 5.3 Zeilenvertauschung bei bii = 0.- 5.4 Symmetrische Koeffizientenmatrix.- 5.5 Allgemeine homogene Gleichungssysteme.- 5.6 Allgemeine inhomogene Gleichungen.- 6 Matrizen.- 6.1 Allgemeine Definitionen und Begriffe.- 6.2 Matrizenmultiplikation.- 6.3 Sätze über Matrizenmultiplikation.- 6.4 Sonderfälle von Matrizenprodukten.- 6.5 Quadratische Formen.- 6.6 Der verkettete Algorithmus als Matrizenoperation.- 7 Die Kehrmatrix.- 7.1 Begriff und Herleitung der Kehrmatrix.- 7.2 Berechnung der Kehrmatrix.- 7.3 Matrizendivision.- 7.4 Kehrmatrix bei symmetrischer Matrix.- 7.5 Ähnlichkeitstransformation.- 8 Iterative Behandlung linearer Gleichungssysteme.- 8.1 Das Gauss-Seidelsche Iterationsverfahren.- 8.2 Konvergenz des Verfahrens.- 8.3 Ein Beispiel.- 8.4 Weitere Iterationsverfahren.- 8.5 Nachträgliche Korrekturen.- 9 Das Eigenwertproblem.- 9.1 Aufgabenstellung.- 9.2 Das System der Eigenvektoren.- 9.3 Entwicklungssatz. Iterierte Vektoren.- 9.4 Überblick über Lösungsmethoden.- 9.5 Die allgemeine Eigenwertaufgabe.- 10 Eigenwertaufgabe: Iterative Methoden.- 10.1 Das v. Misessche Iterationsverfahren.- 10.2 Betragsgleiche und betragsnahe Eigenwerte.- 10.3 Der Rayleigh-Quotient und seine Verallgemeinerungen.- 10.4 Automatenrechnung. Programme.- 10.5 Transformation der Eigenwerte. Gebrochene Iteration.- 10.6 Gebrochene Iteration nach Wielandt.- 10.7 Bestimmung höherer Eigenwerte: Verfahren von Koch.- III. Kapitel Interpolation und Integration.- 11 Allgemeine Interpolationsformeln.- 11.1 Aufgabenstellung.- 11.2 Unmittelbarer Polynomansatz.- 11.3 Lagrangesche Interpolationsformel.- 11.4 Newtonsche Interpolationsformel.- 11.5 Steigungen, Ableitungen und Restglied.- 11.6 Hermitesche Interpolation.- 12 Spezielle Interpolationsformeln.- 12.1 Das Differenzenschema.- 12.2 Interpolationsformeln von Gregory-Newton.- 12.3 Interpolationsformeln von Gauss.- 12.4 Formel von Everett-Laplace.- 12.5 Formeln von Stirling und Bessel.- 13 Numerische Integration.- 13.1 Mittelwertformeln.- 13.2 Trapez- und Simpson-Regel.- 13.3 Andere Herleitung der Simpson-Regel.- 13.4 Die 3/8-Regel. Kombination mit der Simpson-Regel.- 13.5 Allgemeine Mittelwertformeln. Restglied. Fehlerschätzung.- 13.6 Quadraturformeln von Gauss.- 13.7 Differenzenformeln.- 13.8 Verwendung von Ableitungen.- 13.9 Beispiele.- 13.10 Mehrfache Integration.- 14 Graphische Integration.- 14.1 Einfache Integration.- 14.2 Maßstabsfragen.- 14.3 Ein Beispiel.- IV. Kapitel Statistik und Ausgleichsrechnung.- 15 Verteilung der Grundgesamtheit.- 15.1 Zufallsexperiment und Zufallsereignis.- 15.2 Wahrscheinlichkeit.- 15.3 Stochastische Unabhängigkeit.- 15.4 Stochastische Veränderliche. Verteilung.- 15.5 Die Verteilungsfunktion.- 15.6 Mittelwert und Streuung.- 15.7 Mittelwert und Streuung mehrerer Variabler.- 16 Die Stichprobe.- 16.1 Stichprobenmittel und Stichprobenstreuung.- 16.2 Praktische Berechnung von $$bar x$$ und s2.- 16.3 Prüfen auf Normalverteilung: Wahrscheinlichkeitspapier.- 17 Die Stichprobenverteilungen.- 17.1 Verteilung des Stichprobenmittels: Vertrauensgrenzen für ?.- 17.2 Die t-Verteilung: Vertrauensgrenzen für ?.- 17.3 Verteilung von s2: Die ?2-Verteilung.- 18 Statistische Prüfverfahren.- 18.1 Vorgehensweise. Fehler erster und zweiter Art.- 18.2 Prüfgrößen.- 18.3 Prüfen auf Mittelwert.- 18.4 Vergleich zweier Mittelwerte.- 18.5 Prüfen auf Streuung. Kontrollkarten.- 18.6 Der ?2-Test.- 18.7 Zweiseitiges Risiko.- 19 Ausgleichsrechnung: Direkte Beobachtungen.- 19.1 Ausgleich direkter Beobachtungen gleicher Genauigkeit.- 19.2 Direkte Beobachtungen ungleicher Genauigkeit.- 19.3 Das Fehlerfortpflanzungsgesetz.- 20 Ausgleich vermittelnder Beobachtungen.- 20.1 Die Fehlergleichungen.- 20.2 Die Normalgleichungen.- 20.3 Mittelwert und Streuung der Unbekannten.- 20.4 Mittlere Fehler und Vertrauensgrenzen.- 20.5 Beobachtungen ungleicher Genauigkeit.- 21 Ausgleichsparabeln.- 21.1 Aufgabenstellung. Normalgleichungen.- 21.2 Ein Beispiel.- 21.3 Gleichabständige Funktionswerte.- 21.4 Numerisches Differenzieren.- 21.5 Glätten von Beobachtungswerten.- V. Kapitel Approximation.- 22 Mittlere Approximation.- 22.1 Allgemeine Approximationsaufgabe. Überblick.- 22.2 Allgemeine Form der Normalgleichungen.- 22.3 Approximation durch Polynome.- 22.4 Orthogonalsysteme.- 22.5 Orthogonalisierungsverfahren.- 22.6 Legendresche Kugelfunktionen.- 23 Harmonische Analyse.- 23.1 Aufgabenstellung. Die Fourier-Koeffizienten.- 23.2 Numerische Bestimmung der Fourier-Koeffizienten (Schemaverfahren).- 23.3 Verfahren von Runge und Zipperer.- 24 Gleichmäßige Polynomapproximation.- 24.1 Die Aufgabe.- 24.2 Transformation auf periodische Funktion.- 24.3 T-Polynome.- 24.4 Angenähert gleichmäßige Approximation.- 24.5 Vorgehen bei symmetrischer Funktion f(x).- 24.6 Beispiele.- VI. Kapitel Differentialgleichungen. Anfangswertaufgaben.- 25 Grundgedanken. Zeichnerische Verfahren.- 25.1 Allgemeine Bemerkungen.- 25.2 Differentialgleichung erster Ordnung. Richtungsfeld, Isoklinen.- 25.3 Euler-Cauchyscher Streckenzug.- 25.4 Genauigkeitsverhältnisse.- 25.5 Trapezregel. Iteration.- 25.6 Differentialgleichung zweiter Ordnung.- 26 Differenzenverfahren.- 26.1 Die Simpson-Regel.- 26.2 Numerische Stabilität.- 26.3 Numerisch stabile Integrationsformeln.- 26.4 Die Anlaufrechnung.- 26.5 Integrationsformeln mit Ableitungen. Systeme.- 26.6 Differentialgleichungen zweiter und höherer Ordnung.- 27 Das Runge-Kutta-Verfahren.- 27.1 Verfahren für Differentialgleichungen erster Ordnung.- 27.2 Genauigkeitsordnung, Schrittweite.- 27.3 Differentialgleichungen zweiter Ordnung: Nyström-Verfahren.- 27.4 Systeme von Differentialgleichungen.- 27.5 Schrittbemessung.- VII. Kapitel Differentialgleichungen: Band- und Eigenwertaufgaben.- 28 Einführung.- 28.1 Aufgabenstellung: Einfache Beispiele.- 28.2 Lineare Randwertaufgaben.- 28.3 Das Eigenwertproblem.- 28.4 Beispiele für lineare Randwertaufgaben.- 28.5 Beispiele linearer Eigenwertaufgaben.- 29 Behandlung als Anfangswertaufgabe.- 29.1 Lineare Randwertaufgaben.- 29.2 Lineare Eigenwertaufgaben.- 29.3 Übertragungsmatrizen.- 29.4 Berechnung der Y durch Reihenentwicklung.- 29.5 Berechnung von Y nach Runge-Kutta.- 29.6 Zwischenbedingungen.- 30 Differenzenverfahren.- 30.1 Prinzip. Herleitung verbesserter Differenzenformeln.- 30.2 Ein Beispiel.- 30.3 Randformeln.- 30.4 Numerische Durchführung.- 30.5 Längs- und Biegeschwingungen.- 30.6 Allgemeine Mehrstellenausdrücke nach Falk.- 31 Verfahren von Rayleigh-Ritz.- 31.1 Das Rayleighsche Prinzip.- 31.2 Rayleigh-Quotient als Näherung für ?1.- 31.3 Eigenwert in den Randbedingungen.- 31.4 Das Ritzsche Verfahren.- 31.5 Beispiele zum Ritz-Verfahren.- 32 Schematisierung des Ritz-Verfahrens.- 32.1 Grundgedanken, Bezeichnungen.- 32.2 Die Feldverformung.- 32.3 Feldausdrücke und Feldmatrizen.- 32.4 Aufbau der Systemmatrizen.- 32.5 Beispiel.- 32.6 Automatischer Matrizenaufbau.- 32.7 Veränderliche Koeffizienten.- 32.8 Numerische Durchführung. Höhere Eigenwerte.- 33 Ergänzungen zum Rayleigh-Ritz-Verfahren.- 33.1 Rayleigh-Quotient aus der Differentialgleichung.- 33.2 Das Ritzsche Verfahren mit R*[u].- 33.3 Die Galerkinschen Gleichungen.- 33.4 Verfahren von Grammel.- 33.5 Herleitung der Differentialgleichung aus der Extremalforderung.- 33.6 Orthogonalität, Entwicklung, Minimaleigenschaften.- 33.7 Eigenschaften der Ritz-Näherungen.- 34 Verfahren der schrittweisen Näherung (Iteration).- 34.1 Allgemeiner Gang des Verfahrens.- 34.2 Numerische Integration.- 34.3 Beispiele.- 34.4 Konvergenz des Verfahrens.- 34.5 Die Schwarzschen Konstanten und Quotienten.- 34.6 Berechnung der höheren Eigenwerte.- Namen- und Sachverzeichnis.