Wahrend m dem Tell uber tngonometrische Reihen das Haupt mteresse auf der Konvergenzfrage hegt, werden in dem Teil uber Ortho gonalpolynome mehr die mdlvlduellen Eigenschaften derselben in den Vordergrund gestellt und auch zwel Paragraphen uber dIe allgemeinen Kugelfunktionen hmzugefugt. Ich erlaube mir, den Leser auf meine einheltliche Behandlung der sog. "klasslschen" Orthogonalpolynome aufmerksam zu machen, dIe auf einer verallgemeinerten "RODRIGUEZ-Formula" beruht. Es wlrd ferner einiges fiber neue Untersuchungen asymptotischer Eigenschaften der Orthogonalpolynome und ihrer Nullstellen…mehr
Wahrend m dem Tell uber tngonometrische Reihen das Haupt mteresse auf der Konvergenzfrage hegt, werden in dem Teil uber Ortho gonalpolynome mehr die mdlvlduellen Eigenschaften derselben in den Vordergrund gestellt und auch zwel Paragraphen uber dIe allgemeinen Kugelfunktionen hmzugefugt. Ich erlaube mir, den Leser auf meine einheltliche Behandlung der sog. "klasslschen" Orthogonalpolynome aufmerksam zu machen, dIe auf einer verallgemeinerten "RODRIGUEZ-Formula" beruht. Es wlrd ferner einiges fiber neue Untersuchungen asymptotischer Eigenschaften der Orthogonalpolynome und ihrer Nullstellen berichtet. 1m allgemeinen habe ich mich bemuht, das bekannte und ausgezeichnete, aber in eimgen Punkten schon etwas veraltete Buch von G. SZEGO uber orthogonale Polynome hier und da zu ergimzen, soweit das im Rahmen eines didak tischen Buches moglich war. 1m groBen und ganzen ist das vorliegende Buch eme Ubersetzung meiner vergriffenen "Sene ortogonali di funzioni" , welche 1948 in hektographierter Form (bei Gheroni, Turin) erschienen war, jedoch mit vielen Verbesserungen und Zusatzen, die ihm ein neues Gesicht geben. An Vorkenntnissen ist der Inhalt der "Unendlichen Relhen" von K. KNOPP nfitzlich, doch kommt man auch mit geringeren Vorausset zungen aus. Vor allem braucht der Leser aber eine gute Kenntnis der Dlfferential-und Integralrechnung mIt EmschluB (wenn moghch!) des LEBEsGuEschen Integrals.
I. Orthogonale Funktionensysteme.- l. Voraussetzungen.- 2. Orthogonalisierung eines Funktionensystems.- 3. Orthogonale Polynome.- 4. Approximation im Mittel.- 5. Abzählbarkeit eines orthogonalen Funktionensystems.- 6. Vollständige Funktionensysteme, Parsevalsche Gleichung.- 7. Konvergenz im Mittel.- 8. Der Satz von Weyl über die Konvergenz im Mittel.- 9. Der Satz von Fischer-Riesz.- 10. Abgeschlossene Funktionensysteme, Äquivalenz von Abgeschlossenheit und Vollständigkeit.- 11. Die Bedingungen von Lauricella, Vitali und Dalzell für die Vollständigkeit eines Funktionensystems.- 12. Vollständigkeit des Systems der trigonometrischen Funktionen.- 13. Vollständigkeit des Systems der Potenzen von x.- 14- Folgerungen aus der Parsevalschen Gleichung.- 15. Verallgemeinerung der Parsevalschen Gleichung.- 16. Weitere Verallgemeinerungen und Hinweise.- II. Allgemeine Theorie der trigonometrischen Reihen.- l. Einleitung.- 2. Entwicklung der total stetigen Funktionen.- 3. sin- und cos-Reihen.- 4. Beispiele für Fourier-Entwicklungen.- 5. Der zweite Mittelwertsatz der Integralrechnung. Funktionen mit beschränkter Schwankung.- 6. Das Verhalten der Fourier-Koeffizienten für n ? ?.- 7. Der Riemannsche Satz über das lokale Verhalten einer Fourier-Reihe.- 8. Einfache Folgerungen aus dem Riemannschen Satz.- 9. Konvergenzbedingungen von Dirichlet, Dini und Lipschitz.- 10. Über eine Eigenschaft der Partialsummen einer Fourier-Reihe.- III. Konvergenzeigenschaften der trigonometrischen Reihen.- 1. Über die absolute Konvergenz trigonometrischer Reihen.- 2. Über die gleichmäßige Konvergenz, die Integration und Differentiation der trigonometrischen Reihen.- 3. Über das CesàroscheSummationsverfahren.- 4. Der Fejérsche Satz über die C1-Summierbarkeit der Fourier-Reihen.- 5. Der Satz von Frobenius und die Abelsche Summation von Fourier-Reihen.- 6. Die Riemannsche Summationsmethode.- 7. Der Eindeutigkeitssatz für trigonometrische Reihen.- 8. Das Fouriersche Integral.- 9. Eigenschaften der Fourierschen Transformation.- IV. Allgemeine Eigenschaften von orthogonalen Polynomen.- 1. Einleitung.- 2. Die Rekursionsformel und die Summationsformel von Christoffel-Darboux.- 3. Die Formel von Rodriguez.- 4. Die Differentialgleichung der klassischen orthogonalen Polynome.- 5. Änderung der Belegungsfunktion.- 6. Über die Lage der Nullstellen eines orthogonalen Polynoms.- V. Orthogonale Polynome mit endlichem Grundintervall.- l. Eigenschaften der Eulerschen Funktionen.- 2. Haupteigenschaften der hypergeometrischen Funktion.- 3. Haupteigenschaften der konfluenten hypergeometrischen Funktion.- 4. Jacobische Polynome.- 5. Weitere Eigenschaften der Jacobischen Polynome.- 6. Die Nullstellen der Jacobischen Polynome.- 7. Ultrasphärische Polynome (Gegenbauersche Polynome).- 8. Die Nullstellen der ultrasphärischen Polynome.- 9. Tschebyscheffsche Polynome.- 10. Legendresche Polynome.- 11. Die zweite Lösung der Legendreschen Differentialgleichung.- 12. Kugelfunktionen mit ganzen Indizes.- 13. Kugelfunktionen mit beliebigen Indizes.- VI. Orthogonale Polynome mit unendlichem Grundintervall.- 1. Laguerresche Polynome.- 2. Asymptotisches Verhalten und Nullstellen der Laguerreschen Polynome.- 3. Hermitesche Polynome.- 4. Über das Konvergenz verhalten der Reihen von Jacobischen Polynomen.- 5. Vollständigkeit der Laguerreschen und Hermiteschen Polynome.- 6. Entwicklung in eineReihe Laguerrescher Polynome.- 7. Beispiele für Reihenentwicklungen nach orthogonalen Polynomsystemen mit endlichem Grundintervall.- 8. Beispiele für Reihenentwicklungen nach Laguerreschen und Hermiteschen Polynomen.- Tabelle der Konstanten der orthogonalen Polynome.- Namenverzeichnis.
I. Orthogonale Funktionensysteme.- l. Voraussetzungen.- 2. Orthogonalisierung eines Funktionensystems.- 3. Orthogonale Polynome.- 4. Approximation im Mittel.- 5. Abzählbarkeit eines orthogonalen Funktionensystems.- 6. Vollständige Funktionensysteme, Parsevalsche Gleichung.- 7. Konvergenz im Mittel.- 8. Der Satz von Weyl über die Konvergenz im Mittel.- 9. Der Satz von Fischer-Riesz.- 10. Abgeschlossene Funktionensysteme, Äquivalenz von Abgeschlossenheit und Vollständigkeit.- 11. Die Bedingungen von Lauricella, Vitali und Dalzell für die Vollständigkeit eines Funktionensystems.- 12. Vollständigkeit des Systems der trigonometrischen Funktionen.- 13. Vollständigkeit des Systems der Potenzen von x.- 14- Folgerungen aus der Parsevalschen Gleichung.- 15. Verallgemeinerung der Parsevalschen Gleichung.- 16. Weitere Verallgemeinerungen und Hinweise.- II. Allgemeine Theorie der trigonometrischen Reihen.- l. Einleitung.- 2. Entwicklung der total stetigen Funktionen.- 3. sin- und cos-Reihen.- 4. Beispiele für Fourier-Entwicklungen.- 5. Der zweite Mittelwertsatz der Integralrechnung. Funktionen mit beschränkter Schwankung.- 6. Das Verhalten der Fourier-Koeffizienten für n ? ?.- 7. Der Riemannsche Satz über das lokale Verhalten einer Fourier-Reihe.- 8. Einfache Folgerungen aus dem Riemannschen Satz.- 9. Konvergenzbedingungen von Dirichlet, Dini und Lipschitz.- 10. Über eine Eigenschaft der Partialsummen einer Fourier-Reihe.- III. Konvergenzeigenschaften der trigonometrischen Reihen.- 1. Über die absolute Konvergenz trigonometrischer Reihen.- 2. Über die gleichmäßige Konvergenz, die Integration und Differentiation der trigonometrischen Reihen.- 3. Über das CesàroscheSummationsverfahren.- 4. Der Fejérsche Satz über die C1-Summierbarkeit der Fourier-Reihen.- 5. Der Satz von Frobenius und die Abelsche Summation von Fourier-Reihen.- 6. Die Riemannsche Summationsmethode.- 7. Der Eindeutigkeitssatz für trigonometrische Reihen.- 8. Das Fouriersche Integral.- 9. Eigenschaften der Fourierschen Transformation.- IV. Allgemeine Eigenschaften von orthogonalen Polynomen.- 1. Einleitung.- 2. Die Rekursionsformel und die Summationsformel von Christoffel-Darboux.- 3. Die Formel von Rodriguez.- 4. Die Differentialgleichung der klassischen orthogonalen Polynome.- 5. Änderung der Belegungsfunktion.- 6. Über die Lage der Nullstellen eines orthogonalen Polynoms.- V. Orthogonale Polynome mit endlichem Grundintervall.- l. Eigenschaften der Eulerschen Funktionen.- 2. Haupteigenschaften der hypergeometrischen Funktion.- 3. Haupteigenschaften der konfluenten hypergeometrischen Funktion.- 4. Jacobische Polynome.- 5. Weitere Eigenschaften der Jacobischen Polynome.- 6. Die Nullstellen der Jacobischen Polynome.- 7. Ultrasphärische Polynome (Gegenbauersche Polynome).- 8. Die Nullstellen der ultrasphärischen Polynome.- 9. Tschebyscheffsche Polynome.- 10. Legendresche Polynome.- 11. Die zweite Lösung der Legendreschen Differentialgleichung.- 12. Kugelfunktionen mit ganzen Indizes.- 13. Kugelfunktionen mit beliebigen Indizes.- VI. Orthogonale Polynome mit unendlichem Grundintervall.- 1. Laguerresche Polynome.- 2. Asymptotisches Verhalten und Nullstellen der Laguerreschen Polynome.- 3. Hermitesche Polynome.- 4. Über das Konvergenz verhalten der Reihen von Jacobischen Polynomen.- 5. Vollständigkeit der Laguerreschen und Hermiteschen Polynome.- 6. Entwicklung in eineReihe Laguerrescher Polynome.- 7. Beispiele für Reihenentwicklungen nach orthogonalen Polynomsystemen mit endlichem Grundintervall.- 8. Beispiele für Reihenentwicklungen nach Laguerreschen und Hermiteschen Polynomen.- Tabelle der Konstanten der orthogonalen Polynome.- Namenverzeichnis.
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