Adalbert Duschek
Vorlesungen über höhere Mathematik
Integration und Differentiation der Funktionen von mehreren Veränderlichen. Lineare Algebra. Tensorfelder. Differentialgeometrie
Adalbert Duschek
Vorlesungen über höhere Mathematik
Integration und Differentiation der Funktionen von mehreren Veränderlichen. Lineare Algebra. Tensorfelder. Differentialgeometrie
- Broschiertes Buch
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Produktdetails
- Verlag: Springer / Springer Vienna / Springer, Wien
- Artikelnr. des Verlages: 978-3-7091-7148-6
- 3. Aufl.
- Seitenzahl: 416
- Erscheinungstermin: 12. Oktober 2011
- Deutsch
- Abmessung: 235mm x 155mm x 23mm
- Gewicht: 635g
- ISBN-13: 9783709171486
- ISBN-10: 3709171482
- Artikelnr.: 39498175
I. Grundbegriffe.- Differentiation der Funktionen von mehreren Veränderlichen.- 1. Ergänzungen aus der Lehre von den Punktmengen.- 1. Ebene Punktmengen.- 2. Der n-dimensionale Raum.- 3. Gebiet und Bereich.- 4. Die Fernpunkte des Gn.- 5. Der Inhalt einer Punktmenge.- 2. Funktionen mehrerer Variabler. Grenzwert und Stetigkeit.- 1. Der allgemeine Funktionsbegriff.- 2. Beispiele.- 3. Zwei- und dreireihige Determinanten.- 4. Der Grenzwert einer Funktion.- 5. Stetige Funktionen.- 6. Die Randwerte einer Funktion.- 7. Zusammengesetzte Funktionen.- 3. Differentiation der Funktionen von mehreren Veränderlichen.- 1. Die partiellen Ableitungen.- 2. Stetigkeit und Differenzierbarkeit.- 3. Der Satz von Schwarz.- 4. Das erste totale Differential einer Funktion von zwei Veränderlichen.- 5. Totale Differentiale im allgemeinen.- 6. Die Differentiation zusammengesetzter Funktionen und die Kettenregel.- 7. Implizite Funktionen.- 8. Zwei Gleichungen zwischen vier Veränderlichen.- 4. Homogene Funktionen.- 1. Definition und Beispiele.- 2. Die Eulereche Differentialgleichung der tetig differenzierbaren homogenen Funktionen.- 3. Binäre quadratische Formen.- 4. Die Hauptachsentransformation der Kegelschnitte.- 5. Die Taylorsche Formel.- 1. Herleitung der Taylorschen Formel.- 2. Der Mittelwertsatz.- 3. Das Taylorpolynom T1 und die Tangentenebene einer Fläche.- 4. Verallgemeinerung des Newtonschen und des Iterationsverfahrens.- 5. Das Taylorpolynom Tr Die verschiedenen Arten der Punkte eineT2. Die verschiedenen Arten der Punkte einer Fläche.- 6. Doppelfolgen und Doppelreihen.- 1. Doppelfolgen.- 2. Simultane und sukzessive Grenzübergänge bei stetigen Veränderlichen.- 3. Funktionenfolgen. Ein Satz von DINI.- 4. Doppelreihen.- 5. Potenzreihen in mehreren Veränderlichen.- 6. Taylorsche Reihen in mehreren Veränderlichen..- 7. Koordinatentransformation, Punkttransformation und Abbildung zweier Ebenen oder Räume.- 1. Die Abbildung zweier Ebenen und der Begriff der Koordinatentransfurmation.- 2. Die Punkttransformation oder Abbildung einer Ebene auf sich selbst.- 3. Die geometrische Bedeutung der Funktionaldeterminante.- 4. Abhängige Funktionen.- 5. Die analytische Darstellung der Kurven und Flächen im Raum..- 6. Transformation und Abbildung im Raum.- 7. Die affine Abbildung.- 8. Die projektive Abbildung.- 9. Elliptische oder Lamésche Koordinaten.- 10. Transformationsgruppen.- 11. Zur projektiven Geometrie.- 8. Ebene Kurven.- 1. Tangente, Normale und Berührungsgrößen.- 2. Asymptoten.- 3. Singuläre Punkte.- 4. Berührung von Kurven. Wendepunkte, Krümmungskreis und Scheitel.- 5. Die Krümmung einer Kurve.- 6. Hülkurven.- 7. Evolute und Evolvente.- 8. Spezielle Kurven.- 9. Bemerkungen zur Kurvendiskussion.- 9. Extrema von Funktionen mehrerer Variabler.- 1. Notwendige Bedingungen bei zwei unabhängigen Veränderlichen.- 2. Hinreichende Bedingungen.- 3. Funktionen von n unabhängigen Veränderlichen.- 4. Extrema unter einer Nebenbedingung.- 5. Extrema unter mehreren Nebenbedingungen.- 6. Die Methode der kleinsten Quadrate und die Approximation empirischer Funktionen.- 10. Grundbegriffe der Vektorrechnung.- 1. Punkte, Strecken und Vektoren.- 2. Addition und Subtraktion von Vektoren. Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl.- 3. Länge eines Vektors.- 4. Linear abhängige und linear unabhängige Vektoren.- 5. Das innere oder skalare Produkt zweier Vektoren.- 6. Normierte Dreibeine und Maßvektoren.- 7. Das äußere oder vektorielle Produkt von zwei Vektoren.- 8. Geometrische Anwendungen.- 9. Der Schnitt von p Ebenen.- 10. Vektoren als Funktionen eines Parameters. Tangentenvektor einer Raumkurve.- 11. Tangentenebene und Normalenvektor einer Fläche.- 12. Die Richtungsablcitung einer Funktion.- 13. Vektoren in einer Ebene.- II. Die Integration der Funktionen von mehreren Veränderlichen.- 11. Integrale als Funktionen eines Parameters.- 1. Durch bestimmte Integrale dargestellte Funktionen.- 2. Differentiation unter dem Integralzeichen.- 3. Integration unter dem Integralzeichen.- 4. Durch uneigentlichc IntcgTalc dargestellte Funktionen.- 5. Integration und Differentiation gleichmäßig konvergenter uneigentlicher Integrale.- 6. Beispiele.- 7. Integrale unstetiger Funktionen.- 12. Kunrenintegrale und lineare Differentialformen.- 1. Der Begriff des Kurvenintegrals.- 2. Die Integration totaler Differentiale.- 3. Die Integrabilititsbcdingung der binären linearen Difiercntialformen.- 4. Exakte Differentialgleichungen.- 5. Kurvenintegrale im Gn.- 6. Theorie des Polarplanimeters.- 13. Bereichsintegrale.- 1. Der Begriff des Bereichsintegrals für ebene Bereiche.- 2. Die Zerlegung des Bereiches B in Teilbereiche.- 3. Beweis der Ungleichung J* ? J*.- 4. Ausgezeichnete Zerlegungsfolgen. Weitere Sätze über integrierbare Funktionen.- 5. Beispiele.- 6. Sätze über Bereichsintegrale.- 7. Zurückführung eines Bereichs-Integrals auf zwei einfache Integrale.- 8. Transformation der Doppclintegrale.- 9. Integrale über drei- und mehrdimensionale Bereiche.- 10. Uneigentliche Integrale.- 11. Die lntegralsätze von Gauss und Green für die Ebene.- 12. Die Bereichsdifferentiation.- 13. Die Approximation von Funktionen.- 14. Mehrfache Integrale in Geometrie und Mechanik.- 1. Die Bogenlänge einer Raumkurve.- 2. Der Inhalt krummer Flächen.- 3. Statisches Moment und Schwerpunkt.- 4. Trägheitsmoment und Trägheitsradius.- III. Lineare Algebra.- 15. Determinanten und Matrizen.- 1. Begriff der Matrix und Determinante.- 2. Die wichtigsten Eigenschaften der Determinanten.- 3. Der allgemeine Entwicklungssatz von La Place.- 4. Der Multiplikationssatz für Determinanten.- 5. Entwicklung nach den Elementen einer Reihe.- 6. Numerische Berechnung einer Determinante.- 7. Der Rang einer Matr.- 8. Lineare Abhängigkeit.- 16. Lineare Gleichungen.- 1. Inhomogene lineare Gleichungen.- 2. Homogene lineare Gleichungen.- 3. Das Gaußsche Ellminattonsverfahren zur Auflösung linearer Gleichungen.- 17. Lineare Transformationen, Vektoren und Tensoren.- 1. Punkt- und Koordinaten transformation.- 2. Die affine Geometrie im Gn.- 3. Die euklidische Geometrie im Gn.- 4. Vektoren im euklidischen Gn.- 5. Vektorräume im Gn.- 6. Noch einmal die Existenzsitze für lineare Gleichungen.- 7. Ortsvektoren. Maßvektoren und Koordinatentransformation.- 8. Tensoren im Gn.- 9. Die Tensoroperationen.- 10. Das äußere Produkt von Vektoren des Gn.- 18. Tensoren zweiter Stufe.- 1. Rang eines Tensors. Der Inverse Tensor.- 2. Der Vektor eines Tensors im Gn.- 3. Eigenrichtungen und Eigenwerte eines Tensors.- 4. Symmetrische Tensoren.- 5. Quadriken im Gn.- IV. Tensoranalysis und Differentialgeometrie.- 19. Der Begriff des Tensorfeldes und die Differentiation der FeldgröBen.- 1. Tensorfelder.- 2. Die Differentiation der Feldgrößen.- 3. Kombinierte Operationen.- 4. Die geumetrische Darstellung der Skalar- und Vektorfelder.- 20. Die Integration der Feldgrößen.- 1. Kurvenintegrale und Potential.- 2. Flächenintegrale.- 3. Der Gaußsche Integralsatz.- 4. Die Integralätze von GREEN.- 5. Der Integralsatz von Stokes.- 6. Das Vektorpotential.- 21. Raumkurven.- 1. Bogenlänge und Tangentenvektor.- 2. Das begleitende Dreibein und die Frenetschen Formeln.- 3. Ergänzungen und Folgerungen.- 4. Krümmung und Windung.- 5. Die natürlichen Gleichungen einer Kurve.- 6. Kaumkurven und Torsen.- 22. Grundzüge der Flächentheorie.- 1. Die erste Grundform der Flächentheorie.- 2. Tangentenebene und Normalenvektor.- 3. Die Geometrie auf der Fläche.- 4. Die zweite Grundform der Flächentheorie.- 5. Normatecbnitte, Der Satz von Meusnier.- 6. Die Asymptotenlinien einer Fläche.- 7. Hauptkrümmungen, Gaußsche und mittlere Krümmung einer Fläche.- 8. Die Eulersche Gleichung und die Indikatrix.- 9. Die Weingartenschen Gleichungen und eine weitere Eigenschaft der Krümmungslimen.- 10. Formeln für die Flachendarstellung.- 11. Geodätische Linien auf einer Fläche.- 12. Das Problem des integrierenden Faktors und die Existenz von Orthogonalflächen einer zweiparametrigen Kurvenschar.- 13. Orthogonale Flächennetze.- 14. Singuläre Punkte von Flächen.- 15. Hüllflächen.- Anhang. Lösungen der Aufgaben.- Namenverzeichnis.
I. Grundbegriffe.- Differentiation der Funktionen von mehreren Veränderlichen.- 1. Ergänzungen aus der Lehre von den Punktmengen.- 1. Ebene Punktmengen.- 2. Der n-dimensionale Raum.- 3. Gebiet und Bereich.- 4. Die Fernpunkte des Gn.- 5. Der Inhalt einer Punktmenge.- 2. Funktionen mehrerer Variabler. Grenzwert und Stetigkeit.- 1. Der allgemeine Funktionsbegriff.- 2. Beispiele.- 3. Zwei- und dreireihige Determinanten.- 4. Der Grenzwert einer Funktion.- 5. Stetige Funktionen.- 6. Die Randwerte einer Funktion.- 7. Zusammengesetzte Funktionen.- 3. Differentiation der Funktionen von mehreren Veränderlichen.- 1. Die partiellen Ableitungen.- 2. Stetigkeit und Differenzierbarkeit.- 3. Der Satz von Schwarz.- 4. Das erste totale Differential einer Funktion von zwei Veränderlichen.- 5. Totale Differentiale im allgemeinen.- 6. Die Differentiation zusammengesetzter Funktionen und die Kettenregel.- 7. Implizite Funktionen.- 8. Zwei Gleichungen zwischen vier Veränderlichen.- 4. Homogene Funktionen.- 1. Definition und Beispiele.- 2. Die Eulereche Differentialgleichung der tetig differenzierbaren homogenen Funktionen.- 3. Binäre quadratische Formen.- 4. Die Hauptachsentransformation der Kegelschnitte.- 5. Die Taylorsche Formel.- 1. Herleitung der Taylorschen Formel.- 2. Der Mittelwertsatz.- 3. Das Taylorpolynom T1 und die Tangentenebene einer Fläche.- 4. Verallgemeinerung des Newtonschen und des Iterationsverfahrens.- 5. Das Taylorpolynom Tr Die verschiedenen Arten der Punkte eineT2. Die verschiedenen Arten der Punkte einer Fläche.- 6. Doppelfolgen und Doppelreihen.- 1. Doppelfolgen.- 2. Simultane und sukzessive Grenzübergänge bei stetigen Veränderlichen.- 3. Funktionenfolgen. Ein Satz von DINI.- 4. Doppelreihen.- 5. Potenzreihen in mehreren Veränderlichen.- 6. Taylorsche Reihen in mehreren Veränderlichen..- 7. Koordinatentransformation, Punkttransformation und Abbildung zweier Ebenen oder Räume.- 1. Die Abbildung zweier Ebenen und der Begriff der Koordinatentransfurmation.- 2. Die Punkttransformation oder Abbildung einer Ebene auf sich selbst.- 3. Die geometrische Bedeutung der Funktionaldeterminante.- 4. Abhängige Funktionen.- 5. Die analytische Darstellung der Kurven und Flächen im Raum..- 6. Transformation und Abbildung im Raum.- 7. Die affine Abbildung.- 8. Die projektive Abbildung.- 9. Elliptische oder Lamésche Koordinaten.- 10. Transformationsgruppen.- 11. Zur projektiven Geometrie.- 8. Ebene Kurven.- 1. Tangente, Normale und Berührungsgrößen.- 2. Asymptoten.- 3. Singuläre Punkte.- 4. Berührung von Kurven. Wendepunkte, Krümmungskreis und Scheitel.- 5. Die Krümmung einer Kurve.- 6. Hülkurven.- 7. Evolute und Evolvente.- 8. Spezielle Kurven.- 9. Bemerkungen zur Kurvendiskussion.- 9. Extrema von Funktionen mehrerer Variabler.- 1. Notwendige Bedingungen bei zwei unabhängigen Veränderlichen.- 2. Hinreichende Bedingungen.- 3. Funktionen von n unabhängigen Veränderlichen.- 4. Extrema unter einer Nebenbedingung.- 5. Extrema unter mehreren Nebenbedingungen.- 6. Die Methode der kleinsten Quadrate und die Approximation empirischer Funktionen.- 10. Grundbegriffe der Vektorrechnung.- 1. Punkte, Strecken und Vektoren.- 2. Addition und Subtraktion von Vektoren. Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl.- 3. Länge eines Vektors.- 4. Linear abhängige und linear unabhängige Vektoren.- 5. Das innere oder skalare Produkt zweier Vektoren.- 6. Normierte Dreibeine und Maßvektoren.- 7. Das äußere oder vektorielle Produkt von zwei Vektoren.- 8. Geometrische Anwendungen.- 9. Der Schnitt von p Ebenen.- 10. Vektoren als Funktionen eines Parameters. Tangentenvektor einer Raumkurve.- 11. Tangentenebene und Normalenvektor einer Fläche.- 12. Die Richtungsablcitung einer Funktion.- 13. Vektoren in einer Ebene.- II. Die Integration der Funktionen von mehreren Veränderlichen.- 11. Integrale als Funktionen eines Parameters.- 1. Durch bestimmte Integrale dargestellte Funktionen.- 2. Differentiation unter dem Integralzeichen.- 3. Integration unter dem Integralzeichen.- 4. Durch uneigentlichc IntcgTalc dargestellte Funktionen.- 5. Integration und Differentiation gleichmäßig konvergenter uneigentlicher Integrale.- 6. Beispiele.- 7. Integrale unstetiger Funktionen.- 12. Kunrenintegrale und lineare Differentialformen.- 1. Der Begriff des Kurvenintegrals.- 2. Die Integration totaler Differentiale.- 3. Die Integrabilititsbcdingung der binären linearen Difiercntialformen.- 4. Exakte Differentialgleichungen.- 5. Kurvenintegrale im Gn.- 6. Theorie des Polarplanimeters.- 13. Bereichsintegrale.- 1. Der Begriff des Bereichsintegrals für ebene Bereiche.- 2. Die Zerlegung des Bereiches B in Teilbereiche.- 3. Beweis der Ungleichung J* ? J*.- 4. Ausgezeichnete Zerlegungsfolgen. Weitere Sätze über integrierbare Funktionen.- 5. Beispiele.- 6. Sätze über Bereichsintegrale.- 7. Zurückführung eines Bereichs-Integrals auf zwei einfache Integrale.- 8. Transformation der Doppclintegrale.- 9. Integrale über drei- und mehrdimensionale Bereiche.- 10. Uneigentliche Integrale.- 11. Die lntegralsätze von Gauss und Green für die Ebene.- 12. Die Bereichsdifferentiation.- 13. Die Approximation von Funktionen.- 14. Mehrfache Integrale in Geometrie und Mechanik.- 1. Die Bogenlänge einer Raumkurve.- 2. Der Inhalt krummer Flächen.- 3. Statisches Moment und Schwerpunkt.- 4. Trägheitsmoment und Trägheitsradius.- III. Lineare Algebra.- 15. Determinanten und Matrizen.- 1. Begriff der Matrix und Determinante.- 2. Die wichtigsten Eigenschaften der Determinanten.- 3. Der allgemeine Entwicklungssatz von La Place.- 4. Der Multiplikationssatz für Determinanten.- 5. Entwicklung nach den Elementen einer Reihe.- 6. Numerische Berechnung einer Determinante.- 7. Der Rang einer Matr.- 8. Lineare Abhängigkeit.- 16. Lineare Gleichungen.- 1. Inhomogene lineare Gleichungen.- 2. Homogene lineare Gleichungen.- 3. Das Gaußsche Ellminattonsverfahren zur Auflösung linearer Gleichungen.- 17. Lineare Transformationen, Vektoren und Tensoren.- 1. Punkt- und Koordinaten transformation.- 2. Die affine Geometrie im Gn.- 3. Die euklidische Geometrie im Gn.- 4. Vektoren im euklidischen Gn.- 5. Vektorräume im Gn.- 6. Noch einmal die Existenzsitze für lineare Gleichungen.- 7. Ortsvektoren. Maßvektoren und Koordinatentransformation.- 8. Tensoren im Gn.- 9. Die Tensoroperationen.- 10. Das äußere Produkt von Vektoren des Gn.- 18. Tensoren zweiter Stufe.- 1. Rang eines Tensors. Der Inverse Tensor.- 2. Der Vektor eines Tensors im Gn.- 3. Eigenrichtungen und Eigenwerte eines Tensors.- 4. Symmetrische Tensoren.- 5. Quadriken im Gn.- IV. Tensoranalysis und Differentialgeometrie.- 19. Der Begriff des Tensorfeldes und die Differentiation der FeldgröBen.- 1. Tensorfelder.- 2. Die Differentiation der Feldgrößen.- 3. Kombinierte Operationen.- 4. Die geumetrische Darstellung der Skalar- und Vektorfelder.- 20. Die Integration der Feldgrößen.- 1. Kurvenintegrale und Potential.- 2. Flächenintegrale.- 3. Der Gaußsche Integralsatz.- 4. Die Integralätze von GREEN.- 5. Der Integralsatz von Stokes.- 6. Das Vektorpotential.- 21. Raumkurven.- 1. Bogenlänge und Tangentenvektor.- 2. Das begleitende Dreibein und die Frenetschen Formeln.- 3. Ergänzungen und Folgerungen.- 4. Krümmung und Windung.- 5. Die natürlichen Gleichungen einer Kurve.- 6. Kaumkurven und Torsen.- 22. Grundzüge der Flächentheorie.- 1. Die erste Grundform der Flächentheorie.- 2. Tangentenebene und Normalenvektor.- 3. Die Geometrie auf der Fläche.- 4. Die zweite Grundform der Flächentheorie.- 5. Normatecbnitte, Der Satz von Meusnier.- 6. Die Asymptotenlinien einer Fläche.- 7. Hauptkrümmungen, Gaußsche und mittlere Krümmung einer Fläche.- 8. Die Eulersche Gleichung und die Indikatrix.- 9. Die Weingartenschen Gleichungen und eine weitere Eigenschaft der Krümmungslimen.- 10. Formeln für die Flachendarstellung.- 11. Geodätische Linien auf einer Fläche.- 12. Das Problem des integrierenden Faktors und die Existenz von Orthogonalflächen einer zweiparametrigen Kurvenschar.- 13. Orthogonale Flächennetze.- 14. Singuläre Punkte von Flächen.- 15. Hüllflächen.- Anhang. Lösungen der Aufgaben.- Namenverzeichnis.