Dieses Buch möchte den Studierenden als vorlesungsbegleitendes Lehrbuch, als prüfungsvorbereitendes Repetitorium und als Aufgabensammlung mit ausführlichen Lösungen beim Studium der Funktionentheorie eine praktische Hilfe sein. Dazu wurden die klassischen Inhalte der Funktionentheorie thematisch gegliedert, in Tabellen, Übersichten und Graphiken anschaulich dargestellt und an Hand detailliert bearbeiteter Prüfungsaufgaben erläutert. Der Text wurde für die zweite Auflage in die Neue Rechtschreibung gebracht, Korrekturen und Ergänzungen wurden eingearbeitet.
Dieses Buch möchte den Studierenden als vorlesungsbegleitendes Lehrbuch, als prüfungsvorbereitendes Repetitorium und als Aufgabensammlung mit ausführlichen Lösungen beim Studium der Funktionentheorie eine praktische Hilfe sein. Dazu wurden die klassischen Inhalte der Funktionentheorie thematisch gegliedert, in Tabellen, Übersichten und Graphiken anschaulich dargestellt und an Hand detailliert bearbeiteter Prüfungsaufgaben erläutert. Der Text wurde für die zweite Auflage in die Neue Rechtschreibung gebracht, Korrekturen und Ergänzungen wurden eingearbeitet.
I Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie.- 0 Die komplexen Zahlen.- Aufgaben zu 0.- 1 Reelle Differenzierbarkeit - Komplexe Differenzierbarkeit.- Aufgaben zu 1.- 2 Holomorphie.- Aufgaben zu 2.- 3 Fundamentale Eigenschaften holomorpher Funktionen.- Aufgaben zu 3.- 4 Biholomorphe Abbildungen.- Aufgaben zu 4.- 5 Harmonische Funktionen.- Aufgaben zu 5.- II Folgen und Reihen von Punkten und Funktionen.- 1 Konvergenzbegriffe und -kriterien.- Aufgaben zu 1.- 2 Vertauschungssätze bei kompakter Konvergenz.- Aufgaben zu 2.- 3 Potenzreihen.- Aufgaben zu 3.- 4 Laurentreihen.- Aufgaben zu 4.- III Elementare holomorphe Funktionen. Erweiterung des Holomorphiebegriffs.- 1 Polynome und rationale Funktionen.- Aufgaben zu 1.- 2 Exponentialfunktion und Logarithmusfunktionen.- Aufgaben zu 2.- 3 Potenzfunktionen und Wurzelfunktionen.- Aufgaben zu 3.- 4 Erweiterung des Holomorphiebegriffs.- Aufgaben zu 4.- IV Konforme Abbildungen.- 1 Winkel- und Orientierungstreue. Der Riemannsehe Abbildungssatz.- Aufgaben zu 1.- 2 Gebrochen lineare Transformationen (Möbiustransformationen).- Aufgaben zu 2.- 3 Liste der wichtigsten konformen Abbildungen.- Aufgaben zu 3.- V Integration komplexer Funktionen. Integralsätze.- 1 Integralbegriffe in der Funktionentheorie.- Aufgaben zu 1.- 2 Holomorphie und Integrabilität.- Aufgaben zu 2.- 3 Der Hauptsatz der Cauchyschen Funktionentheorie.- Aufgaben zu 3.- 4 Parameterintegrale.- Aufgaben zu 4.- VI Reihen- und Produktentwicklungen holomorpher und meromorpher Funktionen.- 1 Entwicklung holomorpher Funktionen auf Kreisscheiben nach Taylor.- Aufgaben zu 1.- 2 Entwicklung holomorpher Funktionen auf Kreisringen nach Laurent.- Aufgaben zu 2.- 3 Nullstellen und isolierteSingularitäten.- Aufgaben zu 3.- 4 Nullstellen und isolierte Singularitäten im Punkt ?.- Aufgaben zu 4.- 5 Meromorphe Funktionen.- Aufgaben zu 5.- 6 Der Satz von Mittag-Leffler und der Weierstraßsche Produktsatz.- Aufgaben zu 6.- VII Das Residuenkalk?l.- 1 Der Residuensatz.- Aufgaben zu 1.- 2 Berechnung spezieller Integrale.- Aufgaben zu 2.- 3 Der Residuensatz für den Punkt ?.- Aufgaben zu 3.- Zusammenfassungen und Übersichten.- A: Zusammenfassung aller Holomorphie- und Biholomorphiecharakteristika.- B: Charakterisierung einfach zusammenhängender Gebiete.- C: Gegenüberstellung von Potenz- und Laurentreihe.- D: Gegenüberstellung von Taylor- und Laurententwicklung.- E: Übersicht über die wichtigsten holomorphen Funktionen.- Anhang A Topologische und ordnungstheoretische Grundbegriffe.- 1. Topologische Grundbegriffe.- 2. Ordnungstheoretische Grundbegriffe.- Anhang B Wege und Gebiete in der Funktionentheorie.- 1. Wege in der Zahlenebene ?.- 2. Gebiete in der Zahlenebene ?.- 3. Zusammenfassung.- Anhang C Erläuterungen zu häufig auftretenden Formulierungen.- Symbolverzeichnis.- Verzeichnis der Examensaufgaben.- aus der Bayerischen Ersten Staatsprüfung.
I Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie.- 0 Die komplexen Zahlen.- Aufgaben zu 0.- 1 Reelle Differenzierbarkeit - Komplexe Differenzierbarkeit.- Aufgaben zu 1.- 2 Holomorphie.- Aufgaben zu 2.- 3 Fundamentale Eigenschaften holomorpher Funktionen.- Aufgaben zu 3.- 4 Biholomorphe Abbildungen.- Aufgaben zu 4.- 5 Harmonische Funktionen.- Aufgaben zu 5.- II Folgen und Reihen von Punkten und Funktionen.- 1 Konvergenzbegriffe und -kriterien.- Aufgaben zu 1.- 2 Vertauschungssätze bei kompakter Konvergenz.- Aufgaben zu 2.- 3 Potenzreihen.- Aufgaben zu 3.- 4 Laurentreihen.- Aufgaben zu 4.- III Elementare holomorphe Funktionen. Erweiterung des Holomorphiebegriffs.- 1 Polynome und rationale Funktionen.- Aufgaben zu 1.- 2 Exponentialfunktion und Logarithmusfunktionen.- Aufgaben zu 2.- 3 Potenzfunktionen und Wurzelfunktionen.- Aufgaben zu 3.- 4 Erweiterung des Holomorphiebegriffs.- Aufgaben zu 4.- IV Konforme Abbildungen.- 1 Winkel- und Orientierungstreue. Der Riemannsehe Abbildungssatz.- Aufgaben zu 1.- 2 Gebrochen lineare Transformationen (Möbiustransformationen).- Aufgaben zu 2.- 3 Liste der wichtigsten konformen Abbildungen.- Aufgaben zu 3.- V Integration komplexer Funktionen. Integralsätze.- 1 Integralbegriffe in der Funktionentheorie.- Aufgaben zu 1.- 2 Holomorphie und Integrabilität.- Aufgaben zu 2.- 3 Der Hauptsatz der Cauchyschen Funktionentheorie.- Aufgaben zu 3.- 4 Parameterintegrale.- Aufgaben zu 4.- VI Reihen- und Produktentwicklungen holomorpher und meromorpher Funktionen.- 1 Entwicklung holomorpher Funktionen auf Kreisscheiben nach Taylor.- Aufgaben zu 1.- 2 Entwicklung holomorpher Funktionen auf Kreisringen nach Laurent.- Aufgaben zu 2.- 3 Nullstellen und isolierteSingularitäten.- Aufgaben zu 3.- 4 Nullstellen und isolierte Singularitäten im Punkt ?.- Aufgaben zu 4.- 5 Meromorphe Funktionen.- Aufgaben zu 5.- 6 Der Satz von Mittag-Leffler und der Weierstraßsche Produktsatz.- Aufgaben zu 6.- VII Das Residuenkalk?l.- 1 Der Residuensatz.- Aufgaben zu 1.- 2 Berechnung spezieller Integrale.- Aufgaben zu 2.- 3 Der Residuensatz für den Punkt ?.- Aufgaben zu 3.- Zusammenfassungen und Übersichten.- A: Zusammenfassung aller Holomorphie- und Biholomorphiecharakteristika.- B: Charakterisierung einfach zusammenhängender Gebiete.- C: Gegenüberstellung von Potenz- und Laurentreihe.- D: Gegenüberstellung von Taylor- und Laurententwicklung.- E: Übersicht über die wichtigsten holomorphen Funktionen.- Anhang A Topologische und ordnungstheoretische Grundbegriffe.- 1. Topologische Grundbegriffe.- 2. Ordnungstheoretische Grundbegriffe.- Anhang B Wege und Gebiete in der Funktionentheorie.- 1. Wege in der Zahlenebene ?.- 2. Gebiete in der Zahlenebene ?.- 3. Zusammenfassung.- Anhang C Erläuterungen zu häufig auftretenden Formulierungen.- Symbolverzeichnis.- Verzeichnis der Examensaufgaben.- aus der Bayerischen Ersten Staatsprüfung.
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