Numerische Optimierung des Shortfall-Risikos von Aktienportfolios am Beispiel des Value at risk
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Diplomarbeit aus dem Jahr 2003 im Fachbereich BWL - Investition und Finanzierung, Note: 1,3, FernUniversität Hagen (Wirtschaftswissenschaften), Veranstaltung: angewandte Statistik und Methoden der empirischen Sozialforschung, Sprache: Deutsch, Abstract: Inhaltsangabe:Problemstellung:Die Portfoliotheorie hat sich über einen sehr langen Zeitraum entwickelt. So steht z. B. in dem auf ca. 500 n. Chr. datierten jüdischen Talmud (hebr. Lehre, Lernen) sinngemäß, dass das Vermögen zu jeweils einem Drittel in Land, Geschäften und liquiden Mitteln gestreut angelegt werden soll.Nachdem in den 50er...
Diplomarbeit aus dem Jahr 2003 im Fachbereich BWL - Investition und Finanzierung, Note: 1,3, FernUniversität Hagen (Wirtschaftswissenschaften), Veranstaltung: angewandte Statistik und Methoden der empirischen Sozialforschung, Sprache: Deutsch, Abstract: Inhaltsangabe:Problemstellung:
Die Portfoliotheorie hat sich über einen sehr langen Zeitraum entwickelt. So steht z. B. in dem auf ca. 500 n. Chr. datierten jüdischen Talmud (hebr. Lehre, Lernen) sinngemäß, dass das Vermögen zu jeweils einem Drittel in Land, Geschäften und liquiden Mitteln gestreut angelegt werden soll.
Nachdem in den 50er Jahren von Markowitz das weltweit bekannte klassische Selektionsmodell entwickelt wurde, welches sich durch einen bestechend einfach verständlichen Ansatz auszeichnet, ist in der Folge eine Vielzahl moderner mathematischer Verfahren entwickelt worden, die sich der Optimierung des gebündelten Risikos von Portfolios widmet.
In der vorliegenden Arbeit wird versucht ein restringiertes nichtlineares und nichtquadratisches Optimierungsmodell für das Risiko von Aktienportfolios zu entwickeln, welches anhand empirischer Daten aus der Karlsruher Kapitalmarktdatenbank der Universität Karlsruhe mit dem klassischen Modell von Markowitz verglichen wird.
Dabei wird insbesondere auf die Problematiken der Zeitabhängigkeit der Volatilität und der Rendite Verteilungsstrukturen eingegangen.
Als Risikomaß wird hier der Value at Risk (VaR) des Anlageportfolios in Abhängigkeit von Anlagedauer, erwarteter Portfoliorendite und vorgegebenem Konfidenzniveau optimiert, wobei zu beachten ist, dass die Konvexität der Zielfunktion nicht gesichert ist. Alternativ dazu wird ein weiteres Risikomaß untersucht, welches unter bestimmten Bedingungen günstigere Optimierungseigenschaften besitzt, der sogenannte Conditional Value at Risk (CVaR).
Die für die numerische Optimierung benötigten Renditeverteilungen werden dazu mit Hilfe der Kerndichteschätzung aus historischen Daten, sowie der Simulation als Geometrisch Brownsche Bewegung (GBB) und CEV Diffusionsprozess, welcher die GBB als Sonderfall enthält, modelliert.
Da das computergestützte implementierte Optimierungsverfahren sehr rechen- und damit auch zeitintensiv ist, wird die Arbeit mit einem Ansatz abgerundet, mit dessen Hilfe es möglich ist die Aufgabenstellung näherungsweise als quadratisches Optimierungsproblem aufzufassen und damit den sehr gut erforschten Verfahren der quadratischen Optimierung zugänglich zu machen.
Inhaltsverzeichnis:Inhaltsverzeichnis:
1.Einführung1
1.1Entwicklung der Portfoliotheorie1
1.2Das klassische Selektionsmodell von Markowitz1
1.2.1Effiziente Portfolios2
1.3Wichtige Erweiterungen des Ansatzes von Markowitz4
1.3.1Kapitalmarktlinie und Tobin Separation4
1.3.2CAPM5
1.4Kritische Betrachtung des klassischen Portfoliomodells6
2.Verteilung der Portfoliorendite und Risiko6
2.1Einfache versus Log-Rendite6
2.2Stationäre Zeitreihen und Autokorrelation8
2.2.1Stationarität8
2.2.2Autokorrelation9
2.3Normalverteilte Renditen und stationärer Renditeprozess am Beispiel von Aktienrenditen in der Empirie10
2.3.1Die Normalverteilungsannahme für tägliche Renditen 10
2.3.2Stationärer Renditeprozess 12
2.4Quantifizierung des Risikos16
2.4.1Klassifizierung des quantitativen Risikobegriffs16
2.4.2Renditestreuung (Volatilität)16
2.4.3Value at Risk (VaR)17
2.4.4Conditional Value at Risk (CVaR) 19
3.Portfoliooptimierung mit Hilfe der Kerndichteschätzung21
3.1Konstruktion von Kerndichteschätzern22
3.2Ermittlung der optimalen Bandbreite im univariaten Fall24
3.2.1Bandbreitenschätzung bei Kenntnis der Verteilung der Grundgesamtheit24
3.2.2Bandbreitenschätzung bei Unkenntnis der zugrundeliegenden Verteilung26
3.3Anwendung in d...
Die Portfoliotheorie hat sich über einen sehr langen Zeitraum entwickelt. So steht z. B. in dem auf ca. 500 n. Chr. datierten jüdischen Talmud (hebr. Lehre, Lernen) sinngemäß, dass das Vermögen zu jeweils einem Drittel in Land, Geschäften und liquiden Mitteln gestreut angelegt werden soll.
Nachdem in den 50er Jahren von Markowitz das weltweit bekannte klassische Selektionsmodell entwickelt wurde, welches sich durch einen bestechend einfach verständlichen Ansatz auszeichnet, ist in der Folge eine Vielzahl moderner mathematischer Verfahren entwickelt worden, die sich der Optimierung des gebündelten Risikos von Portfolios widmet.
In der vorliegenden Arbeit wird versucht ein restringiertes nichtlineares und nichtquadratisches Optimierungsmodell für das Risiko von Aktienportfolios zu entwickeln, welches anhand empirischer Daten aus der Karlsruher Kapitalmarktdatenbank der Universität Karlsruhe mit dem klassischen Modell von Markowitz verglichen wird.
Dabei wird insbesondere auf die Problematiken der Zeitabhängigkeit der Volatilität und der Rendite Verteilungsstrukturen eingegangen.
Als Risikomaß wird hier der Value at Risk (VaR) des Anlageportfolios in Abhängigkeit von Anlagedauer, erwarteter Portfoliorendite und vorgegebenem Konfidenzniveau optimiert, wobei zu beachten ist, dass die Konvexität der Zielfunktion nicht gesichert ist. Alternativ dazu wird ein weiteres Risikomaß untersucht, welches unter bestimmten Bedingungen günstigere Optimierungseigenschaften besitzt, der sogenannte Conditional Value at Risk (CVaR).
Die für die numerische Optimierung benötigten Renditeverteilungen werden dazu mit Hilfe der Kerndichteschätzung aus historischen Daten, sowie der Simulation als Geometrisch Brownsche Bewegung (GBB) und CEV Diffusionsprozess, welcher die GBB als Sonderfall enthält, modelliert.
Da das computergestützte implementierte Optimierungsverfahren sehr rechen- und damit auch zeitintensiv ist, wird die Arbeit mit einem Ansatz abgerundet, mit dessen Hilfe es möglich ist die Aufgabenstellung näherungsweise als quadratisches Optimierungsproblem aufzufassen und damit den sehr gut erforschten Verfahren der quadratischen Optimierung zugänglich zu machen.
Inhaltsverzeichnis:Inhaltsverzeichnis:
1.Einführung1
1.1Entwicklung der Portfoliotheorie1
1.2Das klassische Selektionsmodell von Markowitz1
1.2.1Effiziente Portfolios2
1.3Wichtige Erweiterungen des Ansatzes von Markowitz4
1.3.1Kapitalmarktlinie und Tobin Separation4
1.3.2CAPM5
1.4Kritische Betrachtung des klassischen Portfoliomodells6
2.Verteilung der Portfoliorendite und Risiko6
2.1Einfache versus Log-Rendite6
2.2Stationäre Zeitreihen und Autokorrelation8
2.2.1Stationarität8
2.2.2Autokorrelation9
2.3Normalverteilte Renditen und stationärer Renditeprozess am Beispiel von Aktienrenditen in der Empirie10
2.3.1Die Normalverteilungsannahme für tägliche Renditen 10
2.3.2Stationärer Renditeprozess 12
2.4Quantifizierung des Risikos16
2.4.1Klassifizierung des quantitativen Risikobegriffs16
2.4.2Renditestreuung (Volatilität)16
2.4.3Value at Risk (VaR)17
2.4.4Conditional Value at Risk (CVaR) 19
3.Portfoliooptimierung mit Hilfe der Kerndichteschätzung21
3.1Konstruktion von Kerndichteschätzern22
3.2Ermittlung der optimalen Bandbreite im univariaten Fall24
3.2.1Bandbreitenschätzung bei Kenntnis der Verteilung der Grundgesamtheit24
3.2.2Bandbreitenschätzung bei Unkenntnis der zugrundeliegenden Verteilung26
3.3Anwendung in d...
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