Mit diesem Buch versuchen wir, moglichst vielfaltige Anwendungen der Matrizenrechnung darzustellen. Um dabei abeT den Buchumfang gering zu halten und es einem groBen Leserkreis zuganglich zu machen, haben wir auf elementarem Niveau aufgebaut, ohne dabei auf die Darstellung substantieller Satze der linearen Algebra einzugehen. Durch die Moglichkeiten elektro nischer Hechner werden die Matrizen heute zunehmend in vielen technischen Gebieten, der Mathematik, Mechanik, theoretischen Physik, Elektrotechnik usw. bei umfangreichen Anwendungen eingesetzt. In diesem Buch wird eine verstandliche und…mehr
Mit diesem Buch versuchen wir, moglichst vielfaltige Anwendungen der Matrizenrechnung darzustellen. Um dabei abeT den Buchumfang gering zu halten und es einem groBen Leserkreis zuganglich zu machen, haben wir auf elementarem Niveau aufgebaut, ohne dabei auf die Darstellung substantieller Satze der linearen Algebra einzugehen. Durch die Moglichkeiten elektro nischer Hechner werden die Matrizen heute zunehmend in vielen technischen Gebieten, der Mathematik, Mechanik, theoretischen Physik, Elektrotechnik usw. bei umfangreichen Anwendungen eingesetzt. In diesem Buch wird eine verstandliche und einfache Darlegung des Stof fes angestrebt. Tiefergehende Vorkenntnisse des Lesers werden nicht vorausgesetzt. Dadurch sollte dieses Buch auch dem Praktiker leicht zug,anglich sein. Anderseits sind dem Theoretiker Anwendungsfelder zur Erprobung seiner theoretischen Vorstellungen aufgezeigt. Durch die An wendungsvielfalt und breite Themenstreuung werden neben der Mathematik viele benachbarte Disziplinen bertihrt und angesprochen. Obwohl die ein zelnen Kapitel in einer aufbauenden Heihenfolge stehen, kann jedes Kapi tel unabhangig von einem anderen gelesen werden. AuBerdem wurde versucht auf Querverweise in andere Kapitel zu verzichten. Dem Hochschulrechenzentrum der Justus-Liebig-Universitat, insbesondere Herrn Partosch, ist fUr die Hilfe bei der Handhabung des Textverarbei tungssystems und dem Springer-Verlag Berlin flir die stete Hilfsbereit schaft zu danken.
1 Einleitung.- 2 Grundlagen der Matrizenrechnung.- 2.1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizenschreibweise.- 2.2 Spezielle Matrizen.- 2.2.1 Einheitsmatrix und Diagonalmatrix.- 2.2.2 Transponierte Matrix.- 2.3 Gleichheit von Matrizen.- 2.4 Addition von Matrizen.- 2.4.1 Programm für die Addition von Matrizen.- 2.4.2 Addition von Kräften.- 2.5 Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl.- 2.5.1 Programm für die Multiplikation der Matrix A mit der Zahl k.- 2.6 Multiplikation von Matrizen.- 2.6.1 Programm zur Matrizenmultiplikation.- 2.6.2 Transponierte eines Matrizenproduktes.- 2.7 Zusammenfassung.- 3 Vektor als spezielle Matrix.- 3.1 Das Vektorprodukt und das Drehmoment.- 3.1.1 Programm für das resultierende Moment.- 3.2 Fläche und Schwerpunkt eines n-Ecks.- 3.2.1 Programm zur Flächen- und Schwerpunktsberechnung.- 3.3 Das Skalarprodukt und die Arbeit.- 3.4 Länge eines Vektors.- 3.5 Spur einer Matrix.- 3.6 Geometrische Bedeutung des Skalarproduktes.- 3.7 Orthogonale Matrix.- 3.8 Geometrische Bedeutung des Vektorproduktes.- 3.9 Dyadische Produkte.- 3.9.1 Dyadisches Produkt zweier Vektoren.- 3.9.2 Dyadische Zerlegung eines Matrizenproduktes.- 3.10 Zusammenfassung.- 4 Projektionen.- 4.1 Die Rotationsmatrix.- 4.2 Zentralprojektion.- 4.2.1 Programm zur Zentralprojektion.- 4.3 Projektionsmatrizen.- 4.4 Orthogonalprojektionen.- 4.5 Ergänzungen zur Zentral projektion.- 4.5.1 Programm zur Zentralprojektion.- 5 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme.- 5.1 Lineare Abhängigkeit von Vektoren.- 5.2 Rang einer Matrix.- 5.2.1 Basis des n-dimensionalen Raumes.- 5.3 Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen.- 5.3.1 Lösbarkeit des homogenen Systems.- 5.3.2 Lösbarkeit eines inhomogenen Systems.- 5.4 Gauß-Jordan-Verfahren.- 5.4.1 Programm zum Algorithmus nach Gauß-Jordan.- 5.5 Lösung von linearen Gleichungssystemen mit Determinanten.- 5.5.1 Programm zur Berechnung von Determinanten.- 5.6 Die inverse Matrix.- 5.6.1 Beispiele für inverse Matrizen.- 5.6.2 Adjungierte Matrix.- 5.6.3 Programm zur Lösung der Matrizengleichung A * X = Y.- 5.7 Das Leontief-Modell.- 5.8 Black Box.- 5.9 Zusammenfassung.- 6 Numerische Anwendungen in der Differentialrechnung.- 6.1 Der Gradient.- 6.2 Differenzenverfahren.- 6.2.1 Programm zur numerischen Differentiation.- 6.3 Lösung einer Differentialgleichung mit Differenzenformeln.- 6.4 Laplace-Operator.- 6.4.1 Temperaturverteilung eines Dammes.- 7 Numerische Integration.- 7.1 Numerische Integration mit Parabelsegmenten.- 7.1.1 Programm zur numerischen Integration.- 7.2 Mittelwerte.- 7.3 Doppelintegrale.- 7.3.1 Programm für Doppelintegrale.- 8 Hypermatrizen.- 8.1 Vierpole.- 8.2 Komplexe Gleichungssysteme.- 8.3 Vermaschte Netze.- 8.3.1 Programm zum n-Pol.- 9 Tridiagonale Matrizen.- 9.1 Tridiagonale Gleichungssysteme.- 9.1.1 Programm zur Lösung von tridiagonalen Gleichungssystemen.- 9.2 Kubische Splines.- 10 Methoden zur Lösung von linearen Gleichungssystemen.- 10.1 Relaxation.- 10.1.1 Programme zum Relaxationsverfahren.- 10.2 Überbestimmte Gleichungssysteme.- 10.2.1 Programm zur Lösung von überbestimmten Gleichungssyscccc temen.- 10.3 Die Approximationsparabel.- 10.4 Lösung von A * X = Y mit dem Verfahren der konjugierten Gradienten.- 10.4.1 Programm zum Verfahren der konjugierten Gradienten.- 11 Eigenwertprobleme - Eigenwerte und Eigenvektoren.- 11.1 Einführendes Beispiel.- 11.2 Eigenwertaufgabe.- 11.3 Diagonalisierung nach Jacobi.- 11.3.1 Programm zur Diagonalisierung nach Jacobi.- 11.3.2 Charakteristische Polynome spezieller Matrizen.- 11.4 Matrizenfunktionen.- 11.4.1 Cayleyscher Versor.- 12 Anwendungen in verschiedenen Wissenschaftsgebieten.- 12.1 Steifigkeitsmatrix, Starre Platte auf Pfählen.- 12.1.1 Programm für Stabkräfte an einer starren Platt.- 12.2 Räumliches Kraftnetz.- 12.2.1 Programm zum räumlichen Kraftnetz.- 12.3 Das SKS-finite-Element.- 12.4 Simplex-Algorithmus.- 12.4.1 Programm zum Simplexalgorithmus.- 12.5 Graphen und Matrizen.
1 Einleitung.- 2 Grundlagen der Matrizenrechnung.- 2.1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizenschreibweise.- 2.2 Spezielle Matrizen.- 2.2.1 Einheitsmatrix und Diagonalmatrix.- 2.2.2 Transponierte Matrix.- 2.3 Gleichheit von Matrizen.- 2.4 Addition von Matrizen.- 2.4.1 Programm für die Addition von Matrizen.- 2.4.2 Addition von Kräften.- 2.5 Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl.- 2.5.1 Programm für die Multiplikation der Matrix A mit der Zahl k.- 2.6 Multiplikation von Matrizen.- 2.6.1 Programm zur Matrizenmultiplikation.- 2.6.2 Transponierte eines Matrizenproduktes.- 2.7 Zusammenfassung.- 3 Vektor als spezielle Matrix.- 3.1 Das Vektorprodukt und das Drehmoment.- 3.1.1 Programm für das resultierende Moment.- 3.2 Fläche und Schwerpunkt eines n-Ecks.- 3.2.1 Programm zur Flächen- und Schwerpunktsberechnung.- 3.3 Das Skalarprodukt und die Arbeit.- 3.4 Länge eines Vektors.- 3.5 Spur einer Matrix.- 3.6 Geometrische Bedeutung des Skalarproduktes.- 3.7 Orthogonale Matrix.- 3.8 Geometrische Bedeutung des Vektorproduktes.- 3.9 Dyadische Produkte.- 3.9.1 Dyadisches Produkt zweier Vektoren.- 3.9.2 Dyadische Zerlegung eines Matrizenproduktes.- 3.10 Zusammenfassung.- 4 Projektionen.- 4.1 Die Rotationsmatrix.- 4.2 Zentralprojektion.- 4.2.1 Programm zur Zentralprojektion.- 4.3 Projektionsmatrizen.- 4.4 Orthogonalprojektionen.- 4.5 Ergänzungen zur Zentral projektion.- 4.5.1 Programm zur Zentralprojektion.- 5 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme.- 5.1 Lineare Abhängigkeit von Vektoren.- 5.2 Rang einer Matrix.- 5.2.1 Basis des n-dimensionalen Raumes.- 5.3 Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen.- 5.3.1 Lösbarkeit des homogenen Systems.- 5.3.2 Lösbarkeit eines inhomogenen Systems.- 5.4 Gauß-Jordan-Verfahren.- 5.4.1 Programm zum Algorithmus nach Gauß-Jordan.- 5.5 Lösung von linearen Gleichungssystemen mit Determinanten.- 5.5.1 Programm zur Berechnung von Determinanten.- 5.6 Die inverse Matrix.- 5.6.1 Beispiele für inverse Matrizen.- 5.6.2 Adjungierte Matrix.- 5.6.3 Programm zur Lösung der Matrizengleichung A * X = Y.- 5.7 Das Leontief-Modell.- 5.8 Black Box.- 5.9 Zusammenfassung.- 6 Numerische Anwendungen in der Differentialrechnung.- 6.1 Der Gradient.- 6.2 Differenzenverfahren.- 6.2.1 Programm zur numerischen Differentiation.- 6.3 Lösung einer Differentialgleichung mit Differenzenformeln.- 6.4 Laplace-Operator.- 6.4.1 Temperaturverteilung eines Dammes.- 7 Numerische Integration.- 7.1 Numerische Integration mit Parabelsegmenten.- 7.1.1 Programm zur numerischen Integration.- 7.2 Mittelwerte.- 7.3 Doppelintegrale.- 7.3.1 Programm für Doppelintegrale.- 8 Hypermatrizen.- 8.1 Vierpole.- 8.2 Komplexe Gleichungssysteme.- 8.3 Vermaschte Netze.- 8.3.1 Programm zum n-Pol.- 9 Tridiagonale Matrizen.- 9.1 Tridiagonale Gleichungssysteme.- 9.1.1 Programm zur Lösung von tridiagonalen Gleichungssystemen.- 9.2 Kubische Splines.- 10 Methoden zur Lösung von linearen Gleichungssystemen.- 10.1 Relaxation.- 10.1.1 Programme zum Relaxationsverfahren.- 10.2 Überbestimmte Gleichungssysteme.- 10.2.1 Programm zur Lösung von überbestimmten Gleichungssyscccc temen.- 10.3 Die Approximationsparabel.- 10.4 Lösung von A * X = Y mit dem Verfahren der konjugierten Gradienten.- 10.4.1 Programm zum Verfahren der konjugierten Gradienten.- 11 Eigenwertprobleme - Eigenwerte und Eigenvektoren.- 11.1 Einführendes Beispiel.- 11.2 Eigenwertaufgabe.- 11.3 Diagonalisierung nach Jacobi.- 11.3.1 Programm zur Diagonalisierung nach Jacobi.- 11.3.2 Charakteristische Polynome spezieller Matrizen.- 11.4 Matrizenfunktionen.- 11.4.1 Cayleyscher Versor.- 12 Anwendungen in verschiedenen Wissenschaftsgebieten.- 12.1 Steifigkeitsmatrix, Starre Platte auf Pfählen.- 12.1.1 Programm für Stabkräfte an einer starren Platt.- 12.2 Räumliches Kraftnetz.- 12.2.1 Programm zum räumlichen Kraftnetz.- 12.3 Das SKS-finite-Element.- 12.4 Simplex-Algorithmus.- 12.4.1 Programm zum Simplexalgorithmus.- 12.5 Graphen und Matrizen.
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