Mathematik für Ökonomen I
Differentialrechnung und Integralrechnung von Funktionen einer Veränderlichen
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Im ersten Kapitel haben wir den Funktionsbegriff und die wichtigen Begriffe des Grenzwertes und der Stetigkeit einer Funk tion eingeführt. Will man die Anwendungsmöglichkeiten des Funk tionsbegriffs erweitern und seine Aussagekraft vertiefen, so müssen wir das Verhalten der Funktionen näher untersuchen. Wir müssen vor allem die Art und Weise, wie sich der Funktionswert f(x) ändert, wenn x einen bestimmten Bereich durchläuft, näher be trachten. Besondere Bedeutung kommt der durchschnittlichen Än derung einer Funktion in einem bestimmten Intervall zu. Unter der durchschnittlichen Änder...
Im ersten Kapitel haben wir den Funktionsbegriff und die wichtigen Begriffe des Grenzwertes und der Stetigkeit einer Funk tion eingeführt. Will man die Anwendungsmöglichkeiten des Funk tionsbegriffs erweitern und seine Aussagekraft vertiefen, so müssen wir das Verhalten der Funktionen näher untersuchen. Wir müssen vor allem die Art und Weise, wie sich der Funktionswert f(x) ändert, wenn x einen bestimmten Bereich durchläuft, näher be trachten. Besondere Bedeutung kommt der durchschnittlichen Än derung einer Funktion in einem bestimmten Intervall zu. Unter der durchschnittlichen Änderung der Funktion f im Intervall x :::; ~ :::; x + Li x verstehen wir den Quotienten f(x + Li x) - f(x) Lif(x) Lix ~. Läßt man die Intervallänge Lix gegen 0 streben, so strebt unter .. d d D h h . Lif(x) . b· U mstan en er ure se mttswert ~ gegen emen estImmten Grenzwert. Derartige Grenzwerte, die in der Mathematik und in der Wirtschaftswissenschaft große Bedeutung besitzen, bilden den Ge genstand dieses Kapitels. 2.2 Der Differentialquotient 2.2.1 Definition des Differentialquotienten Die Funktion f sei im Intervall a:::; x:::; b definiert. Sind x und x + Li x zwei Punkte des Intervalls, so betrachten wir zunächst die 00 Lif(x) f(x + Lix) - f(x) durchschmtthche Anderung ~ = Lix von f 1m Intervall x:::;~:::;x+Lix (bzw. x+Lix:::;~:::;x). Lif(x) Man nennt auch einen DijJerenzenquotienten von f an der Stelle x. Lix 67 Die geometrische Bedeutung des Differenzenquotienten läßt sich aus der Abb. 46 leicht ablesen. Es gilt: tgtp = Af(x) .
