Die JACoBIschen elliptischen Funktionen entstehen aus den im zweiten Band der Praktischen Funktionenlehre behandelten vier JACoBIschen Theta-Funktionen durch Quotientenbildung. Ent sprechend dem Vorbild in der angelsachsischen Literatur bildet hier der vollstandige Satz der zwolf meromorphen Funktionen die Grundlage der Darstellung, die noch durch die sechs zu gehorigen logarithmischen Ableitungen erganzt wird. Von diesen zeichnen sich diejenigen, welche auf Quotienten der im zweiten Band zusatzlich eingeftihrten ftinften und sechsten Theta-Funktionen zurtickgeftihrt werden konnen, durch ihre…mehr
Die JACoBIschen elliptischen Funktionen entstehen aus den im zweiten Band der Praktischen Funktionenlehre behandelten vier JACoBIschen Theta-Funktionen durch Quotientenbildung. Ent sprechend dem Vorbild in der angelsachsischen Literatur bildet hier der vollstandige Satz der zwolf meromorphen Funktionen die Grundlage der Darstellung, die noch durch die sechs zu gehorigen logarithmischen Ableitungen erganzt wird. Von diesen zeichnen sich diejenigen, welche auf Quotienten der im zweiten Band zusatzlich eingeftihrten ftinften und sechsten Theta-Funktionen zurtickgeftihrt werden konnen, durch ihre Eigenschaften besonders aus. In engem Zusammenhang zu dem so gebildeten Grundstock der achtzehn elliptischen Funktionen steht der vollstandige Satz der zugehorigen LEGENDREschen und JAcoBIschen elliptischen Normal integrale erster, zweiter und dritter Gattung, deren Darstellung in algebraischer, trigonometrischer und hyperbolischer Form gegeben wird. Aus den im zweiten Band eingeftihrten sechs speziellen einparametrigen WEIERSTRAssschen &J-Funktionen ergeben sich durch Integration sechs spezielle einparametrige WEIERSTRAsssche Zeta-Funktionen, die in bezug auf zwei Raumgerade eine relative Periodizitat aufweisen. Neben jenen behandelt das Buch auch noch die sechs speziellen WEIERSTRAssschen Sigma-Funktionen, welche durch Integration aus den vorerwahnten Zeta-Funktionen hervorgehen. Den Herren Dr.-Ing. FEUERLEIN, Dipl.-Ing. FLAMM, Dipl.-Ing. FLINSPACH, Dr.-Ing. GAISER und Dipl.-Ing. KLOPFER danke ich ftir die Anfertigung der Abbildungen und Fraulein Dr.-Ing. Dipl.-Math. GOESER ftir die Durchftihrung der programmierungstechnischen Vorarbeiten. Ferner danke ich den Herren Priv.-Doz. Dr.-Ing. GIESECKE und Dr.-Ing. BONHAGE ftir die Untersttitzung bei der Durchsicht des Manuskriptes und fiir das Lesen der Korrektur.
5 Jacobische elliptische Funktionen und zugehörige logarithmische Ableitungen.- 108. Definitionen.- 109. Funktionalgleichungen.- 110. Periodenverhalten und Substitutionen.- 111. Funktionswerte an den Stellen $$ 0,pm frac{1}{2},;pm frac{{ix}}{2},;pm frac{1}{2},;pm frac{{ix}}{2} $$ bzw. $$ 0,pm K,;pm iK',;pm Kpm iK' $$.- 112. Trigonometrische und hyperbolische Reihenentwicklungen.- 113. Potenzreihen-Entwicklungen.- 114. Imaginäre Argumenttransformation, reziproke Modultransformation und imaginäre Modultransformation.- 115. Ableitungen.- 116. Gausssche und Landensche Transformation. Substitutionen für $$ zeta pm frac{1}{4};und;zeta pm frac{{ix}}{4} $$.- 117. Additionstheoreme. Transformationsgleichungen für doppeltes und halbes Argument. Weitere Substitutionen für $$ zeta pm frac{1}{4};und;zeta pm frac{{ix}}{4};sowie;fur;zeta pm frac{1}{4}pm frac{{ix}}{4} $$.- 118. Die Logarithmen der logarithmischen Ableitungen der Jacobischen elliptischen Funktionen.- 119. Übergänge vom (?, ?)-System auf das (z, k)-System.- 120. Funktionsverlauf der Jacobischen elliptischen Funktionen und der zugehörigen Ableitungen und logarithmischen Ableitungen im Reellen. Ausartungen.- 121. Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung.- 122. Die Integrale der Jacobischen elliptischen Funktionen.- 123. Die Integrale der logarithmischen Ableitungen der Jacobischen elliptischen Funktionen.- 6 Umkehrfunktionen der Jacobischen elliptischen Funktionen und elliptische Normalintegrale erster Gattung. Elliptische Amplitudenfunktion sowie Legendresche F- und E-Funktion. Elliptische Normalintegrale zweiter Gattung. Jacobische Zeta- und Heumansche Lambda-Funktion.- 124. Die 18 Umkehrfunktionen der Jacobischen elliptischen Funktionen und ihrerlogarithmischen Ableitungen. (Elliptische Normalintegrale erster Gattung.) Additionstheoreme der Umkehrfunktionen.- 125. Elliptische Normalintegrale erster Gattung in hyperbolischer Form.- 126. Potenzreihen-Entwicklungen der Umkehrfunktionen.- 127. Die elliptische Amplitudenfunktion ? = am(z, k) und ihre Umkehrfunktion z = F(?, k). Die vier trigonometrischen Legendreschen Normalintegrale erster Gattung.- 128. Darstellung der 18 Umkehrfunktionen und der elliptischen Normalintegrale erster Gattung durch die Funktion F. Die vier hyperbolischen Legendreschen Normalintegrale erster Gattung und die Funktion F für imaginäres Argument.- 129. Die Legendresche E-Funktion für reelles und imaginäres Argument.- 130. Die 18 Integrale der Quadrate der Jacobischen elliptischen Funktionen und ihrer logarithmischen Ableitungen, die 12 durch Umformung der letzteren entstehenden hyperbolischen Integrale, die 24 Normalintegrale zweiter Gattung und die acht trigonometrischen und hyperbolischen Legendreschen Normalintegrale zweiter Gattung.- 131. Die 46 Normalintegrale erster und zweiter Gattung mit linearen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen.- 132. Jacobische Zeta-Funktion und Heumansche Lambda-Funktion.- 7 Normalintegrale dritter Gattung. Legendresche ?-Funktion. Zurückführung des allgemeinen elliptischen Integrals auf Normalintegrale erster, zweiter und dritter Gattung.- 133. Die 96 Normalintegrale dritter Gattung in Jacobischer Form.- 134. Die acht zu den logarithmischen Ableitungen der Jacobischen elliptischen Funktionen gehörigen Normalintegrale dritter Gattung.- 135. 48 Quotientenintegrale und 48 spezielle Normalintegrale dritter Gattung in der Jacobischen Form.- 136. Algebraische Form der elliptischen Normalintegrale dritter Gattung.- 137. Darstellung dervollständigen Normalintegrale dritter Gattung durch Jacobische Zeta- und Heumansche Lambda-Funktionen.- 138. Die ?-Funktion und die Integrale dritter Gattung in trigonometrischer Form.- 139. Die 48 speziellen Normalintegrale dritter Gattung in algebraischer Form.- 140. Weitere sechs spezielle Normalintegrale dritter Gattung.- 141. Zurückführung des allgemeinen elliptischen Integrals in der Legendreschen Form auf Normalintegrale erster, zweiter und dritter Gattung.- 8 Spezielle Weierstraßsche Zeta-Funktionen.- 142. Definitions- und Funktionalgleichungen.- 143. Substitutionen.- 144. Relatives Periodenverhalten. Spezielle Funktionswerte. Funktionsverlauf.- 145. Lineare Beziehungen zu den logarithmischen Ableitungen der Jacobischen elliptischen Funktionen und deren Ableitungen.- 146. Integrale der ?-Funktionen als Weierstrasssche Zeta-Funktionen und Ableitungen der Zeta-Funktionen.- 147. Differentialtransformationen für doppelte und halbe Parameter.- 148. Gausssche und Landensche Transformation.- 149. Additionstheoreme und Transformationsgleichungen für doppeltes und halbes Argument.- 150. Trigonometrische, hyperbolische und Potenzreihen-Entwicklungen.- 151. Homogenitätstransformation der Funktionen 1 und 5.- 152. Imaginäre Transformation der Zeta-Funktionen.- 153. Differentialgleichungen.- 9 Spezielle Weierstraßsche Sigma-Funktionen.- 154. Spezielle Weierstrasssche Sigma-Funktionen und zweite logarithmische Ableitungen der Produkte der Theta-Funktionen.- 155. Partielle Differentialgleichungen der Sigma-Funktionen.- 156. Die Jacobischen elliptischen Funktionen und zwei ihrer logarithmischen Ableitungen als Quotienten von Sigma-Funktionen. Neufassung der Additionstheoreme der Jacobischen elliptischen Funktionen. Viererprodukte.
5 Jacobische elliptische Funktionen und zugehörige logarithmische Ableitungen.- 108. Definitionen.- 109. Funktionalgleichungen.- 110. Periodenverhalten und Substitutionen.- 111. Funktionswerte an den Stellen $$ 0,pm frac{1}{2},;pm frac{{ix}}{2},;pm frac{1}{2},;pm frac{{ix}}{2} $$ bzw. $$ 0,pm K,;pm iK',;pm Kpm iK' $$.- 112. Trigonometrische und hyperbolische Reihenentwicklungen.- 113. Potenzreihen-Entwicklungen.- 114. Imaginäre Argumenttransformation, reziproke Modultransformation und imaginäre Modultransformation.- 115. Ableitungen.- 116. Gausssche und Landensche Transformation. Substitutionen für $$ zeta pm frac{1}{4};und;zeta pm frac{{ix}}{4} $$.- 117. Additionstheoreme. Transformationsgleichungen für doppeltes und halbes Argument. Weitere Substitutionen für $$ zeta pm frac{1}{4};und;zeta pm frac{{ix}}{4};sowie;fur;zeta pm frac{1}{4}pm frac{{ix}}{4} $$.- 118. Die Logarithmen der logarithmischen Ableitungen der Jacobischen elliptischen Funktionen.- 119. Übergänge vom (?, ?)-System auf das (z, k)-System.- 120. Funktionsverlauf der Jacobischen elliptischen Funktionen und der zugehörigen Ableitungen und logarithmischen Ableitungen im Reellen. Ausartungen.- 121. Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung.- 122. Die Integrale der Jacobischen elliptischen Funktionen.- 123. Die Integrale der logarithmischen Ableitungen der Jacobischen elliptischen Funktionen.- 6 Umkehrfunktionen der Jacobischen elliptischen Funktionen und elliptische Normalintegrale erster Gattung. Elliptische Amplitudenfunktion sowie Legendresche F- und E-Funktion. Elliptische Normalintegrale zweiter Gattung. Jacobische Zeta- und Heumansche Lambda-Funktion.- 124. Die 18 Umkehrfunktionen der Jacobischen elliptischen Funktionen und ihrerlogarithmischen Ableitungen. (Elliptische Normalintegrale erster Gattung.) Additionstheoreme der Umkehrfunktionen.- 125. Elliptische Normalintegrale erster Gattung in hyperbolischer Form.- 126. Potenzreihen-Entwicklungen der Umkehrfunktionen.- 127. Die elliptische Amplitudenfunktion ? = am(z, k) und ihre Umkehrfunktion z = F(?, k). Die vier trigonometrischen Legendreschen Normalintegrale erster Gattung.- 128. Darstellung der 18 Umkehrfunktionen und der elliptischen Normalintegrale erster Gattung durch die Funktion F. Die vier hyperbolischen Legendreschen Normalintegrale erster Gattung und die Funktion F für imaginäres Argument.- 129. Die Legendresche E-Funktion für reelles und imaginäres Argument.- 130. Die 18 Integrale der Quadrate der Jacobischen elliptischen Funktionen und ihrer logarithmischen Ableitungen, die 12 durch Umformung der letzteren entstehenden hyperbolischen Integrale, die 24 Normalintegrale zweiter Gattung und die acht trigonometrischen und hyperbolischen Legendreschen Normalintegrale zweiter Gattung.- 131. Die 46 Normalintegrale erster und zweiter Gattung mit linearen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen.- 132. Jacobische Zeta-Funktion und Heumansche Lambda-Funktion.- 7 Normalintegrale dritter Gattung. Legendresche ?-Funktion. Zurückführung des allgemeinen elliptischen Integrals auf Normalintegrale erster, zweiter und dritter Gattung.- 133. Die 96 Normalintegrale dritter Gattung in Jacobischer Form.- 134. Die acht zu den logarithmischen Ableitungen der Jacobischen elliptischen Funktionen gehörigen Normalintegrale dritter Gattung.- 135. 48 Quotientenintegrale und 48 spezielle Normalintegrale dritter Gattung in der Jacobischen Form.- 136. Algebraische Form der elliptischen Normalintegrale dritter Gattung.- 137. Darstellung dervollständigen Normalintegrale dritter Gattung durch Jacobische Zeta- und Heumansche Lambda-Funktionen.- 138. Die ?-Funktion und die Integrale dritter Gattung in trigonometrischer Form.- 139. Die 48 speziellen Normalintegrale dritter Gattung in algebraischer Form.- 140. Weitere sechs spezielle Normalintegrale dritter Gattung.- 141. Zurückführung des allgemeinen elliptischen Integrals in der Legendreschen Form auf Normalintegrale erster, zweiter und dritter Gattung.- 8 Spezielle Weierstraßsche Zeta-Funktionen.- 142. Definitions- und Funktionalgleichungen.- 143. Substitutionen.- 144. Relatives Periodenverhalten. Spezielle Funktionswerte. Funktionsverlauf.- 145. Lineare Beziehungen zu den logarithmischen Ableitungen der Jacobischen elliptischen Funktionen und deren Ableitungen.- 146. Integrale der ?-Funktionen als Weierstrasssche Zeta-Funktionen und Ableitungen der Zeta-Funktionen.- 147. Differentialtransformationen für doppelte und halbe Parameter.- 148. Gausssche und Landensche Transformation.- 149. Additionstheoreme und Transformationsgleichungen für doppeltes und halbes Argument.- 150. Trigonometrische, hyperbolische und Potenzreihen-Entwicklungen.- 151. Homogenitätstransformation der Funktionen 1 und 5.- 152. Imaginäre Transformation der Zeta-Funktionen.- 153. Differentialgleichungen.- 9 Spezielle Weierstraßsche Sigma-Funktionen.- 154. Spezielle Weierstrasssche Sigma-Funktionen und zweite logarithmische Ableitungen der Produkte der Theta-Funktionen.- 155. Partielle Differentialgleichungen der Sigma-Funktionen.- 156. Die Jacobischen elliptischen Funktionen und zwei ihrer logarithmischen Ableitungen als Quotienten von Sigma-Funktionen. Neufassung der Additionstheoreme der Jacobischen elliptischen Funktionen. Viererprodukte.
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