Beim Entwurf und bei der Bemessung eines allgemeinen Tragwerks wird man vor allem die Spannungsverteilung (das Spannungsfeld) zu bestimmen suchen. Gelegentlich wird es auch notwendig sein, in bestimmten Punkten des Tragwerks die Verschiebun gen zu berechnen, um abzuschätzen, ob vorgegebene Höchstwerte nicht überschritten werden. In manchen Fällen, besonders wenn Belastung und Tragwerkverhalten zeitab hängig sind, muß auch der gesamte Verschiebungszustand, also das Verschiebungsfeld, bekannt sein. ~ine berechnete Spannungsverteilung sollte der Bedingung des Gleichge wichts zwischen inneren und…mehr
Beim Entwurf und bei der Bemessung eines allgemeinen Tragwerks wird man vor allem die Spannungsverteilung (das Spannungsfeld) zu bestimmen suchen. Gelegentlich wird es auch notwendig sein, in bestimmten Punkten des Tragwerks die Verschiebun gen zu berechnen, um abzuschätzen, ob vorgegebene Höchstwerte nicht überschritten werden. In manchen Fällen, besonders wenn Belastung und Tragwerkverhalten zeitab hängig sind, muß auch der gesamte Verschiebungszustand, also das Verschiebungsfeld, bekannt sein. ~ine berechnete Spannungsverteilung sollte der Bedingung des Gleichge wichts zwischen inneren und äußeren Kräften genügen. Gleichzeitig sollten die Ver schiebungen stetig sein (Verträglichkeitsbedingung). Um für eine gegebene Bemessungsaufgabe ein System von Spannungen und Ver formungen zu erhalten, müssen zunächst die Grundgleichungen des Problems aufge stellt werden, die den Gleichgewichts- und Verträglichkeitsbedingungen in gewisser Weise genügen. Ganz abgesehen von der Lösbarkeit derfraglichen Gleichungen wird es in der Regel schwierig sein, die Gleichungen den besonderen Gegebenheiten der Geo metrie, Belastung und Materialeigenschaften anzupassen. Der entwerfende Ingenieur wird daher gewisse Ungenauigkeiten in Kauf nehmen müssen, bevor er überhaupt mit der Prozedur der Auflösung der Gleichungen beginnt. Zur Beschreibung von zwei- oder dreidimensionalen Spannungs- und Verschiebungszu ständen werden partielle Differentialgleichungen erhalten, für welche exakte Lösungen nur in Sonderfällen gefunden werden. Auch wird es nur in wenigen Fällen möglich sein, brauchbare Annäherungen mit wenigen Gliedern eines Reihenansatzes zu finden.
1 Einleitung.- 1.1 Historischer Rückblick.- 1.2 Elementtypen.- 1.3 Einige Anwendungsmöglichkeiten der finiten Elemente.- 1.4 Das allgemeine Rechenprogramm.- Literatur.- 2 Definitionen und grundlegende Elementoperationen.- 2.1 Das Koordinatensystem.- 2.2 Die grundlegende Idealisierung durch Elemente.- 2.3 Der Kraft-Verschiebunszusammenhang eines Elementes.- 2.4 Energie und Arbeit.- 2.5 Reziprozität.- 2.6 Steifigkeits-Flexibilitätstransformationen.- 2.7 Transformation der Verschiebungsparameter.- 2.8 Raffung.- 2.9 Bestimmung der Starrkörperbewegung.- Literatur.- Aufgaben.- 3 Methoden der globalen Analysis.- 3.1 Die Steifigkeitsmethode, grundlegendes Konzept.- 3.2 Die direkte Steifigkeitsmethode, allgemeines Vorgehen.- 3.3 Steifigkeitsanalysis bei Verwendung von kongruenten Transformationen..- 3.4 Zusammenstellung der Vorteile der Methode der finiten Elemente.- 3.5 Spezielle Operationen.- Literatur.- Aufgaben.- 4 Grundgleichungen der Elastizitätstheorie.- 4.1 Die Differentialgleichungen des Gleichgewichts.- 4.2 Randbedingungen für die Spannungen.- 4.3 Verzerrungs-Verschiebungsrelationen und Verträglichkeitsbedingungen..- 4.4 Materialgleichungen, konstitutives Verhalten.- 4.5 Die Differentialgleichungen des Gleichgewichts und der Verträglichkeit..- 4.6 Abschließende Bemerkungen.- Literatur.- Aufgaben.- 5 Direkte Methoden der Elementformulierung.- 5.1 Die direkte Methode.- 5.2 Dreieckelement für den ebenen Spannungszustand.- 5.3 Grenzen der direkten Methode.- 5.4 Die direkte Methode bei nichtmechanischen Problemen.- 5.5 Methode der gewogenen Residuen.- Literatur.- Aufgaben.- 6 Variationsmethoden und ihre Elementformulierung.- 6.1 Das Prinzip der virtuellen Arbeit.- 6.2 Variationsrechnung.- 6.3 Das diskretisierte Variationsproblem.- 6.4 Prinzip vom Minimum derpotentiellen Energie.- 6.5 Die hybriden Deformationsmethoden und die verallgemeinerten Prinzipien der potentiellen Energie.- 6.6 Das Prinzip vom Minimum der Komplementärenergie.- 6.7 Das Hybrid-Verfahren mit Ansatzfunktionen für die Spannungen.- 6.8 Das Reissnersche und andere Energiefunktionale.- 6.9 Überblick und Zusammenfassung.- Literatur.- Aufgaben.- 7 Variationsprinzipien der globalen Analysis.- 7.1 Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie.- 7.2 Die potentielle Energie und das Maximum-Minimum-Prinzip.- 7.3 Nebenbedingungen und die Methode der Lagrange-Multiplikatoren.- 7.4 Methoden der verallgemeinerten potentiellen Energie.- 7.5 Das Prinzip des Minimums der Komplementärenergie.- 7.6 Der Charakter der oberen Schranke beim Prinzip des Minimums der Komplementärenergie.- Literatur.- Aufgaben.- 8 Funktionelle Darstellung des Elementverhaltens und der Geometrie.- 8.1 Forderungen an die Funktionen, die das Elementverhalten beschreiben.- 8.2 Die Polynomreihen.- 8.3 Direkte Bestimmung der Formfunktionen mittels Interpolation.- 8.4 Rechteckelemente.- 8.5 Dreieckelemente.- 8.6 Das Tetraeder.- 8.7 Innere Knoten und Zurückfuhrung auf einfachere Modelle.- 8.8 Isoparametrische Darstellung.- Literatur.- Aufgaben.- 9 Ebener Spannungszustand.- 9.1 Grundgleichungen.- 9.2 Dreieckelemente für den ebenen Spannungszustand.- 9.3 Rechteckelemente.- Literatur.- Aufgaben.- 10 Räumliche Elemente, allgemeiner Fall.- 10.1 Grundbeziehungen.- 10.2 Beschreibung des Tetraederelementes.- 10.3 Rechteckige Hexaederelemente.- 10.4 Numerischer Vergleich.- 10.5 Isoparametrische Darstellung und die Berechnung von Schalen bei Benutzung von räumlichen Elementen.- Literatur.- 11 Räumliche Elemente, Spezialfälle.- 11.1 Ebener Verzerrungszustand.- 11.2 Axialsymmetrische räumliche Elemente.-11.3 Allgemeine Belastung.- 11.4 Vorgeschriebene Volumenänderung - Inkompressibilität.- Literatur.- Aufgaben.- 12 Plattenbiegung.- 12.1 Theorie der Plattenbiegung.- 12.2 Rechteckelemente.- 12.3 Dreieckelemente.- 12.4 Der Einfluß der Schubverformung.- 12.5 Beseitigung der Bedingung der transversalen Schub Verformungen ("diskretisiertes Kirchhoff-Verfahren").- 12.6 Zweckmäßigkeit räumlicher Elemente bei der Plattenberechnung.- 12.7 Abschließende Bemerkungen.- Literatur.- Aufgaben.- 13 Elastische Stabilität.- 13.1 Allgemeine Theorie, lineare Stabilitätsanalysis.- 13.2 Globale Darstellung.- 13.3 Prismatische Stäbe.- 13.4 Plattenelemente.- Literatur.- Aufgaben.- Namenverzeichnis.
1 Einleitung.- 1.1 Historischer Rückblick.- 1.2 Elementtypen.- 1.3 Einige Anwendungsmöglichkeiten der finiten Elemente.- 1.4 Das allgemeine Rechenprogramm.- Literatur.- 2 Definitionen und grundlegende Elementoperationen.- 2.1 Das Koordinatensystem.- 2.2 Die grundlegende Idealisierung durch Elemente.- 2.3 Der Kraft-Verschiebunszusammenhang eines Elementes.- 2.4 Energie und Arbeit.- 2.5 Reziprozität.- 2.6 Steifigkeits-Flexibilitätstransformationen.- 2.7 Transformation der Verschiebungsparameter.- 2.8 Raffung.- 2.9 Bestimmung der Starrkörperbewegung.- Literatur.- Aufgaben.- 3 Methoden der globalen Analysis.- 3.1 Die Steifigkeitsmethode, grundlegendes Konzept.- 3.2 Die direkte Steifigkeitsmethode, allgemeines Vorgehen.- 3.3 Steifigkeitsanalysis bei Verwendung von kongruenten Transformationen..- 3.4 Zusammenstellung der Vorteile der Methode der finiten Elemente.- 3.5 Spezielle Operationen.- Literatur.- Aufgaben.- 4 Grundgleichungen der Elastizitätstheorie.- 4.1 Die Differentialgleichungen des Gleichgewichts.- 4.2 Randbedingungen für die Spannungen.- 4.3 Verzerrungs-Verschiebungsrelationen und Verträglichkeitsbedingungen..- 4.4 Materialgleichungen, konstitutives Verhalten.- 4.5 Die Differentialgleichungen des Gleichgewichts und der Verträglichkeit..- 4.6 Abschließende Bemerkungen.- Literatur.- Aufgaben.- 5 Direkte Methoden der Elementformulierung.- 5.1 Die direkte Methode.- 5.2 Dreieckelement für den ebenen Spannungszustand.- 5.3 Grenzen der direkten Methode.- 5.4 Die direkte Methode bei nichtmechanischen Problemen.- 5.5 Methode der gewogenen Residuen.- Literatur.- Aufgaben.- 6 Variationsmethoden und ihre Elementformulierung.- 6.1 Das Prinzip der virtuellen Arbeit.- 6.2 Variationsrechnung.- 6.3 Das diskretisierte Variationsproblem.- 6.4 Prinzip vom Minimum derpotentiellen Energie.- 6.5 Die hybriden Deformationsmethoden und die verallgemeinerten Prinzipien der potentiellen Energie.- 6.6 Das Prinzip vom Minimum der Komplementärenergie.- 6.7 Das Hybrid-Verfahren mit Ansatzfunktionen für die Spannungen.- 6.8 Das Reissnersche und andere Energiefunktionale.- 6.9 Überblick und Zusammenfassung.- Literatur.- Aufgaben.- 7 Variationsprinzipien der globalen Analysis.- 7.1 Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie.- 7.2 Die potentielle Energie und das Maximum-Minimum-Prinzip.- 7.3 Nebenbedingungen und die Methode der Lagrange-Multiplikatoren.- 7.4 Methoden der verallgemeinerten potentiellen Energie.- 7.5 Das Prinzip des Minimums der Komplementärenergie.- 7.6 Der Charakter der oberen Schranke beim Prinzip des Minimums der Komplementärenergie.- Literatur.- Aufgaben.- 8 Funktionelle Darstellung des Elementverhaltens und der Geometrie.- 8.1 Forderungen an die Funktionen, die das Elementverhalten beschreiben.- 8.2 Die Polynomreihen.- 8.3 Direkte Bestimmung der Formfunktionen mittels Interpolation.- 8.4 Rechteckelemente.- 8.5 Dreieckelemente.- 8.6 Das Tetraeder.- 8.7 Innere Knoten und Zurückfuhrung auf einfachere Modelle.- 8.8 Isoparametrische Darstellung.- Literatur.- Aufgaben.- 9 Ebener Spannungszustand.- 9.1 Grundgleichungen.- 9.2 Dreieckelemente für den ebenen Spannungszustand.- 9.3 Rechteckelemente.- Literatur.- Aufgaben.- 10 Räumliche Elemente, allgemeiner Fall.- 10.1 Grundbeziehungen.- 10.2 Beschreibung des Tetraederelementes.- 10.3 Rechteckige Hexaederelemente.- 10.4 Numerischer Vergleich.- 10.5 Isoparametrische Darstellung und die Berechnung von Schalen bei Benutzung von räumlichen Elementen.- Literatur.- 11 Räumliche Elemente, Spezialfälle.- 11.1 Ebener Verzerrungszustand.- 11.2 Axialsymmetrische räumliche Elemente.-11.3 Allgemeine Belastung.- 11.4 Vorgeschriebene Volumenänderung - Inkompressibilität.- Literatur.- Aufgaben.- 12 Plattenbiegung.- 12.1 Theorie der Plattenbiegung.- 12.2 Rechteckelemente.- 12.3 Dreieckelemente.- 12.4 Der Einfluß der Schubverformung.- 12.5 Beseitigung der Bedingung der transversalen Schub Verformungen ("diskretisiertes Kirchhoff-Verfahren").- 12.6 Zweckmäßigkeit räumlicher Elemente bei der Plattenberechnung.- 12.7 Abschließende Bemerkungen.- Literatur.- Aufgaben.- 13 Elastische Stabilität.- 13.1 Allgemeine Theorie, lineare Stabilitätsanalysis.- 13.2 Globale Darstellung.- 13.3 Prismatische Stäbe.- 13.4 Plattenelemente.- Literatur.- Aufgaben.- Namenverzeichnis.
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