Darstellungs- und Konvergenzsätze für Quadraturverfahren auf C und Cm
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Diese Arbeit liefert ein Beispiel für die Anwendung der Funktionalanalysis auf die Theorie der Quadratur. Im ersten Abschnitt geben wir eine Erweiterung des Darstellungssatzes von V. M. TscHAKALoFF [19] für positive, lineare Funktionale auf endlich dimensionalen, linearen und normierten Räumen. Unter schwächeren Voraussetzungen als in V. M. TscHA KALOFFS Darstellung wird die Existenz von interpolatorischen Quadraturverfahren mit positiven Gewichten bewiesen. Ferner zeigen wir die Existenz von konvergenten Quadraturverfahren, die für Funktionen aus einem in C [a, b] abgeschlossenen System ...
Diese Arbeit liefert ein Beispiel für die Anwendung der Funktionalanalysis auf die Theorie der Quadratur. Im ersten Abschnitt geben wir eine Erweiterung des Darstellungssatzes von V. M. TscHAKALoFF [19] für positive, lineare Funktionale auf endlich dimensionalen, linearen und normierten Räumen. Unter schwächeren Voraussetzungen als in V. M. TscHA KALOFFS Darstellung wird die Existenz von interpolatorischen Quadraturverfahren mit positiven Gewichten bewiesen. Ferner zeigen wir die Existenz von konvergenten Quadraturverfahren, die für Funktionen aus einem in C [a, b] abgeschlossenen System von 1. u. Funktionen exakt sind. Im dritten Abschnitt untersuchen wir interpolatorische Funktionale fn näher und stellen mittels der Interpolationstheorie in linearen, normierten Räumen [3] einen Charakteri sierungssatz auf, der für die Konstruktion von interpolatorischen Quadraturverfahren auf C und Cm von Bedeutung ist. Ein entsprechender Satz für interpolatorische fn vom "GAussschen Typ" (s. Definition 2), der das Ergebnis für die GAUSS-JACoBI-Quadratur verfahren enthält, wird ebenfalls in diesem Abschnitt bewiesen. Die Linearität der Quadraturverfahren auf C ist dafür verantwortlich, daß es zu jedem konvergenten Quadraturverfahren auf C eine stetige Funktion gibt, für die das Ver fahren sehr "langsam" konvergiert (s. Abschnitt 4). Aus demselben Grunde ist es un möglich, eine Einschließungseigenschaft, wie sie etwa bei RlliMANN-Integralen durch die Ober- und Untersummen gegeben ist, bei konvergenten Quadraturverfahren auf C zu erhalten. Die Konvergenzsätze für Quadraturverfahren auf C und Cm leiten wir einheitlich aus dem Darstellungssatz von F. RIESZ (C ) und aus dem entsprechenden Satz für Cm (A. SARD) in Verbindung mit dem Satz von BANACH-STEINHAUS her.
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