harmloser als die Sorte Paradoxa, aus denen Chaitin wie sein großer Vorgänger, der metamathematische Logiker Kurt Gödel, auf beunruhigende Eigenschaften der Grundlagen der Mathematik geschlossen hat. Gödels "Unvollständigkeitssätze" aus dem Jahre 1931 zeigten auf der Basis von formalen Kalkülen, daß ein arithmetisches Axiomensystem und darüberhinaus jede logische Formalsprache niemals zugleich vollständig und widerspruchsfrei sein kann, man also entweder nicht alle in einer basalen Logiksprache formulierbaren Sätze beweisen kann oder auch falsche. Die intuitiv durch "Heraustreten" aus dem Aussagenkontext erfaßbare "Absurdität" von Sätzen wie "Diese Aussage ist nicht richtig", war Gödels Schlüsseleinsicht. Gregory Chaitins während der sechziger Jahre im Teenageralter entwickelte "algorithmische Informationstheorie" bediente sich ganz ähnlicher logischer Stolpersteine, die bei ihm allerdings eher dem von Bertrand Russel bekanntgemachten "Berry-Paradox" nachgebildet waren, welches "die erste positive ganze Zahl, die dieser Satz nicht nennen kann", betrifft.
Chaitin, den Probleme des scheinbar oder wirklich Zufälligen (etwa bei der Primzahlverteilung) und des Nichtberechenbaren seit seiner ersten Berührung mit der mathematischen Literatur beschäftigt haben, fragte sich früh, ob der wahre Grund für die Gödelsche Unvollständigkeit nicht eine prinzipiellere Sorte Unvorhersagbarkeit des Beweisbaren sein mochte. Seine Grundidee war die Vorstellung von Beweisverfahren als unterschiedlich komplexen Algorithmen, also computerprogrammartigen Schritt-für-Schritt-Rechenanweisungen, und weiter der Gedanke, man könne "Zufälligkeit" einfach als "Irreduzibilität" definieren: Zufällig (nicht weiter erklärbar) ist jedes Ding, das nicht auf Beschreibungen reduziert werden kann, die weniger komplex sind als es selbst.
So machte sich Chaitin daran, das Berry-Paradox zu formalisieren und befaßte sich mit "der kleinsten Zahl, die nicht von einem Programm der Komplexität N berechnet werden kann." Neben einer komplizierten Liebesgeschichte zwischen Chaitins Hirn und Computerprogrammen der LISP-Familie (eine besondere Variante listenverwaltender Programmiersprachen) kam dabei vor allem die beunruhigende, vom Computerpionier Alan Turing bereits in rudimentärer Form vorgezeichnete Wahrheit heraus, daß kein Programm der Komplexität N jemals eine Zahl berechnen kann, die komplexer ist als es selbst, und es außerdem keine Möglichkeit gibt, sich zu versichern, daß ein gegebenes Programm das beste (konziseste, oder wie Chaitin sagt: eleganteste) ist, das ein bestimmtes Arrangement von Ausgabedaten produziert. Manche Wahrheiten, heißt das, sind aus so vielen verschiedenen denkbaren Gründen wahr, daß man ihre Wahrheit im Grunde "zufällig" nennen kann - ein herber Schlag für alle, die Wissenschaft mit der Verwaltung von Unbezweifelbarkeiten verwechseln.
In seinem neuen Buch "Conversations with a Mathematician", das kurzweilige Vorträge, Fernsehinterviews, autobiographische Skizzen und polemische Bonmots aus den letzten zwölf Jahren enthält, macht Chaitin seine Forschungen genau zu einem Zeitpunkt transparent, da sich die zuerst vom Physiker John Archibald Wheeler geäußerte Forderung, alle exakten Naturwissenschaften stünden vor der großen "Hausaufgabe", schrittweise "informatisch zu werden", an den verschiedensten Fronten von der Computerüber die Kognitions- bis zur physikalischen Forschung konkretisiert. Das Verlassen der überkommenen Begrifflichkeiten von Materie, Energie, Feld und so weiter, zugunsten von Theorien, in denen "Informationsfluß und -verarbeitung die Struktur des Universums bestimmt" (David Deutsch), wird nicht bruchlos vonstatten gehen und neben großen Fortschritten des Simulations- und Vorhersagevermögens auch ein paar metawissenschaftliche, epistemologische oder gar metaphysische Fehltritte mit sich bringen.
Im Ganzen aber erinnert der Prozeß an eine andere, die messenden und vorhersagenden Disziplinen scheinbar nicht berührende, weil mathematikimmanente Angelegenheit, die erst rund hundert Jahre zurückliegt. Chaitin weiß natürlich von ihr und erinnert in seinen hier versammelten Stellungnahmen immer wieder an den berühmten "Hausaufgabenvortrag" des großen deutschen Mathematikers David Hilbert vor dem Zweiten Internationalen Mathematikerkongreß in Paris im Jahre 1900. Hilbert hatte damals mit im Nachhinein nahezu unfaßbarer Treffsicherheit und atemberaubendem Weitblick dreiundzwanzig Probleme benannt, die das mathematische Denken im darauffolgenden Jahrhundert wesentlich beschäftigen sollten; die Suche nach Widerspruchsfreiheit der Arithmetik, deren Vergeblichkeit Gödel 1931 aufwies, war dabei nur eines, nämlich das berühmte "zweite Hilbertsche Problem".
Chaitin sieht im Hilbertschen Programm formaler axiomatischer Systeme im Nachhinein einen Fehlschlag, der den Weg zu erstaunlichen Erfolgen wies: Daß man herausfand, daß das, was Hilbert wollte, nicht möglich ist, war zumindest für die Entwicklung der Computer keineswegs ein Hemmnis, weil der Weg zu diesem Nachweis und alles weitere, das von dort aus bis zu Chaitins algorithmischer Informationstheorie und anderen Komplexitätstheorien der Gegenwart führte, von ganz besonderen Gewächsen geschmückt war und ist: "Formalisierung ist der größte Erfolg des Jahrhunderts. Wenn man sich die Arbeit der Logiker am Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts anschaut, sieht man, daß sie zwar über formale Sprachen als Mittel des Denkens und Schlußfolgerns sprachen, um die Mathematik und die symbolische Logik voranzubringen, dabei aber ganz nebenbei die ersten Formen von Programmiersprachen erfanden. Und das sind die Formalismen, mit denen wir heute leben und arbeiten!" Hilberts Verlangen nach "schärferen Werkzeugen" ist also in Chaitins Sicht, die den Weg zum Ziel macht und Hilbert damit gleichsam auf den Kopf (oder die Füße?) stellt, letztlich gestillt worden, auch wenn Hilbert nicht wissen konnte, daß diese Werkzeuge "Computer" heißen würden.
Vielleicht haben Physiker wie Max Tegmark recht, die glauben, das jede Struktur der Mathematik auch eine physikalische Entsprechung hat und wir Menschen eine Unterstruktur dieses mathematischen Multiversums bewohnen, die komplex genug ist, selbsterkennende Substrukturen zu enthalten, also solche, die subjektiv das Empfinden haben, in einer "physikalisch realen" Welt zu leben.
Was es bedeutet, diese Komplexitätsfrage zu formalisieren und der mathematisch-physikalischen Realität des computing von heute und morgen anzupassen, ist eine Frage, die sich derzeit nicht nur Chaitin stellt. Im Literaturverzeichnis der "Conversations" an letzter Stelle nennt Chaitin ein in diesen Tagen erscheinendes Buch des Programmierers und Pioniers sogenannter zellulärer Automaten, Stephen Wolfram, dessen Titel "eine neue Art Wissenschaft" verheißt und an dem Wolfram zwanzig Jahre lang gearbeitet hat. Chaitin bemerkt in für ihn charakteristisch listigem Tonfall, es gebe zwischen Wolfram und ihm zwar zahlreiche Berührungspunkte, aber auch bedeutende Meinungsverschiedenheiten. Nicht ohne leise Skepsis schreibt er, Wolframs Buch verzichte zwar auf Gleichungen, enthalte aber "viele, viele Illustrationen". Daß Chaitin sein sehr unterhaltsames, einem Laienpublikum absolut zugängliches "Conversations"-Buch mit dieser ironischen Note abschließt, die dennoch bekräftigt, daß außer ihm auch andere das Gebot der Stunde erkannt haben, ist eine im Wissenschaftsalltag ungewöhnliche schriftstellerische Geste - und verrät einmal mehr, daß, wer dem gewundenen Pfad des Informationsflusses zu folgen gelernt hat, nicht nur von Stringenz, sondern auch von Finten und Tricks der Kommunikation etwas versteht.
DIETMAR DATH.
Gregory J. Chaitin: "Conversations with a Mathematician". Math, Art, Science and The Limits of Reason. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 2002. VII, 158 S., geb., 24,95 [Euro].
Alle Rechte vorbehalten. © F.A.Z. GmbH, Frankfurt am Main
Frankfurter Allgemeine Zeitung | Besprechung von 19.01.2002
