Erwin Kruppa
Analytische und konstruktive Differentialgeometrie
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Das vorliegende Lehrbuch "Analytische und konstmktive Differentialgeometrie" gliedert sich in zwei Teile. Der erste Teil "Analytische Differentialgeometrie" ist eine EinfUhrung in die analytische, allgemeine Theorie der Raumkurven und FHi.chen, der Strahlflachen, Strahlkongruenzen und Strahlkomplexe im euklidi schen Raum. Er soll eine ausreichende Grundlage fUr ein tieferes Eindringen in die Differentialgeometrie liefern. Diese Zweckbestimmung laBt naturgemaB dem Verfasser nur wenig freien Spielraum. Doch wurden manche Einzelheiten neu gestaltet. Insbesondere wurde die Theorie der…mehr
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Das vorliegende Lehrbuch "Analytische und konstmktive Differentialgeometrie" gliedert sich in zwei Teile. Der erste Teil "Analytische Differentialgeometrie" ist eine EinfUhrung in die analytische, allgemeine Theorie der Raumkurven und FHi.chen, der Strahlflachen, Strahlkongruenzen und Strahlkomplexe im euklidi schen Raum. Er soll eine ausreichende Grundlage fUr ein tieferes Eindringen in die Differentialgeometrie liefern. Diese Zweckbestimmung laBt naturgemaB dem Verfasser nur wenig freien Spielraum. Doch wurden manche Einzelheiten neu gestaltet. Insbesondere wurde die Theorie der Strahlflachen in einer von mir in einigen Arbeiten entwickelten Methode dargestellt, die die Theorie der Raum kurven als Sonderfall der Theorie der Strahlflachen erscheinen laBt. 1m zweiten Teil "Konstruktive Differentialgeometrie" wird in der Differential geometrie die seit den Uranfangen der Geometrie getibte Methode angewendet, die das im Geiste moglichst klaF gedachte, wenn moglich graphisch versinnlichte geometrische Objekt mittels Synthese und Rechnung erforscht. In ihrer Frtih zeit war die Differentialgeometrie stark anschaulich-konstruktiv ausgerichtet. Diese Richtung muBte aber in den Hintergrund treten, je mehr die moderne Ent wicklung in abstrakte Gebiete fUhrte, die sich nur wenig oder gar nicht anschau li.ch erfassen lassen. Sie kam auch unverdient in MiBkredit, als miBbrauchlich in ihrem Namen viel Unfug mit "unendlich klein en GroBen" getrieben wurde. Es liegt in der Natur der Sache, daB in der Differentialgeometrie die anschaulich konstruktive Methode nur auf einer analytischen Grundlage angewendet werden kann, da ihre Begriffsbi1dungen auf Voraussetzungen tiber Differenzierbarkeit beruhen. Die auf diesem Wege zu gewinnenden Ergebnisse sind daher bloB Er ganzungen zur analytischen Theorie.
Produktdetails
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- Verlag: Springer / Springer Vienna / Springer, Wien
- Artikelnr. des Verlages: 86031045, 978-3-7091-7868-3
- Softcover reprint of the original 1st ed. 1957
- Seitenzahl: 200
- Erscheinungstermin: 20. April 2014
- Deutsch
- Abmessung: 244mm x 170mm x 12mm
- Gewicht: 354g
- ISBN-13: 9783709178683
- ISBN-10: 3709178681
- Artikelnr.: 40766990
- Verlag: Springer / Springer Vienna / Springer, Wien
- Artikelnr. des Verlages: 86031045, 978-3-7091-7868-3
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- Seitenzahl: 200
- Erscheinungstermin: 20. April 2014
- Deutsch
- Abmessung: 244mm x 170mm x 12mm
- Gewicht: 354g
- ISBN-13: 9783709178683
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Grundbegriffe der Vektorrechnung.- 1. Der Vektorbegriff.- 2. Addition von Vektoren.- 3. Innere (skalare) Multiplikation.- 4. Äußere (vektorielle) Multiplikation von zwei Vektoren, Determinante von drei Vektoren, Grundformeln.- 5. Vektorrechnung und Koordinatengeometrie.- 6. Linear abhängige Vektoren.- 7. Punkte, Gerade und Ebene in Vektorsymbolik.- 8. Differentiation eines Vektors nach einem Parameter.- A. Analytische Differentialgeometrie Vorbemerkung.- I. Raumkurven.- 9. Differenzierbare Kurven, Tangente, Bogenlänge.- 10. Schmiegebene.- 11. Torsen.- 12. Die Ableitungsgleichungen des Kegels, konische Krümmung.- 13. Krümmung, Torsion, konische Krümmung einer Raumkurve; Frenetsche Formeln.- 14. Krümmungskreis und Schmiegkugel.- 15. Die kanonischen Gleichungen einer Raumkurve, das Vorzeichen der Torsion.- 16. Berührung höherer Ordnung.- II. Längen, Winkel und Flächeninhalte auf krummen Flächen; flächentreue und konforme Abbildungen.- 17. Flächenbegriff, Berührebene.- 18. Längenmessung, erste Differentialform.- 19. Winkelmessung.- 20. Parametertransformation, Flächenmessung.- 21. Abbildung einer Fläche auf eine andere.- 22. Flächentreue Abbildungen.- 23. Konforme Abbildungen krummer Flächen.- 24. Konforme Abbildungen in der Ebene.- III. Krümmung der Flächen.- 25. Die zweite Differentialform, Schmieglinien.- 26. Die Meusniersche Formel.- 27. Die Eulersche Formel der Flächentheorie.- 28. Die Dupinsche Indikatrix.- 29. Gaußsche und mittlere Krümmung, Krümmungslinien.- 30. Konjugierte Tangenten.- 31. Die Ableitungsgleichungen von Weingarten.- 32. Die Normalentorsen, Zentraflächen.- 33. Die sphärische Abbildung einer Fläche.- 34. Begleitendes Dreibein eines Streifens; geodätische Krümmung, Normalkrümmung, geodätische Torsion.- 35. Die Christoffel-Symbole.- 36. Die Ableitungsgleichungen von Gauß.- 37. Die Integrierbarkeitsbedingung von Gauß.- 38. Die Integrierbarkeitsbedingungen von Mainardi und Codazzi.- 39. Dreifach orthogonale Flächensysteme.- 40. Drehflächen konstanter Gaußscher Krümmung.- 41. Die isotropen Kurven einer Fläche.- 42. Schiebflächen, Minimalflächen.- IV. Biegung von Flächen.- 43. Isometrie und Biegung; einige Biegungsinvarianten.- 44. Die Biegungsinvarianz der geodätischen Krümmung.- 45. Geodätische Linien.- 46. Verebnung von Torsen.- 47. Geodätische Parallelverschiebung; biegungsinvariante Erklärung der geodätischen Krümmung.- 48. Geodätische Parameter, geodätische Polarkoordinaten.- 49. Die Integralformel von Bonnet-Gauß.- 50. Flächen konstanter Gaußscher Krümmung.- 51. Eine Abbildung der inneren Geometrie der Flächen konstanter negativer Krümmung auf die Ebene.- 52. Die Identität der Begriffe "Entfernungskreise"und "geodätische Kreise"auf Flächen konstanter Krümmung.- V. Windschiefe Strahlflächen und Ergänzungen zur Kurventheorie.- 53. Begleitendes Dreikant einer windschiefen Strahlfläche, Drall einer Erzeugenden.- 54. Die Grundinvarianten: Krümmung, Torsion und Striktion; Ableitungsgleichungen.- 55. Berührungskorrelation; einige besondere Strahlflächen.- 56. Die begleitenden Torsen der Strahlflächen und Raumkurven.- 57. Die Zentraltangentenfläche.- 58. Die Zentralnormalenfläche.- 59. Die Orthogonalkurven der Erzeugenden einer Strahlfläche; Filar- und Plan-Evolventen und -Evoluten von Raumkurven.- 60. Existenzbeweis für Kegel, Kurven und Strahlflächen mit vorgeschriebenen Grundinvarianten.- 61. Bertrandsche Kurvenpaare und die ihnen verwandten Strahlflächenpaare.- 62. Normalkrümmung, geodätische Krümmung und geodätische Torsion der Striktionslinie.- 63. Gaußsche und mittlere Krümmung, Schmieglinien, Krümmungslinien und geodätische Linien auf Strahlflächen.- 64. Verbiegung des Katenoids auf die Wendelfläche.- 65. Mindingsche Verbiegungen einer windschiefen Strahlfläche.- VI. Strahlkongruenzen.- 66. Die Kummerschen Differentialformen.- 67. Grenzpunkte, Hauptrichtungen, Formel von Hamilton.- 68. Brennpunkte, Brennebenen, Brennflächen.- 69. Isotrope Strahlkongruenzen.- VII. Strahlkomplexe.- 70. Plückersche Linienkoordinaten.- 71. Der lineare Strahlkomplex; das Nullsystem.- 72. Gewindekurven.- 73. Windschiefe Gewindestrahlflächen; Liesche Schmieglinie.- 74. Nichtlineare Strahlkomplexe; Komplexkurven, Komplexkegel, berührende Gewinde.- B. Konstruktive Differentialgeometrie.- VIII. Konstruktive Ergänzungen zur Theorie der Kurven und Torsen.- 75. Erzeugung von Punkten, Tangenten und Schmiegebenen durch Grenzübergänge; Dualitätsprinzip.- 76. Die einfachsten Singularitäten an Kurven.- 77. Zentralprojektion von Raumkurven und ebene Schnitte von Tangentenflächen.- 78. Definitionen des Krümmungskreises.- 79. Verhalten der Kurvenkrümmung bei Zentral- und Parallelprojektion.- 80. Affinnormalen ebener Kurven.- 81. Konische Krümmung und Krümmungskegel der Kegelflächen.- 82. Krümmungskegel, konische Krümmung und Torsion von Raumkurven.- IX. Konstruktive Ergänzungen zur Flächentheorie.- 83. Der Meusniersche Satz.- 84. Eulersche Formel, oskulierendes Scheitelparaboloid.- 85. Konstruktion der Tangenten in einem Doppelpunkt der Schnittkurve zweier Flächen.- 86. Die Sätze von Mannheim und Blaschke, duale Gegenstücke zu den Sätzen von Meusnier und Euler.- 87. Die kubische Indikatrix und die Affinnormalen der Normalschnitte in einem Flächenpunkt.- 88. Die kubische Indikatrix einer Fläche 2. Ordnung.- 89. Die Tangenten im Tripelpunkt der Schnittkurve einer Fläche mit einer Schmieg-F2; die Darbouxschen Tangenten.- 90. Der Satz von Transon.- 91. Die Flächenafunnormale und der Kegel von B. Su.- X. Konstruktive Ergänzungen zur Theorie der windschiefen Strahlflächen.- 92. Konstruktive Einführung der Berührungskorrelation und des Dralls.- 93. Die vier Geschwindigkeitsfunktionen; Klassifizierung der Erzeugenden.- 94. Konstruktion der Schmiegtangenten und der Schmiegquadrik einer Erzeugenden; die Schmieglinien einer Strahlfläche.- 95. Konstruktion der Hauptkrümmungsradien einer Strahlfläche.- 96. Konstruktion der Lieschen Schmieglinie einer Gewindestrahlfläche.- 97. Konstruktion der Schmieglinien einer Netzfläche.- XI. Konstruktive Differentialgeometrie besonderer Flächen und Kurven.- 98. Drehflächen; verallgemeinerte Drehflächen, Gesimsflächen.- 99. Schiebflächen.- 100. Schraubungen; allgemeine Schraubflächen.- 101. Zyklische Schraubflächen.- 102. Strahlschraubflächen.- 103. Das Plückersche Konoid.- 104. Die Striktionslinie des einschaligen Hyperboloids.- 105. Böschungslinien und Böschungsflächen.- 106. Drehkegelloxodromen.- 107. Böschungslinien auf Drehflächen 2. Ordnung mit lotrechter Achse.- 108. Pseudogeodätische Linien auf Zylindern.- XII. Das konforme und das projektive Bild der nichteuklidischen Geometrien auf den Flächen konstanter Gaußscher Krümmung.- 109. Das projektive Bild der elliptischen Geometrie.- 110. Das konforme Bild der elliptischen Geometrie.- 111. Das konforme und das projektive Bild der hyperbolischen Geometrie.- 112. Anwendung der Cayley-Kleinschen Maßbestimmung in der Theorie der Böschungslinien auf Flächen 2. Ordnung.- XIII. Kinematische Differentialgeometrie.- 113. Bewegung einer Ebene in sich, Geschwindigkeitsvektor, Momentanpol.- 114. Überlagerung von Bewegungen, relative Bewegungen und Geschwindigkeiten.- 115. Rastpolkurve, Gangpolkurve, kinematische Erzeugung der Ellipse und der Pascalschen Schnecken.- 116. Gleiten längs einer ebenen Kurve, Traktrix von Huygens und Kettenlinie.- 117. Die Euler-Savarysehe Konstruktion der Krümmungskreise der Punktbahnen.- 118. Konstruktion der Krümmungskreise der Hüllbahnen.- 119. Sphärische Bewegungen, Bewegungen im Bündel.- 120. Allgemeine Bewegungen im Raum, Überlagerung von Momentanbewegungen.- 121. Die Momentanschraubungen der begleitenden Dreikante der Strahlflächen und Raumkurven.- 122. Rast- und Gangachsenfläche.- Namenverzeichnis.
Grundbegriffe der Vektorrechnung.- 1. Der Vektorbegriff.- 2. Addition von Vektoren.- 3. Innere (skalare) Multiplikation.- 4. Äußere (vektorielle) Multiplikation von zwei Vektoren, Determinante von drei Vektoren, Grundformeln.- 5. Vektorrechnung und Koordinatengeometrie.- 6. Linear abhängige Vektoren.- 7. Punkte, Gerade und Ebene in Vektorsymbolik.- 8. Differentiation eines Vektors nach einem Parameter.- A. Analytische Differentialgeometrie Vorbemerkung.- I. Raumkurven.- 9. Differenzierbare Kurven, Tangente, Bogenlänge.- 10. Schmiegebene.- 11. Torsen.- 12. Die Ableitungsgleichungen des Kegels, konische Krümmung.- 13. Krümmung, Torsion, konische Krümmung einer Raumkurve; Frenetsche Formeln.- 14. Krümmungskreis und Schmiegkugel.- 15. Die kanonischen Gleichungen einer Raumkurve, das Vorzeichen der Torsion.- 16. Berührung höherer Ordnung.- II. Längen, Winkel und Flächeninhalte auf krummen Flächen; flächentreue und konforme Abbildungen.- 17. Flächenbegriff, Berührebene.- 18. Längenmessung, erste Differentialform.- 19. Winkelmessung.- 20. Parametertransformation, Flächenmessung.- 21. Abbildung einer Fläche auf eine andere.- 22. Flächentreue Abbildungen.- 23. Konforme Abbildungen krummer Flächen.- 24. Konforme Abbildungen in der Ebene.- III. Krümmung der Flächen.- 25. Die zweite Differentialform, Schmieglinien.- 26. Die Meusniersche Formel.- 27. Die Eulersche Formel der Flächentheorie.- 28. Die Dupinsche Indikatrix.- 29. Gaußsche und mittlere Krümmung, Krümmungslinien.- 30. Konjugierte Tangenten.- 31. Die Ableitungsgleichungen von Weingarten.- 32. Die Normalentorsen, Zentraflächen.- 33. Die sphärische Abbildung einer Fläche.- 34. Begleitendes Dreibein eines Streifens; geodätische Krümmung, Normalkrümmung, geodätische Torsion.- 35. Die Christoffel-Symbole.- 36. Die Ableitungsgleichungen von Gauß.- 37. Die Integrierbarkeitsbedingung von Gauß.- 38. Die Integrierbarkeitsbedingungen von Mainardi und Codazzi.- 39. Dreifach orthogonale Flächensysteme.- 40. Drehflächen konstanter Gaußscher Krümmung.- 41. Die isotropen Kurven einer Fläche.- 42. Schiebflächen, Minimalflächen.- IV. Biegung von Flächen.- 43. Isometrie und Biegung; einige Biegungsinvarianten.- 44. Die Biegungsinvarianz der geodätischen Krümmung.- 45. Geodätische Linien.- 46. Verebnung von Torsen.- 47. Geodätische Parallelverschiebung; biegungsinvariante Erklärung der geodätischen Krümmung.- 48. Geodätische Parameter, geodätische Polarkoordinaten.- 49. Die Integralformel von Bonnet-Gauß.- 50. Flächen konstanter Gaußscher Krümmung.- 51. Eine Abbildung der inneren Geometrie der Flächen konstanter negativer Krümmung auf die Ebene.- 52. Die Identität der Begriffe "Entfernungskreise"und "geodätische Kreise"auf Flächen konstanter Krümmung.- V. Windschiefe Strahlflächen und Ergänzungen zur Kurventheorie.- 53. Begleitendes Dreikant einer windschiefen Strahlfläche, Drall einer Erzeugenden.- 54. Die Grundinvarianten: Krümmung, Torsion und Striktion; Ableitungsgleichungen.- 55. Berührungskorrelation; einige besondere Strahlflächen.- 56. Die begleitenden Torsen der Strahlflächen und Raumkurven.- 57. Die Zentraltangentenfläche.- 58. Die Zentralnormalenfläche.- 59. Die Orthogonalkurven der Erzeugenden einer Strahlfläche; Filar- und Plan-Evolventen und -Evoluten von Raumkurven.- 60. Existenzbeweis für Kegel, Kurven und Strahlflächen mit vorgeschriebenen Grundinvarianten.- 61. Bertrandsche Kurvenpaare und die ihnen verwandten Strahlflächenpaare.- 62. Normalkrümmung, geodätische Krümmung und geodätische Torsion der Striktionslinie.- 63. Gaußsche und mittlere Krümmung, Schmieglinien, Krümmungslinien und geodätische Linien auf Strahlflächen.- 64. Verbiegung des Katenoids auf die Wendelfläche.- 65. Mindingsche Verbiegungen einer windschiefen Strahlfläche.- VI. Strahlkongruenzen.- 66. Die Kummerschen Differentialformen.- 67. Grenzpunkte, Hauptrichtungen, Formel von Hamilton.- 68. Brennpunkte, Brennebenen, Brennflächen.- 69. Isotrope Strahlkongruenzen.- VII. Strahlkomplexe.- 70. Plückersche Linienkoordinaten.- 71. Der lineare Strahlkomplex; das Nullsystem.- 72. Gewindekurven.- 73. Windschiefe Gewindestrahlflächen; Liesche Schmieglinie.- 74. Nichtlineare Strahlkomplexe; Komplexkurven, Komplexkegel, berührende Gewinde.- B. Konstruktive Differentialgeometrie.- VIII. Konstruktive Ergänzungen zur Theorie der Kurven und Torsen.- 75. Erzeugung von Punkten, Tangenten und Schmiegebenen durch Grenzübergänge; Dualitätsprinzip.- 76. Die einfachsten Singularitäten an Kurven.- 77. Zentralprojektion von Raumkurven und ebene Schnitte von Tangentenflächen.- 78. Definitionen des Krümmungskreises.- 79. Verhalten der Kurvenkrümmung bei Zentral- und Parallelprojektion.- 80. Affinnormalen ebener Kurven.- 81. Konische Krümmung und Krümmungskegel der Kegelflächen.- 82. Krümmungskegel, konische Krümmung und Torsion von Raumkurven.- IX. Konstruktive Ergänzungen zur Flächentheorie.- 83. Der Meusniersche Satz.- 84. Eulersche Formel, oskulierendes Scheitelparaboloid.- 85. Konstruktion der Tangenten in einem Doppelpunkt der Schnittkurve zweier Flächen.- 86. Die Sätze von Mannheim und Blaschke, duale Gegenstücke zu den Sätzen von Meusnier und Euler.- 87. Die kubische Indikatrix und die Affinnormalen der Normalschnitte in einem Flächenpunkt.- 88. Die kubische Indikatrix einer Fläche 2. Ordnung.- 89. Die Tangenten im Tripelpunkt der Schnittkurve einer Fläche mit einer Schmieg-F2; die Darbouxschen Tangenten.- 90. Der Satz von Transon.- 91. Die Flächenafunnormale und der Kegel von B. Su.- X. Konstruktive Ergänzungen zur Theorie der windschiefen Strahlflächen.- 92. Konstruktive Einführung der Berührungskorrelation und des Dralls.- 93. Die vier Geschwindigkeitsfunktionen; Klassifizierung der Erzeugenden.- 94. Konstruktion der Schmiegtangenten und der Schmiegquadrik einer Erzeugenden; die Schmieglinien einer Strahlfläche.- 95. Konstruktion der Hauptkrümmungsradien einer Strahlfläche.- 96. Konstruktion der Lieschen Schmieglinie einer Gewindestrahlfläche.- 97. Konstruktion der Schmieglinien einer Netzfläche.- XI. Konstruktive Differentialgeometrie besonderer Flächen und Kurven.- 98. Drehflächen; verallgemeinerte Drehflächen, Gesimsflächen.- 99. Schiebflächen.- 100. Schraubungen; allgemeine Schraubflächen.- 101. Zyklische Schraubflächen.- 102. Strahlschraubflächen.- 103. Das Plückersche Konoid.- 104. Die Striktionslinie des einschaligen Hyperboloids.- 105. Böschungslinien und Böschungsflächen.- 106. Drehkegelloxodromen.- 107. Böschungslinien auf Drehflächen 2. Ordnung mit lotrechter Achse.- 108. Pseudogeodätische Linien auf Zylindern.- XII. Das konforme und das projektive Bild der nichteuklidischen Geometrien auf den Flächen konstanter Gaußscher Krümmung.- 109. Das projektive Bild der elliptischen Geometrie.- 110. Das konforme Bild der elliptischen Geometrie.- 111. Das konforme und das projektive Bild der hyperbolischen Geometrie.- 112. 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