Dieses Lehrbuch ist eine leicht verständliche und systematische Einführung in die Analysis. Ausgangspunkt ist der Körper der reellen Zahlen, auf dem unter maßgeblicher Verwendung der Ordnungsrelation die klassischen elementaren Funktionen konstruiert werden. Dies entspricht dem Vorgehen in der Schule. Das weitere Eindringen in die Analysis erfordert die größere Flexibilität des Grenzwertbegriffs. Mit diesem Instrument wird in den nachfolgenden Abschnitten in die Theorie der Folgen und Reihen, die Theorie der stetigen Funktionen sowie in die Differential- und Integralrechnung eingeführt. Das…mehr
Dieses Lehrbuch ist eine leicht verständliche und systematische Einführung in die Analysis. Ausgangspunkt ist der Körper der reellen Zahlen, auf dem unter maßgeblicher Verwendung der Ordnungsrelation die klassischen elementaren Funktionen konstruiert werden. Dies entspricht dem Vorgehen in der Schule. Das weitere Eindringen in die Analysis erfordert die größere Flexibilität des Grenzwertbegriffs. Mit diesem Instrument wird in den nachfolgenden Abschnitten in die Theorie der Folgen und Reihen, die Theorie der stetigen Funktionen sowie in die Differential- und Integralrechnung eingeführt. Das Buch schließt mit einem Ausblick auf komplexe Zahlen und komplexe Funktionen. Vielfältige Anwendungen sowie zahlreiche Beispiele, Abbildungen und Aufgaben unterstützen den Leser bei der Aneignung des Stoffes. Lösungshinweise und vollständige Lösungen der Aufgaben komplettieren das Buch.
1 Der Körper der reellen Zahlen.- 1.1 Der geordnete Körper der reellen Zahlen.- 1.2 Supremaund Infima, das Vollständigkeitsaxiom.- 1.3 Die Approximation reeller Zahlen durch rationale Zahlen.- 1.4 Existenz und Eindeutigkeit n-ter Wurzeln in R.- 1.5 Beträge und Betragsungleichungen, Intervalle.- 2 Elementare Funktionen.- 2.1 Grundbegriffe.- 2.2 Monotone Funktionen.- 2.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen.- 2.4 Ganzrationale Funktionen.- 2.5 Trigonometrische Funktionen.- 3 Zahlenfolgen und Grenzwerte.- 3.1 Zahlenfolgen.- 3.2 Grenzwerte und Konvergenzkriterien.- 3.3 Grenzwertsätze.- 3.4 Monotone Zahlenfolgen und Intervallschachtelungen.- 3.5 Die natürliche Exponentialfunktion.- 3.6 Häufungspunkte.- 3.7 Das Cauchy-Kriterium.- 3.8 Der Banachsche Fixpunktsatz.- 4 Zahlenreihen.- 4.1 Grundbegriffe.- 4.2 Grenzwertsätze und Konvergenzkriterien.- 4.3 Absolut konvergente Reihen.- 4.4 Potenzreihen und Exponentialfunktion.- 5 Stetigkeit.- 5.1 Der Stetigkeitsbegriff.- 5.2 Grenzwerte und Stetigkeit.- 5.3 Nullstellensatz und Zwischenwertsatz.- 5.4 Der Satz vom Maximum und Minimum.- 5.5 Gleichmäßige Stetigkeit und Lipschitz-Stetigkeit.- 6 Differentialrechnung.- 6.1 Differenzierbarkeit.- 6.2 Differentiationsregeln.- 6.3 Differentiation elementarer Funktionen.- 6.4 Mittelwertsätze der Differentialrechnung.- 6.5 Kurvendiskussion.- 6.6 Taylorentwicklung.- 6.7 Rundungsfehler und Fehlerfortpflanzung.- 7 Integralrechnung.- 7.1 Das Riemannsche Integral.- 7.2 Integrabilitätskriterien.- 7.3 Existenzsätze.- 7.4 Eigenschaften des Integrals.- 7.5 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.- 7.6 Integrationsmethoden.- 7.7 Integration gebrochenrationaler Funktionen.- 7.8 Uneigentliche Integrale.- 7.9 Integration und Inhaltslehre.- 8 Komplexe Zahlen und Anwendungen.- 8.1 DerKörper der komplexen Zahlen.- 8.2 Die trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen.- 8.3 Konvergenz und Grenzwerte in C.- 8.4 Der Fundamentalsatz der klassischen Algebra.- 8.5 Exponential- und Sinusfunktion im Komplexen.- Die logische Abhängigkeit der zentralen Sätze.- Lösungen der Aufgaben.- Literatur.- Stichwortverzeichnis.
1 Der Körper der reellen Zahlen.- 1.1 Der geordnete Körper der reellen Zahlen.- 1.2 Supremaund Infima, das Vollständigkeitsaxiom.- 1.3 Die Approximation reeller Zahlen durch rationale Zahlen.- 1.4 Existenz und Eindeutigkeit n-ter Wurzeln in R.- 1.5 Beträge und Betragsungleichungen, Intervalle.- 2 Elementare Funktionen.- 2.1 Grundbegriffe.- 2.2 Monotone Funktionen.- 2.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen.- 2.4 Ganzrationale Funktionen.- 2.5 Trigonometrische Funktionen.- 3 Zahlenfolgen und Grenzwerte.- 3.1 Zahlenfolgen.- 3.2 Grenzwerte und Konvergenzkriterien.- 3.3 Grenzwertsätze.- 3.4 Monotone Zahlenfolgen und Intervallschachtelungen.- 3.5 Die natürliche Exponentialfunktion.- 3.6 Häufungspunkte.- 3.7 Das Cauchy-Kriterium.- 3.8 Der Banachsche Fixpunktsatz.- 4 Zahlenreihen.- 4.1 Grundbegriffe.- 4.2 Grenzwertsätze und Konvergenzkriterien.- 4.3 Absolut konvergente Reihen.- 4.4 Potenzreihen und Exponentialfunktion.- 5 Stetigkeit.- 5.1 Der Stetigkeitsbegriff.- 5.2 Grenzwerte und Stetigkeit.- 5.3 Nullstellensatz und Zwischenwertsatz.- 5.4 Der Satz vom Maximum und Minimum.- 5.5 Gleichmäßige Stetigkeit und Lipschitz-Stetigkeit.- 6 Differentialrechnung.- 6.1 Differenzierbarkeit.- 6.2 Differentiationsregeln.- 6.3 Differentiation elementarer Funktionen.- 6.4 Mittelwertsätze der Differentialrechnung.- 6.5 Kurvendiskussion.- 6.6 Taylorentwicklung.- 6.7 Rundungsfehler und Fehlerfortpflanzung.- 7 Integralrechnung.- 7.1 Das Riemannsche Integral.- 7.2 Integrabilitätskriterien.- 7.3 Existenzsätze.- 7.4 Eigenschaften des Integrals.- 7.5 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.- 7.6 Integrationsmethoden.- 7.7 Integration gebrochenrationaler Funktionen.- 7.8 Uneigentliche Integrale.- 7.9 Integration und Inhaltslehre.- 8 Komplexe Zahlen und Anwendungen.- 8.1 DerKörper der komplexen Zahlen.- 8.2 Die trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen.- 8.3 Konvergenz und Grenzwerte in C.- 8.4 Der Fundamentalsatz der klassischen Algebra.- 8.5 Exponential- und Sinusfunktion im Komplexen.- Die logische Abhängigkeit der zentralen Sätze.- Lösungen der Aufgaben.- Literatur.- Stichwortverzeichnis.
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