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  • Produktbild: Grundlagen der Mathematik II
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Band 50

Grundlagen der Mathematik II

Aus der Reihe Grundlehren der mathematischen Wissenschaften

79,99 €

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Beschreibung

Produktdetails

Einband

Taschenbuch

Erscheinungsdatum

17.05.2012

Verlag

Springer Berlin

Seitenzahl

568

Maße (L/B/H)

23,5/15,5/3,2 cm

Gewicht

873 g

Auflage

2. Auflage 1970

Sprache

Deutsch

ISBN

978-3-642-86897-9

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Taschenbuch

Erscheinungsdatum

17.05.2012

Verlag

Springer Berlin

Seitenzahl

568

Maße (L/B/H)

23,5/15,5/3,2 cm

Gewicht

873 g

Auflage

2. Auflage 1970

Sprache

Deutsch

ISBN

978-3-642-86897-9

Herstelleradresse

Springer-Verlag KG
Sachsenplatz 4-6
1201 Wien
AT

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  • 1. Die Methode der Elimination der gebundenen Variablen mittels des Hileertschen ?-Symbols.- 1. Der Prozeß der symbolischen Auflösung von Existenzialformeln.- 2. Das Hilbertsche ?-Symbol und die ?-Formel.- 3. Beweis des ersten ?-Theorems.- a) Vorbereitungen.- b) Der Hilbertsche Ansatz.- c) Arten der Zusammensetzung von ?-Symbolen; Grad und Rang von ?-Termen.- d) Elimination der kritischen Formeln im allgemeinen Falle.- e) Erweiterung des Ergebnisses.- 4. Nachweise von Widerspruchsfreiheit.- a) Ein allgemeines Widerspruchsfreiheitstheorem.- b) Anwendung auf die Geometrie.-
    2. Beweistheoretische Untersuchung der Zahlentheorie mittels der an das ?-Symbol sich knüpfenden Methoden.- 1. Anwendung des Wf.-Theorems auf die Zahlentheorie.- 2. Einbeziehung des allgemeinen Gleichheitsaxioms in das erste ?-Theorem.- a) Vorbereitende Überlegungen; Grundtypus; Formeln der ?-Gleichheit.- b) Gemeinsame Elimination der kritischen Formeln und der Formeln der ?-Gleichheit.- c) Verschärfte Fassung des ersten ?-Theorems und des Wf.-Theorems.- 3. Hindernisse für die Einbeziehung des unbeschränkten Induktionsschemas in das Eliminationsverfahren. Formalisierung des Induktionsprinzips mit Hilfe einer zweiten Formel für das ?-Symbol. Überleitung zu dem ursprünglichen Hilbertschen Ansatz.- 4. Der ursprüngliche Hilbertsche Ansatz zur Ausschaltung der ?-Symbole und seine weitere Verfolgung.- a) Einfachste Fälle.- b) Vorbereitungen zur Behandlung des allgemeinen Falles.- c) Durchführung des Hilbertschen Ansatzes bei Beschränkung auf ?-Terme vom Range 1.- d) Bildung einer Aufeinanderfolge von Gesamtersetzungen im allgemeinen Fall.- e) Nachweis der Bestimmbarkeit einer Resolvente im Falle, daß alle kritischen Formeln solche von erster Art sind.- f) Versagen der Beweismethode bei der Hinzunahme kritischer Formeln zweiter Art von beliebigem Rang. Ergänzung des vorherigen Resultates.- g) Verwertung des erhaltenen Ergebnisses für das Wf.-Theorem.-
    3. Anwendung des ?-Symbols auf die Untersuchung des logischen Formalismus.- 1. Das zweite ?-Theorem.- 2. Einbeziehung des allgemeinen Gleichheitsaxioms in das zweite ?-Theorem Anknüpfende Eliminationsbetrachtungen.- 3. Der Herbrandsche Satz.- 4. Kriterien der Widerlegbarkeit im reinen Prädikatenkalkul.- 5. Anwendung der erhaltenen Kriterien auf das Entscheidungsproblem.- a) Allgemeines über Erfüllbarkeit. Die erfüllungstheoretische Skolemsche Normalform.- b) Der Löwenheimsche Satz und der Gödelsche Vollständigkeitssatz.- c) Berücksichtigung der Anforderungen des finiten Standpunktes.- d) Behandlung eines Beispiels.- e) Erfüllungstheoretische Normalformen.-
    4. Die Methode der Arithmetisierung der Metamathematik in Anwendung auf den Prädikatenkalkul.- 1. Durchführung einer Arithmetisierung der Metamathematik des Prädikatenkalkuls.- a) Die Nummernzuordnungen.- b) Hilfsmittel der rekursiven Zahlentheorie.- c) Arithmetisierung des Begriffes „Formel“.- d) Arithmetisierung von Wahrheitswertverteilungen.- e) Arithmetisierung des Begriffes „Ableitung“.- 2. Anwendung der Arithmetisierungsmethode auf den Gödelschen Vollständigkeitssatz.- a) Formalisierung des Vollständigkeitsbeweises.- b) Verschärfung der Erfüllbarkeit zu einer Ableitbarkeit.-
    5. Der Anlaß zur Erweiterung des methodischen Rahmens der Beweistheorie.- 1. Grenzen der Darstellbarkeit und der Ableitbarkeit in deduktiven Formalismen.- a) Die Antinomie des Lügners; Tarskis Satz über den Wahrheitsbegriff; das Richardsche Paradoxon.- b) Das erste Gödelsche Unableitbarkeitstheorem.- c) Das zweite Gödelsche Unableitbarkeitstheorem.- 2. Die formalisierte Metamathematik des zahlentheoretischen Formalismus.- a) Abgrenzung eines zahlentheoretischen Formalismus.- b) Bestimmung einer Nummernzuordnung für den Formalismus (Z?).- c) Die Erfüllung der Bedingung b2) durch die für den Formalismus (Z?) gewählte Nummernzuordnung.- d) Erfüllung der Ableitbarkeitsforderungen durch den Formalismus (Z?).- e) Ausdehnung des zweiten Gödelschen Unableitbarkeitstheorems auf den Formalismus (Z). — Aufstellung einer Wahrheitsdefinition für diesen Formalismus.- 3. Überschreitung des bisherigen methodischen Standpunktes der Beweistheorie. — Nachweise der Widerspruchsfreiheit für den vollen zahlentheoretischen Formalismus.- a) Betrachtungen zur Frage der Formalisierbarkeit unserer bisherigen beweistheoretischen Überlegungen.- b) Eliminierbarkeit des „tertium non datur“ für die Untersuchung der Widerspruchsfreiheit des Systems (Z).- c) Eine spezielle Form der transfiniten Induktion und ihre Anwendung in dem Gentzenschen Widerspruchsfreiheitsbeweis für das System (Z).- Supplement I: Zur Orientierung über den Prädikatenkalkul und anschließende Formalismen.- A. Der reine Prädikatenkalkul.- B. Der Prädikatenkalkul in Anwendung auf formalisierte Axiomensysteme. Die ?-Regel. Zahlentheoretische Formalismen.- C. Sätze über den Prädikatenkalkul.- D. Modifizierte Form des Prädikatenkalkuls.- Supplement II: Eine Präzisierung des Begriffs der berechenbaren Funktion und der Satz von Church über das Entscheidungsproblem.- A. Begriff der regelrecht auswertbaren Funktion. Auswertung im Formalismus (Z°).- B. Quasirekursive und regelrecht auswertbare Funktionen. Normaldarstellung. Auswertung im Formalismus (Z00). Anwendung des Cantorschen Diagonalverfahrens.- C. Die Unmöglichkeit einer allgemeinen Lösung des Entscheidungsproblems für den Prädikatenkalkul.- Supplement III: Über gewisse Bereiche des Aussagenkalkuls und ihre deduktive Abgrenzung mit Hilfe von Schematen.- A. Die positiv identischen Implikationsformeln.- B. Die positiv identischen I-K-Formeln.- C. Die identischen I-K-N-Formeln.- Supplement IV: Formalismen zur deduktiven Entwicklung der Analysis.- A. Aufstellung eines Formalismus.- B. Gewinnung der Zahlentheorie.- C. Theorie der Maßzahlen.- D. Theorie der reellen Zahlen. Bemerkungen Tiber die weitere Formalisierung der Analysis.- E. Theorie der Wohlordnungen der Mengen von ganzen Zahlen.- F. Modifikationen des Formalismus. Vermeidung des ?-Symbols.- G. Verwendung gebundener Formelvariablen.- Supplement V: Widerspruchsfreiheitsbeweise für den zahlentheoretischen Formalismus.- A. Der Kalmársche Widerspruchsfreiheitsbeweis.- B. Der Ackermannsche Widerspruchsfreiheitsbeweis.- Namenverzeichnis.