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In der ebenen euklidischen Geometrie kann man sich die (analytischen) Eigenschaften der komplexen Zahlen zunutze machen. Betrachtet man nun den dreidimensionalen Anschauungsraum, so liegt es nahe, eine analoge Herangehensweise an geometrische Problemstellungen zu versuchen. Tatsächlich bieten die Isomorphien des vier- bzw. dreidimensionalen reellen Vektorraums zu den HAMILTONschen Quaternionen bzw. zu den sog. reinen Quaternionen einen geeigneten Rahmen für solche Überlegungen. Eine wichtige Rolle spielen dabei MÖBIUS-Transformationen auf den Quaternionen und insbesondere deren Abbildungsverhalten: Es werden geometrische Eigenschaften von Möbius-Transformationen angegeben, mit deren Hilfe neue Schnittpunktsätze aus dem Satz von ROBERTS hergeleitet werden können. Zudem werden Charakterisierungen des Fixpunkt- sowie des Iterationsverhaltens der MÖBIUS-Transformationen angegeben, die den erweiterten Imaginärraum in sich überführen.