Das vorliegende einfUhrende Lehrbuch ist aus einer 4-semestrigen Grundvorlesung entstanden, die in den letzten Jahren wiederholt fUr Studierende des Faches Ma schinenbau an der Technischen Hochschule Darmstadt gehalten wurde. Die Dar stellung wendet sich vorwiegend an Studierende der Ingenieurwissenschaften, durfte aber auch fUr Studenten anderer Piicher (etwa Natur- oder Wirtschaftswis senschaften) von Nutzen sein. Da in der letzten Zeit eine Reihe von zum Teil ausgezeichneten Lehrbuchern uber Ingenieurmathematik erschienen ist, ist die Frage nach dem Bedarf eines weiteren Lehrbuches…mehr
Das vorliegende einfUhrende Lehrbuch ist aus einer 4-semestrigen Grundvorlesung entstanden, die in den letzten Jahren wiederholt fUr Studierende des Faches Ma schinenbau an der Technischen Hochschule Darmstadt gehalten wurde. Die Dar stellung wendet sich vorwiegend an Studierende der Ingenieurwissenschaften, durfte aber auch fUr Studenten anderer Piicher (etwa Natur- oder Wirtschaftswis senschaften) von Nutzen sein. Da in der letzten Zeit eine Reihe von zum Teil ausgezeichneten Lehrbuchern uber Ingenieurmathematik erschienen ist, ist die Frage nach dem Bedarf eines weiteren Lehrbuches naturlich berechtigt. Ich habe aber das GefUhl, daB es nutzlich ist, den Ingenieur-Studenten ein Buch in die Hand zu geben, das nach dem Motto "so knapp wie moglich, so ausfUhrlich wie notig" einerseits wirklich noch ein Lehrbuch ist, andererseits aber auf moglichst kleinem Raum in ubersichtlicher Weise etwa den mathematischen Stoff darbietet, der von einem Absolventen des Diplomvorexamens beherrscht werden sollte. Naturlich ist dies nur umriBhaft zu verstehen, denn das vorliegende Buch kann nicht den An spruch auf VOllstandigkeit erheben, da die Schwankungen der Stoffauswahl im Grundstudium bei den einzelnen ingenieurwissenschaftlichen Fachern zu groB sind. Um dennoch moglichst viel Stoff unterzubringen, ist eine ganze Reihe von Beweisen nur skizziert bzw. ganz weggelassen worden. Dagegen war es mein Be streb en, auf Beispiele im Text keinesfalls zu verzichten. Zur Vertiefung des Stoffes sei z. B. auf das ausgezeichnete 4-bandige Werk von Burg/Haf/WilJe: "Hohere Ma thematik fUr Ingenieure" sowie Schwarz: "Numerische Mathematik" verwiesen und dem Leser hiermit warmstens empfohlen.
1: Grundbegriffe.- 1.1 Die reellen Zahlen.- 1.2 Beträge und Ungleichungen.- 1.3 Grundbegriffe aus der Mengenlehre.- 1.4 Mathematische Beweismethoden.- 1.5 Elementare Kombinatorik.- 2: Polynome.- 2.1 Definition und Homer-Schema.- 2.2 Division von Polynomen.- 2.3 Nullstellen von Polynomen.- 3: Analytische Geometrie in Ebene und Raum.- 3.1 Koordinaten und Winkelfunktionen.- 3.2 Geraden in der Ebene.- 3.3 Vektoren im ?2.- 3.4 Vektoren im ?3.- 3.5 Ebenen und Geraden im ?3.- 4: Komplexe Zahlen.- 4.1 Definitionen und Rechenregeln.- 4.2 Wurzeln.- 4.3 Polynome.- 5: Konvergenz und Stetigkeit.- 5.1 Zahlenmengen und Häufungspunkte.- 5.2 Grenzwerte von Zahlenfolgen.- 5.3 Stetigkeit von Funktionen.- 5.4 Eigenschaften stetiger Funktionen.- 6: Differentiation von Funktionen.- 6.1 Begriff der Ableitung und Differentiationsregeln.- 6.2 Umkehrfunktionen.- 6.3 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.- 6.4 Anwendungen des Mittelwertsatzes.- 7: Reihen.- 7.1 Unendliche Reihen.- 7.2 Potenzreihen.- 7.3 Das Rechnen mit Potenzreihen.- 7.4 Exponentialfunktion und Logarithmus.- 8: Taylor'sche Formel und Potenzreihenentwicklungen.- 8.1 Taylor-Polynome und Taylor-Reihen.- 8.2 Die binomische Reihe.- 8.3 Potenzreihen für Logarithmusfunktionen.- 8.4 Potenzreihen der Kreis- und Hyperbelfunktionen.- 8.5 Weitere Beispiele.- 9: Integration von Funktionen.- 9.1 Grundlegende Definitionen.- 9.2 Sätze über Integrale.- 9.3 Integrationsregeln.- 9.4 Die Integration der rationalen Funktionen.- 9.5 Uneigentliche Integrale.- 9.6 Numerische Integration.- 10: Lineare Algebra.- 10.1 Lineare Vektorräume.- 10.2 Lineare Abbildungen.- 10.3 Matrizen.- 10.4 Determinanten.- 10.5 Lineare Gleichungssysteme.- 10.6 Eigenwert-Theorie und quadratische Formen.- 10.7 Koordinatensysteme und der Tensorbegriff.- 11:Differentialgeometrie auf Kurven.- 11.1 Grundlegende Definitionen; Bogenlänge.- 11.2 Krümmung und Flächeninhalt.- 11.3 Bewegung im Zentralkraftfeld.- 12: Differentiation von Funktionen mehrerer Variabler.- 12.1 Stetigkeit und Differenzierbarkeit.- 12.2 Die Kettenregel, Differentiation höherer Ordnung.- 12.3 Mittelwertsatz und Taylor'sche Formel.- 12.4 Anwendungen.- 13: Integration von Funktionen mehrerer Variabler.- 13.1 Gebietsintegrale.- 13.2 Substitutionsregel für mehrfache Integrale.- 13.3 Beispiele.- 13.4 Kurvenintegrale.- 13.5 Oberflächenintegrale.- 14: Vektoranalysis und Integralsätze.- 14.1 Differentiation von Vektorfeldern.- 14.2 Beispiele.- 14.3 Die Integralsätze von Gauß, Stokes und Green.- 14.4 Physikalische Deutung und Anwendungen.- 15: Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung.- 15.1 Einteilung der Dgln und Beispiele.- 15.2 Geometrische Betrachtungen.- 15.3 Spezielle Dgln erster Ordnung.- 15.4 Existenz- und Eindeutigkeitsfragen.- 15.5 Approximative Lösungsverfahren.- 16: Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme.- 16.1 Umformung von Dgln höherer Ordnung in Systeme erster Ordnung.- 16.2 Spezielle Dgln zweiter Ordnung.- 16.3 Lineare Differentialgleichungen.- 16.4 Lineare Dgln mit konstanten Koeffizienten.- 16.5 Lineare Systeme von Dgln.- 16.6 Approximative Lösungsverfahren.- 17: Rand- und Eigenwertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen.- 17.1 Beispiele von Randwertaufgaben.- 17.2 Lineare Randwertprobleme.- 17.3 Eigenwertprobleme.- 17.4 Numerische Lösungsverfahren.- 18: Fourier-Reihen.- 18.1 Approximation von Funktionen durch trigonometrische Polynome.- 18.2 Beispiele.- 18.3 Darstellung von Funktionen durch Fourier-Reihen.- 19: Partielle Differentialgleichungen.- 19.1 Klassifizierung und Beispielepartieller Dgln 2. Ordnung.- 19.2 Die Poisson-Gleichung.- 19.3 Die Wellengleichung.- 19.4 Die Wärmeleitungsgleichung.- 19.5 Partielle Dgln erster Ordnung.- 19.6 Die Gleichungen der Hydrodynamik.- 20: Funktionen einer komplexen Veränderlichen.- 20.1 Differentiation, holomorphe Funktionen.- 20.2 Integration der holomorphen Funktionen.- 20.3 Der Residuensatz mit Anwendungen.- 20.4 Potenzreihen und Laurent-Reihen.- 20.5 Die Integralformeln von Cauchy.- 20.6 Konforme Abbildungen.- 21: Grundbegriffe der Variationsrechnung.- 21.1 Beispiele von Variationsaufgaben.- 21.2 Erste Variation und Euler'sche Gleichung.- 21.3 Lösung von Variationsaufgaben.- Anhang über numerische Methoden.- A 1 Interpolatorische Quadratur.- A 2 Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme.- A 3 Iterative Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren.- A 4 Verfahren vom Runge-Kutta-Typ zur numerischen Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen.- Symbolverzeichnis.
1: Grundbegriffe.- 1.1 Die reellen Zahlen.- 1.2 Beträge und Ungleichungen.- 1.3 Grundbegriffe aus der Mengenlehre.- 1.4 Mathematische Beweismethoden.- 1.5 Elementare Kombinatorik.- 2: Polynome.- 2.1 Definition und Homer-Schema.- 2.2 Division von Polynomen.- 2.3 Nullstellen von Polynomen.- 3: Analytische Geometrie in Ebene und Raum.- 3.1 Koordinaten und Winkelfunktionen.- 3.2 Geraden in der Ebene.- 3.3 Vektoren im ?2.- 3.4 Vektoren im ?3.- 3.5 Ebenen und Geraden im ?3.- 4: Komplexe Zahlen.- 4.1 Definitionen und Rechenregeln.- 4.2 Wurzeln.- 4.3 Polynome.- 5: Konvergenz und Stetigkeit.- 5.1 Zahlenmengen und Häufungspunkte.- 5.2 Grenzwerte von Zahlenfolgen.- 5.3 Stetigkeit von Funktionen.- 5.4 Eigenschaften stetiger Funktionen.- 6: Differentiation von Funktionen.- 6.1 Begriff der Ableitung und Differentiationsregeln.- 6.2 Umkehrfunktionen.- 6.3 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.- 6.4 Anwendungen des Mittelwertsatzes.- 7: Reihen.- 7.1 Unendliche Reihen.- 7.2 Potenzreihen.- 7.3 Das Rechnen mit Potenzreihen.- 7.4 Exponentialfunktion und Logarithmus.- 8: Taylor'sche Formel und Potenzreihenentwicklungen.- 8.1 Taylor-Polynome und Taylor-Reihen.- 8.2 Die binomische Reihe.- 8.3 Potenzreihen für Logarithmusfunktionen.- 8.4 Potenzreihen der Kreis- und Hyperbelfunktionen.- 8.5 Weitere Beispiele.- 9: Integration von Funktionen.- 9.1 Grundlegende Definitionen.- 9.2 Sätze über Integrale.- 9.3 Integrationsregeln.- 9.4 Die Integration der rationalen Funktionen.- 9.5 Uneigentliche Integrale.- 9.6 Numerische Integration.- 10: Lineare Algebra.- 10.1 Lineare Vektorräume.- 10.2 Lineare Abbildungen.- 10.3 Matrizen.- 10.4 Determinanten.- 10.5 Lineare Gleichungssysteme.- 10.6 Eigenwert-Theorie und quadratische Formen.- 10.7 Koordinatensysteme und der Tensorbegriff.- 11:Differentialgeometrie auf Kurven.- 11.1 Grundlegende Definitionen; Bogenlänge.- 11.2 Krümmung und Flächeninhalt.- 11.3 Bewegung im Zentralkraftfeld.- 12: Differentiation von Funktionen mehrerer Variabler.- 12.1 Stetigkeit und Differenzierbarkeit.- 12.2 Die Kettenregel, Differentiation höherer Ordnung.- 12.3 Mittelwertsatz und Taylor'sche Formel.- 12.4 Anwendungen.- 13: Integration von Funktionen mehrerer Variabler.- 13.1 Gebietsintegrale.- 13.2 Substitutionsregel für mehrfache Integrale.- 13.3 Beispiele.- 13.4 Kurvenintegrale.- 13.5 Oberflächenintegrale.- 14: Vektoranalysis und Integralsätze.- 14.1 Differentiation von Vektorfeldern.- 14.2 Beispiele.- 14.3 Die Integralsätze von Gauß, Stokes und Green.- 14.4 Physikalische Deutung und Anwendungen.- 15: Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung.- 15.1 Einteilung der Dgln und Beispiele.- 15.2 Geometrische Betrachtungen.- 15.3 Spezielle Dgln erster Ordnung.- 15.4 Existenz- und Eindeutigkeitsfragen.- 15.5 Approximative Lösungsverfahren.- 16: Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme.- 16.1 Umformung von Dgln höherer Ordnung in Systeme erster Ordnung.- 16.2 Spezielle Dgln zweiter Ordnung.- 16.3 Lineare Differentialgleichungen.- 16.4 Lineare Dgln mit konstanten Koeffizienten.- 16.5 Lineare Systeme von Dgln.- 16.6 Approximative Lösungsverfahren.- 17: Rand- und Eigenwertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen.- 17.1 Beispiele von Randwertaufgaben.- 17.2 Lineare Randwertprobleme.- 17.3 Eigenwertprobleme.- 17.4 Numerische Lösungsverfahren.- 18: Fourier-Reihen.- 18.1 Approximation von Funktionen durch trigonometrische Polynome.- 18.2 Beispiele.- 18.3 Darstellung von Funktionen durch Fourier-Reihen.- 19: Partielle Differentialgleichungen.- 19.1 Klassifizierung und Beispielepartieller Dgln 2. Ordnung.- 19.2 Die Poisson-Gleichung.- 19.3 Die Wellengleichung.- 19.4 Die Wärmeleitungsgleichung.- 19.5 Partielle Dgln erster Ordnung.- 19.6 Die Gleichungen der Hydrodynamik.- 20: Funktionen einer komplexen Veränderlichen.- 20.1 Differentiation, holomorphe Funktionen.- 20.2 Integration der holomorphen Funktionen.- 20.3 Der Residuensatz mit Anwendungen.- 20.4 Potenzreihen und Laurent-Reihen.- 20.5 Die Integralformeln von Cauchy.- 20.6 Konforme Abbildungen.- 21: Grundbegriffe der Variationsrechnung.- 21.1 Beispiele von Variationsaufgaben.- 21.2 Erste Variation und Euler'sche Gleichung.- 21.3 Lösung von Variationsaufgaben.- Anhang über numerische Methoden.- A 1 Interpolatorische Quadratur.- A 2 Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme.- A 3 Iterative Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren.- A 4 Verfahren vom Runge-Kutta-Typ zur numerischen Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen.- Symbolverzeichnis.
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