Reelle Zahlen
Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen
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Das Buch untersucht die reellen Zahlen unter verschiedenen grundlagentheoretischen Gesichtspunkten. Ziel ist, die Komplexität dieser einzigartigen mathematischen Grundstruktur sichtbar zu machen.Im ersten Teil richtet sich der Blick auf die arithmetische Zahlengerade. Der Bogen spannt sich hier zunächst von der Entdeckung der irrationalen Zahlen durch die alten Griechen über das Kontinuumsproblem bis hin zu modernen Konstruktionsmöglichkeiten. Nach einer Analyse euklidischer Isometrien werden dann ausführlich Grundfragen der Maßtheorie behandelt (Probleme des Messens, Banach-Tarski-Parad...
Das Buch untersucht die reellen Zahlen unter verschiedenen grundlagentheoretischen Gesichtspunkten. Ziel ist, die Komplexität dieser einzigartigen mathematischen Grundstruktur sichtbar zu machen.
Im ersten Teil richtet sich der Blick auf die arithmetische Zahlengerade. Der Bogen spannt sich hier zunächst von der Entdeckung der irrationalen Zahlen durch die alten Griechen über das Kontinuumsproblem bis hin zu modernen Konstruktionsmöglichkeiten. Nach einer Analyse euklidischer Isometrien werden dann ausführlich Grundfragen der Maßtheorie behandelt (Probleme des Messens, Banach-Tarski-Paradoxon, Existenz bewegungsinvarianter Inhalte, Fortsetzungen des Lebesgue-Maßes).
Der zweite Teil des Buches untersucht den zu den irrationalen Zahlen homöomorphen Raum aller Folgen natürlicher Zahlen und allgemeiner polnische Räume. Die Themen umfassen Regularitätseigenschaften von Teilmengen reeller Zahlen, irreguläre Mengen, Borel-Mengen und projektive Mengen. Das Buch schließt mit einer Einführung in die Theorie der unendlichen Zweipersonenspiele.
Inhaltsverzeichnis:
Einführung.- Die Themen des Buches.- Strukturierter Inhalt.- Vokabular.- Erster Abschnitt: Das klassische Kontinuum.- Irrationale Zahlen. Intermezzo: Zur Geschichte der Analysis. Mächtigkeiten. Charakterisierungen und Konstruktionen. Euklidische Isometrien. Inhalte und Maße. Die grenzen des Messens. Zweiter Abschnitt: Die Folgenräume.- Einführung in den Baireraum. Toplogische Untersuchungen. Regulatitätseigenschaften. Intermezzo: Wohlordnungen und Ordinalzahlen.- Irreguläre Mengen. Unendliche Zweipersonenspiele. Borelmengen und projektive Mengen. Anhänge.- Die axiomatische Grundlage. Natürliche, ganze und rationale Zahlen. Algebraische Strukturen. Topologische und metrische Räume. Lebensdaten. Notationen. Personen. Index.
Im ersten Teil richtet sich der Blick auf die arithmetische Zahlengerade. Der Bogen spannt sich hier zunächst von der Entdeckung der irrationalen Zahlen durch die alten Griechen über das Kontinuumsproblem bis hin zu modernen Konstruktionsmöglichkeiten. Nach einer Analyse euklidischer Isometrien werden dann ausführlich Grundfragen der Maßtheorie behandelt (Probleme des Messens, Banach-Tarski-Paradoxon, Existenz bewegungsinvarianter Inhalte, Fortsetzungen des Lebesgue-Maßes).
Der zweite Teil des Buches untersucht den zu den irrationalen Zahlen homöomorphen Raum aller Folgen natürlicher Zahlen und allgemeiner polnische Räume. Die Themen umfassen Regularitätseigenschaften von Teilmengen reeller Zahlen, irreguläre Mengen, Borel-Mengen und projektive Mengen. Das Buch schließt mit einer Einführung in die Theorie der unendlichen Zweipersonenspiele.
Inhaltsverzeichnis:
Einführung.- Die Themen des Buches.- Strukturierter Inhalt.- Vokabular.- Erster Abschnitt: Das klassische Kontinuum.- Irrationale Zahlen. Intermezzo: Zur Geschichte der Analysis. Mächtigkeiten. Charakterisierungen und Konstruktionen. Euklidische Isometrien. Inhalte und Maße. Die grenzen des Messens. Zweiter Abschnitt: Die Folgenräume.- Einführung in den Baireraum. Toplogische Untersuchungen. Regulatitätseigenschaften. Intermezzo: Wohlordnungen und Ordinalzahlen.- Irreguläre Mengen. Unendliche Zweipersonenspiele. Borelmengen und projektive Mengen. Anhänge.- Die axiomatische Grundlage. Natürliche, ganze und rationale Zahlen. Algebraische Strukturen. Topologische und metrische Räume. Lebensdaten. Notationen. Personen. Index.