Mathematik sind allerdings erhebliche Vorteile aus dem Glücksspiel erwachsen. Das schildert der britische Mathematiker Keith Devlin eindrucksvoll in seinem Buch über "Pascal, Fermat und die Berechnung des Glücks". Es ist ein Streifzug durch die Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung, aufgehängt an dem Briefwechsel zweier ihrer Protagonisten, genauer: an einem Brief, den Blaise Pascal am 24. August 1654 an seinen Landsmann Pierre de Fermat schrieb. Für Devlin ist dieser Brief "die Gründungsakte der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie". Von dort aus wirft er den Blick zurück zu Vordenkern wie Cardano und in die Zukunft der Versicherungsmathematik und des Risikomanagements.
Pascals Brief an Fermat ist ein gut gewählter Beleg dafür, wie das Denken in Wahrscheinlichkeiten unsere Alltagswelt vom Spieltisch aus erobert hat. Sein Verfasser war ein schon in jungen Jahren herausragender Mathematiker, zugleich Erfinder einer mechanischen Rechenmaschine, streng religiös und von eher asketischem Gemüt. Nur ein Schilfrohr sei der Mensch, schrieb Pascal, das Zerbrechlichste in der Welt: "Aber ein Schilfrohr, das denkt."
Das Würfelspiel konfrontierte Pascal mit neuen Fragestellungen. Hatte er sich zuvor mit Kegelschnitten befasst, dachte er nun darüber nach, warum die Chancen, mit zwei Würfeln einen Sechserpasch zu erzielen, selbst bei 24 Würfen immer noch knapp unter fünfzig Prozent liegen. Pascal suchte Rat bei Kollegen. 1654 wandte er sich an Pierre de Fermat.
Der Jurist und Anwalt am Obersten Strafgericht in Toulouse galt als begnadeter Zahlentheoretiker. Die Rechenkunst war nur eine Freizeitbeschäftigung für ihn, er hatte nie eine akademische Position inne. Dennoch lieferte Fermat wegweisende Beiträge zur analytischen Geometrie und der damals aufkommenden Infinitesimalrechnung. Als 1653 wieder einmal die Pest in der Region wütete, erkrankte er und wurde kurzerhand für tot erklärt. Erweckten ihn Pascals Briefe im Jahr darauf zu neuem Leben?
Pascal wollte wissen, wie die Spieleinsätze bei einem Würfelspiel zu verteilen sind, wenn ein Spiel vorzeitig abgebrochen werden muss. Fermat interessierte sich nicht sonderlich für Glücksspiele. Doch weil der einunddreißigjährige Pascal voller Hochachtung an seinen erfahrenen Landsmann herantrat und noch dazu sein eigenes Talent zu erkennen gab, wollte ihm Fermat die Antwort nicht schuldig bleiben.
Sie kam postwendend. Allerdings war sie für Pascal nicht leicht zu verstehen - und das dürfte auch für heutige Durchschnittsleser gelten. Devlin kommentiert den Brief daher Absatz für Absatz. Als erfahrener Autor und Kolumnist der Tageszeitung "The Guardian" findet er einfache, treffende Beispiele, um den Kern der mathematischen Anfrage und die Struktur des Problems herauszuarbeiten.
Wenn Ihnen jemand erzählt, er habe zwei Kinder, und Sie im Verlauf des Gesprächs heraushören, dass mindestens eins davon ein Mädchen (M) ist, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich beim zweiten Kind um einen Jungen (J) handelt? Der erste Gedanke: 50 Prozent. Ist das richtig?
Bei zwei Kindern gibt es vier Möglichkeiten: M-M, M-J, J-M, J-J. Mit dem Wissen, dass mindestens ein Kind ein Mädchen ist, entfällt die Letzte. Die verkürzte Liste lässt erkennen, dass die Wahrscheinlichkeit für zwei Mädchen mit 33 Prozent nur halb so hoch ist wie die für ein Mädchen und einen Jungen. Anders wäre es, wenn Ihr Gesprächpartner gesagt hätte: "Die Älteste ist ein Mädchen." Dann würde auch die vorletzte Variante entfallen, und die Chancen für einen Jungen lägen tatsächlich bei 50 Prozent.
Interessanterweise hat das Spielabbruchproblem, das Pascal beschäftigte, eine ähnliche Lösung. Betrachten wir den einfachen Fall, dass zwei Spieler, nennen wir sie wieder M und J, eine Münze werfen: Kopf oder Zahl. Sie spielen fünf Runden, gewonnen hat, wer mindestens drei Runden für sich entscheidet. Doch beim Stand von zwei zu eins für M müssen sie das Spiel vorzeitig beenden. Wie sind die Einsätze aufzuteilen?
Die naheliegende Antwort lautet: im Verhältnis zwei zu eins. Doch schon Cardano erkannte, dass dies nicht richtig sein kann. Nicht der Spielstand entscheidet. Stattdessen liegt der Schlüssel zur Lösung in der Anzahl der Punkte, die den Spielern noch zu einem Sieg fehlen.
Die beiden noch ausstehenden Runden könnten mit je gleicher Wahrscheinlichkeit mit folgenden Siegern enden: M-M, M-J, J-M, J-J. Da aber M nur noch ein einziger Punkt zum Gesamtsieg fehlt, ist M gegenüber J mit drei zu eins im Vorteil. M stehen folglich 75 und nicht nur 66 Prozent der Einsätze zu.
Pascals Anfrage im Sommer 1654 war komplizierter. Fermat aber löste das Problem auf ähnliche Weise: Er listete einfach alle Kombinationen auf. Darunter waren auch solche, die vielleicht gar nicht mehr gespielt werden mussten, weil das Spiel schon vorher beendet sein konnte. Gerade dies machte seinem Briefpartner zu schaffen. Deshalb suchte Pascal nach einer anderen Lösung, die er schließlich auch fand.
Devlin versteht es, die Stolpersteine farbig zu markieren, die selbst große Mathematiker wie Pascal beim Denken in Wahrscheinlichkeiten aus dem Tritt brachten. Die oft biographisch eingeleiteten Kapitel entfernen sich im zweiten Teil des so anregenden wie lehrreichen Buches immer weiter von Pascals denkwürdigem Brief. Der Autor erzählt nun von den Sterbetafeln, die der Brite John Graunt in Pascals Todesjahr erstellte und die schon bald zur Datenbasis für Lebensversicherungen werden sollten. Schließlich gelangt er zur Bayes'schen Formel, mit der der Londoner Pfarrer Thomas Bayes der Wahrscheinlichkeitstheorie im 18. Jahrhundert eine originelle Wendung gab. "Leser, denen Formeln Kopfschmerzen bereiten, können dieses Kapitel überspringen", heißt es dort. Dank umsichtiger Erläuterungen verliert jedoch selbst diese heute bedeutende Gleichung in Devlins Darstellung ihren Schrecken.
THOMAS DE PADOVA
Keith Devlin: "Pascal, Fermat und die Berechnung des Glücks". Eine Reise in die Geschichte der Mathematik. Aus dem Englischen von Enrico Heinemann. C. H. Beck Verlag, München 2009. 205 S., Abb., geb., 17,90 [Euro].
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Frankfurter Allgemeine Zeitung | Besprechung von 31.12.2009
