Mathematische Methoden in der Physik
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Dies ist die zweite, verbesserte und um die Kapitel Gruppentheorie, Variationsrechnung und Differenzialformen erweiterte Auflage des erfolgreichen Lehrbuches. Aus der Sicht von Physikern und mit dem Blick auf Anwendungen werden wichtige mathematische Methoden dargestellt. Das vorliegende Buch ist für Studierende in den ersten Semestern gedacht. Es soll die angehenden Physikerinnen und Physiker mit den für sie wichtigsten mathematischen Konzepten vertraut machen und möglichst schnell eine entsprechende Geläufigkeit in ihrer Anwendung vermitteln.Daher wird das Hauptgewicht auf Methodik und B...
Dies ist die zweite, verbesserte und um die Kapitel Gruppentheorie, Variationsrechnung und Differenzialformen erweiterte Auflage des erfolgreichen Lehrbuches. Aus der Sicht von Physikern und mit dem Blick auf Anwendungen werden wichtige mathematische Methoden dargestellt. Das vorliegende Buch ist für Studierende in den ersten Semestern gedacht. Es soll die angehenden Physikerinnen und Physiker mit den für sie wichtigsten mathematischen Konzepten vertraut machen und möglichst schnell eine entsprechende Geläufigkeit in ihrer Anwendung vermitteln.
Daher wird das Hauptgewicht auf Methodik und Beispiele gelegt. Als Vorlesungsunterlage entspricht das Buch einer dreisemestrigen Vorlesung mit Übungen. Durch die Erläuterung anhand von Beispielen ist das Buch auch gut geeignet für das Selbststudium. Viele Aufgaben, deren vollständige Lösungen über das Internet abfragbar sind, regen dazu an, das Gelernte zu überprüfen und dabei das Verständnis zu vertiefen.
Dem zunehmenden Computereinsatz tragen Einschübe Rechnung, in denen sowohl auf Numerik wie auch auf algebraische Methoden eingegangen wird.
Obwohl primär für Studierende der Physik gedacht, werden auch andere Naturwissenschaftler mit diesem Buch einen nützlichen Helfer zur Hand haben.
Inhaltsverzeichnis:
Einleitung
1 Unendliche Reihen
1.1 Folgen und Reihen
1.2 Konvergenz und Divergenz
1.3 Potenzreihen
1.4 Was war da noch?
1.5 Aufgaben, Lösungen, Literatur
2 Komplexe Zahlen
2.1 Komplexe Zahlen und die komplexe Ebene
2.2 Komplexe Reihen
2.3 Funktionen komplexer Variablen
2.4 Riemannsche Blätter
2.5 Anwendungen
2.6 Aufgaben, Lösungen, Literatur
3 Vektoren und Matrizen
3.1 Lineare Gleichungssysteme
3.2 Matrizen
3.3 Vektoren und ihre Algebra
3.4 Das Eigenwertproblem
3.5 Aufgaben, Lösungen, Literatur
4 Differenzialrechnung
4.1 Die lineare Näherung
4.2 Funktionen mehrerer Variablen
4.3 Verschiedene Methoden der Differenziation
4.4 Extremwertaufgaben
4.5 Nebenbedingungen
4.6 Randpunkte
4.7 Aufgaben, Lösungen, Literatur
5 Integralrechnung
5.1 Das Integral
5.2 Integrationstechnik
5.3 Differenziation von Integralen
5.4 Mehrdimensionale Integrale
5.5 Aufgaben, Lösungen, Literatur
6 Gewöhnliche Differenzialgleichungen
6.1 Allgemeines
6.2 Gewöhnliche DGen 1. Ordnung
6.3 Gewöhnliche DGen höherer Ordnung
6.4 Systeme von DGen
6.5 Zum Abschluss
6.6 Aufgaben, Lösungen, Literatur
7 Grundlagen der Vektoranalysis
7.1 Differenziation von Vektoren
7.2 Bogenlänge, Krümmung und Torsion
7.3 Linien- und Oberflächenintegrale
7.4 Skalare Felder: Niveauflächen und Gradient
7.5 Divergenz und Rotation von Vektorfeldern
7.6 Aufgaben, Lösungen, Literatur
8 Basissysteme krummliniger Koordinaten
8.1 Gebräuchliche Koordinatensysteme
8.2 Bestimmung von Vektorkomponenten
8.3 Bogen-, Flächen- und Volumenelement
8.4 Aufgaben, Lösungen, Literatur
9 Integralsätze
9.1 Der Gaußsche Integralsatz
9.2 Der Greensche Satz in der Ebene
9.3 Der Integralsatz von Stokes
9.4 Aufgaben, Lösungen, Literatur
10 Elemente der Tensorrechnung
10.1 Definition eines Tensors
10.2 Rechenregel für Tensoren
10.3 Beispiele für Tensoren
10.4 Differenzialoperationen und Tensoren
10.5 Drehung um eine Achse
10.6 Ko- und kontravariante Darstellung
10.7 Aufgaben, Lösungen, Literatur
11 Ein wenig Differenzialformen
11.1 Äußere Formen
11.2 Äußere Ableitung
11.3 Integralsätze
11.4 Aufgaben, Lösungen, Literatur
12 Funktionenräume
12.1 Vektorräume
12.2 Metrik, Norm, Skalarprodukt
12.3 Basis eines Vektorraums
12.4 Aufgaben, Lösungen, Literatur
13 Fourierreihe
13.1 Motivation und Definition
13.2 Konvergenzkriterien
13.3 Tipps und Beispiele
13.4 Komplexe Form der Fourierreihe
13.5 Fourier-Kosinus- und Fourier-Sinus-Reihe
13.6 Aufgaben, Lösungen, Literatur
14 Integraltransformationen
14.1 Einleitung
14.2 Die Laplace-Transformation
14.3 Die Fouriertransformation
14.4 Faltung
14.5 Aufgaben, Lösungen, Literatur
15 Funktionale und Variationsrechnung
15.1 Funktionale
15.2 Variationsrechnung
15.3 Distributionen und die Diracsche Deltafunktion
15.4 Aufgaben, Lösungen, Literatur
16 Operatoren und Eigenwerte
16.1 Einleitung
16.2 Das Eigenwertproblem in der linearenAlgebra
16.3 Lineare Operatoren in Vektorräumen
16.4 Die Differenzialgleichung als Eigenwertproblem
16.5 Aufgaben, Lösungen, Literatur
17 Spezielle Differenzialgleichungen
17.1 Die Legendresche Differenzialgleichung
17.2 Die Besselsche Differenzialgleichung
17.3 Die Hermitesche Differenzialgleichung
17.4 Die Laguerresche Differenzialgleichung
17.5 Aufgaben, Lösungen, Literatur
18 Partielle Differenzialgleichungen
18.1 Übersicht
18.2 Lösungsmethoden: Numerische Verfahren
18.3 Analytische ''exakte" Verfahren
18.4 Aufgaben, Lösungen, Literatur
19 Funktionentheorie
19.1 Analytische Funktionen
19.2 Komplexe Integration
19.3 Anwendungen
19.4 Aufgaben, Lösungen, Literatur
20 Gruppen
20.1 Symmetrien und Gruppen
20.2 Zweierlei Klassen
20.3 Einige wichtige Gruppen
20.4 Darstellung
20.5 Kontinuierliche Gruppen
20.6 Aufgaben, Lösungen, Literatur
21 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
21.1 Zufall und Wahrscheinlichkeit
21.2 Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen
21.3 Funktionen von Zufallsvariablen
21.4 Mehrere Zufallsvariablen
21.5 Analyse von Daten und Fehlern
21.6 Aufgaben, Lösungen, Literatur
A Abkürzungen und Anmerkungen
B Zoologie elementarer Funktionen
C Programmbeispiele
Daher wird das Hauptgewicht auf Methodik und Beispiele gelegt. Als Vorlesungsunterlage entspricht das Buch einer dreisemestrigen Vorlesung mit Übungen. Durch die Erläuterung anhand von Beispielen ist das Buch auch gut geeignet für das Selbststudium. Viele Aufgaben, deren vollständige Lösungen über das Internet abfragbar sind, regen dazu an, das Gelernte zu überprüfen und dabei das Verständnis zu vertiefen.
Dem zunehmenden Computereinsatz tragen Einschübe Rechnung, in denen sowohl auf Numerik wie auch auf algebraische Methoden eingegangen wird.
Obwohl primär für Studierende der Physik gedacht, werden auch andere Naturwissenschaftler mit diesem Buch einen nützlichen Helfer zur Hand haben.
Inhaltsverzeichnis:
Einleitung
1 Unendliche Reihen
1.1 Folgen und Reihen
1.2 Konvergenz und Divergenz
1.3 Potenzreihen
1.4 Was war da noch?
1.5 Aufgaben, Lösungen, Literatur
2 Komplexe Zahlen
2.1 Komplexe Zahlen und die komplexe Ebene
2.2 Komplexe Reihen
2.3 Funktionen komplexer Variablen
2.4 Riemannsche Blätter
2.5 Anwendungen
2.6 Aufgaben, Lösungen, Literatur
3 Vektoren und Matrizen
3.1 Lineare Gleichungssysteme
3.2 Matrizen
3.3 Vektoren und ihre Algebra
3.4 Das Eigenwertproblem
3.5 Aufgaben, Lösungen, Literatur
4 Differenzialrechnung
4.1 Die lineare Näherung
4.2 Funktionen mehrerer Variablen
4.3 Verschiedene Methoden der Differenziation
4.4 Extremwertaufgaben
4.5 Nebenbedingungen
4.6 Randpunkte
4.7 Aufgaben, Lösungen, Literatur
5 Integralrechnung
5.1 Das Integral
5.2 Integrationstechnik
5.3 Differenziation von Integralen
5.4 Mehrdimensionale Integrale
5.5 Aufgaben, Lösungen, Literatur
6 Gewöhnliche Differenzialgleichungen
6.1 Allgemeines
6.2 Gewöhnliche DGen 1. Ordnung
6.3 Gewöhnliche DGen höherer Ordnung
6.4 Systeme von DGen
6.5 Zum Abschluss
6.6 Aufgaben, Lösungen, Literatur
7 Grundlagen der Vektoranalysis
7.1 Differenziation von Vektoren
7.2 Bogenlänge, Krümmung und Torsion
7.3 Linien- und Oberflächenintegrale
7.4 Skalare Felder: Niveauflächen und Gradient
7.5 Divergenz und Rotation von Vektorfeldern
7.6 Aufgaben, Lösungen, Literatur
8 Basissysteme krummliniger Koordinaten
8.1 Gebräuchliche Koordinatensysteme
8.2 Bestimmung von Vektorkomponenten
8.3 Bogen-, Flächen- und Volumenelement
8.4 Aufgaben, Lösungen, Literatur
9 Integralsätze
9.1 Der Gaußsche Integralsatz
9.2 Der Greensche Satz in der Ebene
9.3 Der Integralsatz von Stokes
9.4 Aufgaben, Lösungen, Literatur
10 Elemente der Tensorrechnung
10.1 Definition eines Tensors
10.2 Rechenregel für Tensoren
10.3 Beispiele für Tensoren
10.4 Differenzialoperationen und Tensoren
10.5 Drehung um eine Achse
10.6 Ko- und kontravariante Darstellung
10.7 Aufgaben, Lösungen, Literatur
11 Ein wenig Differenzialformen
11.1 Äußere Formen
11.2 Äußere Ableitung
11.3 Integralsätze
11.4 Aufgaben, Lösungen, Literatur
12 Funktionenräume
12.1 Vektorräume
12.2 Metrik, Norm, Skalarprodukt
12.3 Basis eines Vektorraums
12.4 Aufgaben, Lösungen, Literatur
13 Fourierreihe
13.1 Motivation und Definition
13.2 Konvergenzkriterien
13.3 Tipps und Beispiele
13.4 Komplexe Form der Fourierreihe
13.5 Fourier-Kosinus- und Fourier-Sinus-Reihe
13.6 Aufgaben, Lösungen, Literatur
14 Integraltransformationen
14.1 Einleitung
14.2 Die Laplace-Transformation
14.3 Die Fouriertransformation
14.4 Faltung
14.5 Aufgaben, Lösungen, Literatur
15 Funktionale und Variationsrechnung
15.1 Funktionale
15.2 Variationsrechnung
15.3 Distributionen und die Diracsche Deltafunktion
15.4 Aufgaben, Lösungen, Literatur
16 Operatoren und Eigenwerte
16.1 Einleitung
16.2 Das Eigenwertproblem in der linearenAlgebra
16.3 Lineare Operatoren in Vektorräumen
16.4 Die Differenzialgleichung als Eigenwertproblem
16.5 Aufgaben, Lösungen, Literatur
17 Spezielle Differenzialgleichungen
17.1 Die Legendresche Differenzialgleichung
17.2 Die Besselsche Differenzialgleichung
17.3 Die Hermitesche Differenzialgleichung
17.4 Die Laguerresche Differenzialgleichung
17.5 Aufgaben, Lösungen, Literatur
18 Partielle Differenzialgleichungen
18.1 Übersicht
18.2 Lösungsmethoden: Numerische Verfahren
18.3 Analytische ''exakte" Verfahren
18.4 Aufgaben, Lösungen, Literatur
19 Funktionentheorie
19.1 Analytische Funktionen
19.2 Komplexe Integration
19.3 Anwendungen
19.4 Aufgaben, Lösungen, Literatur
20 Gruppen
20.1 Symmetrien und Gruppen
20.2 Zweierlei Klassen
20.3 Einige wichtige Gruppen
20.4 Darstellung
20.5 Kontinuierliche Gruppen
20.6 Aufgaben, Lösungen, Literatur
21 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
21.1 Zufall und Wahrscheinlichkeit
21.2 Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen
21.3 Funktionen von Zufallsvariablen
21.4 Mehrere Zufallsvariablen
21.5 Analyse von Daten und Fehlern
21.6 Aufgaben, Lösungen, Literatur
A Abkürzungen und Anmerkungen
B Zoologie elementarer Funktionen
C Programmbeispiele