Lehrbuch der höheren Mathematik
Versandkostenfrei!
Nicht lieferbar
Der Band behandelt die Themen: Allgemeine Theorie der partiellen Differentialgleichungen - RandwertproblemeInhaltsverzeichnis:Kapitel 1. Allgemeine Theorie der partiellen Differentialgleichungen Abschnitt 1. Differentialgleichungen erster Ordnung (11) 1. Quasilineare Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Veränderlichen (11) 2. Das Cauchysche Problem und die Charakteristika (14) 3. Quasilineare Differentialgleichungen mit beliebig vielen Veränderlichen (18) 4. Beispiele (22) 5. Ein Hilfssatz (23) 6. Nichtlineare Differentialgleichungen erster Ordnung (27) 7. Charakteristische Mannigf...
Der Band behandelt die Themen: Allgemeine Theorie der partiellen Differentialgleichungen - Randwertprobleme
Inhaltsverzeichnis:
Kapitel 1. Allgemeine Theorie der partiellen Differentialgleichungen Abschnitt 1. Differentialgleichungen erster Ordnung (11) 1. Quasilineare Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Veränderlichen (11) 2. Das Cauchysche Problem und die Charakteristika (14) 3. Quasilineare Differentialgleichungen mit beliebig vielen Veränderlichen (18) 4. Beispiele (22) 5. Ein Hilfssatz (23) 6. Nichtlineare Differentialgleichungen erster Ordnung (27) 7. Charakteristische Mannigfaltigkeiten (30) 8. Die Cauchysche Methode (31) 9. Das Cauchysche Problem (33) 10. Die Eindeutigkeit der Lösung (35) 11. Der singuläre Fall (27) 12. Nichtlineare Differentialgleichungen mit beliebig vielen unabhängigen Veränderlichen (39) 13. Vollständiges, allgemeines und singuläres Integral (43) 14. Das vollständige Integral und das Cauchysche Problem (43) 15. Beispiele (45) 16. Differentialgelichungen mit beliebig vielen Veränderlichen (48) 17. Der Satz von JACOBI (50) 18. Systeme linearer Differntialgleichungen erster Ordnung (51) 19. Die Methode von LAGRANGE und CHARPIT (53) 20. Systeme linearer Differentialgleichungen (55) 21. Vollständige und Jacobische Systeme (57) 22. Die Integration vollständiger Systeme (59) 23. Die Poissonschen Klammern (60) 24. Die Methode von JACOBI (63) 25. Kanonische Systeme (64) 26. Beispiele (65) 27. Die Majorantenmethode (66) 28. Der Satz von S. KOWALEWSKAJA (69) 29. Differentialgleichungen höherer Ordnung (74) Abschnitt 2. Differentialgleichungen höherer Ordnung (76) 30. Die Typen der Differentialgleichungen zweiter Ordnung (76) 31. Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten (78) 32. Normalformen bei zwei unabhängigen Veränderlichen (80) 33. Das Cauchysche Problem (83) 34. Charakteristische Streifen (85) 35. Ableitungen höherer Ordnung (87) 36. Reelle und komplexe Charakteristiken (89) 37. Die grundlegenden Sätze (90) 38. Vorintegrale (92) 39. Die Monge-Ampèresche Differentialgleichung (93) 40. Charakteristika bei beliebig vielen unabhängigen Veränderlichen (94) 41. Bicharakteristika (97) 42. Der Zusammenhang mit einem Variationsproblem (100) 43. Ausbreitung von Unstetigkeiten (103) 44. Starke Unstetigkeiten (104) 45. Die Riemannsche Integrationsmethode (108) 46. Charakteristische Anfangswerte (112) 47. Existenzsätze (113) 48. Die Formel der partiellen Integration und die Greensche Formel (117) 49. Die Methode von VOLTERRA (119) 50. Die Formel von SOBOLEW (122) 51. Die Formel von SOBOLEW (Fortsetzung) (125) 52. Die Konstruktion der Funktion Sigma (127) 53. Allgemeine Anfangsbedingungen (131) 54. Die verallgemeinerte Wellengleichung (133) 55. Die Wellengleichung für beliebig viele unabhängige Veränderliche (134) 56. Die energetische Ungleichung (137) 57. Der Eindeutigkeitssatz und der Satz über die stetige Abhängigkeit der Lösungen (141) 58. Der Fall der Wellengleichung (137) 59. Der Satz über die Einbettung in den Raum stetiger Funktionen und einige seiner Folgerungen (146) 60. Verallgemeinerte Lösungen von Gleichungen zweiter Ordnung (150) 61. Über die Existenz und Eindeutigkeit verallgemeinerter Lösungen des Cauchyschen Problems für die Wellengleichung (155) 62. Elliptische Differentialgleichungen (156) Abschnitt 3. Systeme partieller Differentialgleichungen (160) 63. Charakteristika bei Systemen partieller Differentialgleichungen (160) 64. Die kinematischen Kompatibilitätsbedingungen (164) 65. Die dynamischen Kompatibiltätsbedingungen (166) 66. Die Differentialgleichungen der Hydrodynamik (167) 67. Die Gleichungen der Elastizitätstheorie (170) 68. Anisotrope elastische Körper (172) 69. Elektromagnetische Wellen (173) 70. Starke Unstetigkeiten in der Elastizitätstheorie (178) 71. Charakteristika und große Frequenzen (181) 72. Der Fall zweier unabhängiger Veränderlicher (183) 73. Beispiele (185) Kapitel 2. Randwertproblem Abschnitt 1. Randwertprobleme bei einer gewöhnlichen (188) 74. Die Greensche Funktion einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung (188) 75. Überführung in eine Integralgleichung (191) 76. Die Symmetrie der Greenschen Funktion (193) 77. Eigenwerte und Eigenfunktionen des Randwertproblems (194) 78. Über das Vorzeichen der Eigenwerte (196) 79. Beispiele (197) 80. Die verallgemeinerte Greensche Funktion (199) 81. Die Legendreschen Polynome (204) 82. Die Hermiteschen und Laguerreschen Funktionen (207) 83. Differentialgleichungen vierter Ordnung (208) 84. Erweiterung des Entwicklungssatzes durch W.A. STEKLOW (210) 85. Rechtfertigung der Fouriermethode für die Wärmeleitungsgleichung (213) 86. Rechtfertigung der Fouriermethode für die Schwingungsgleichung (215) 87. Die Eindeutigkeitssätze (218) 88. Extremaleigenschaften der Eigenwerte und Eigenfunktionen (219) 89. Ein Satz von COURANT (223) 90. Ein asymptotischer Ausdruck für die Eigenwerte (224) 91. Ein asymptotischer Ausdruck für die Eigenfunktionen (219) 92. Das Ritzsche Verfahren (230) 93. Ein Beispiel von RITZ (231) Abschnitt 2. Elliptische Differentialgleichungen (233) 94. Das Newtonsche Potential (233) 95. Das Potential einer Doppelschicht (236) 96. Eigenschaften des Potentials einer einfachen Schicht (243) 97. Die Normalableitung des Potentials einer einfachen Schicht (244) 98. Die Normalableitung des Potentials einer einfachen Schicht (Fortsetzung) (247) 99. Der direkte Wert der Normalableitung auf S (248) 100. Die Ableitung des Potentials einer einfachen Schicht nach einer beliebigen Richtung (251) 101. Das logarithmische Potential (255) 102. Integralformeln und Parallelflächen (257) 103. Folgen harmonischer Funktionen (261) 104. Formulierung der inneren Randwertprobleme für die Laplacesche Gleichung (264) 105. Äußere Probleme im ebenen Fall (266) 106. Die Kelvintransformation (269) 107. Die Eindeutigkeit der Lösung des Neumannschen Problems (272) 108. Lösung der Randwertprobleme im dreidimensionalen Fall (275) 109. Untersuchung der auftretenden Integralgleichungen (277) 110. Übersicht über die Ergebnisse zur Lösbarkeit der betrachteten Randwertprobleme (281) 111. Randwertprobleme in der Ebene (282) 112. Die Integralgleichung der Kugelfunktionen (284) 113. Das Wärmegleichgewicht eines Wärme ausstrahlenden Körpers (285) 114. Das alternierende Verfahren von SCHWARZ (286) 115. Beweis des Hilfsatzes (289) 116. Das alternierende Verfahren von SCHWARZ (Fortsetzung) (290) 117. Sub- und superharmonische Funktionen (293) 118. Einige Hilfssätze (296) 119. Die Methode der Unter- und Oberfunktionen (297) 120. Untersuchung der Randwerte (300) 121. Die Laplacesche Differentialgleichung im n-dimensionalen Raum (304) 122. Die Greensch Funktion des Laplaceschen Operators (305) 123. Die Eigenschaften der Greenschen Funktion (307) 124. Die Greensche Funktion für ebene Bereiche (310) 125. Beispiele (314) 126. Die Greensche Funktion und die inhomogene Differentialgleichung (315) 127. Eigenwerte und Eigenfunktionen (318) 128. Die Normalableitung der Eigenfunktionen (322) 129. Die Extremaleigenschaften der Eigenwerte und Eigenfunktionen (323) 130. Die Helmholtzsche Gleichung und das Ausstrahlungsprinzip (325) 131. Der Eindeutigkeitssatz (327) 132. Die Prinzipien der Grenzamplitude und der Grenzabsorption (328) 133. Randwertprobleme für die Helmholtzsche Differentialgleichung (330) 134. Die Beugung einer elektromagnetischen Welle (335) 135. Der Vektor der magnetischen Feldstärke (337) 136. Der Eindeutigkeitssatz über die Lösung des Dirichletischen Problems für elliptische Differentialgleichungen (338) 137. Die Differentialgleichung (341) 138. Ein asymptotischer Ausdruch für die Eigenwerte (345) 139. Der Beweis des Satzes aus (138) (350) 140. Lineare Differentialgleichungen allgemeinerer Gestalt (357) 141. Der Greensche Tensor (358) 142. Das ebene statische Problem der Elastizitästheorie (360) 143. Über die Ergebnisse von SCHAUDER (362) 144. Die verallgemeinerten Lösungen der Klasse (365) 145. Die erste grundlegende (energetische) Ungleichung (369) 146. Der Raum und die zweite grundlegende Ungleichung (371) 147. Einige Ausführungen über Hilbertsche Räume und über Operatoren in Hilbertschen Räumen (378) 148. Über die Lösbarkeit des Dirichletschen Problems im Raum... (381) 149. Über die Fredholmsche Lösbarkeit des Dirichletschen Problems (385) 150. Über das Spektrum symmetrischer Operatoren (390) Kapitel 3. Parabolische und hyperbolische Differentialgleichungen (395) 151. Die Abhängigkeit der Lösung der Wärmeleitungsgleichung von der Anfangs- und Randbedingung sowie von der Störfunktion (395) 152. Die Potentiale der Wärmeleitungsgleichung im eindimensionalen Fall (397) 153. Wärmequellen im mehrdimensionalen Fall (400) 154. Die Greensche Funktion der Wärmeleitungsgleichung (401) 155. Anwendung der Laplacetrannsformation (402) 156. Anwendung des Differenzenverfahrens (406) 157. Die Fouriermethode zur Lösung der Wärmeleitungsgleichung (409) 158. Die inhomogene Differentialgleichung (411) 159. Die Eigenschaften der Lösungen der Wärmeleitungsgleichung (414) 160. Die verallgemeinerten Potentiale einer einfachen Schicht und einer Doppelschicht im eindimensionalen Fall (416) 161. Sub- und superparabolische Funktionen (421) 162. Parabolische Gleichungen in allgemeiner Gestalt. Die energetische Ungleichung (422) 163. Die Fouriermethode für parabolische Differentialgleichungen (426) 164. Die zweite grundlegende Ungleichung und die Lösbarkeit des ersten Anfangs-Randwertproblems (430) 165. Hyperbolische Gleichungen in allgemeiner Gestalt. Die energetische Ungleichung für das erste Anfangs-Randwertproblem (433) 166. Die Fourriermethode für Gleichungen vom hyperbolischen Typus (436) 167. Ein Randwertproblem für die Kugel (440) 168. Die Schwingungen des Innengebietes einer Kugel (444) 169. Untersuchung der Lösung (447) 170. Das Randwertproblem der Telegraphengleichung (449) Literaturhinweise (452) Namen- und Sachverzeichnis (467)
Inhaltsverzeichnis:
Kapitel 1. Allgemeine Theorie der partiellen Differentialgleichungen Abschnitt 1. Differentialgleichungen erster Ordnung (11) 1. Quasilineare Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Veränderlichen (11) 2. Das Cauchysche Problem und die Charakteristika (14) 3. Quasilineare Differentialgleichungen mit beliebig vielen Veränderlichen (18) 4. Beispiele (22) 5. Ein Hilfssatz (23) 6. Nichtlineare Differentialgleichungen erster Ordnung (27) 7. Charakteristische Mannigfaltigkeiten (30) 8. Die Cauchysche Methode (31) 9. Das Cauchysche Problem (33) 10. Die Eindeutigkeit der Lösung (35) 11. Der singuläre Fall (27) 12. Nichtlineare Differentialgleichungen mit beliebig vielen unabhängigen Veränderlichen (39) 13. Vollständiges, allgemeines und singuläres Integral (43) 14. Das vollständige Integral und das Cauchysche Problem (43) 15. Beispiele (45) 16. Differentialgelichungen mit beliebig vielen Veränderlichen (48) 17. Der Satz von JACOBI (50) 18. Systeme linearer Differntialgleichungen erster Ordnung (51) 19. Die Methode von LAGRANGE und CHARPIT (53) 20. Systeme linearer Differentialgleichungen (55) 21. Vollständige und Jacobische Systeme (57) 22. Die Integration vollständiger Systeme (59) 23. Die Poissonschen Klammern (60) 24. Die Methode von JACOBI (63) 25. Kanonische Systeme (64) 26. Beispiele (65) 27. Die Majorantenmethode (66) 28. Der Satz von S. KOWALEWSKAJA (69) 29. Differentialgleichungen höherer Ordnung (74) Abschnitt 2. Differentialgleichungen höherer Ordnung (76) 30. Die Typen der Differentialgleichungen zweiter Ordnung (76) 31. Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten (78) 32. Normalformen bei zwei unabhängigen Veränderlichen (80) 33. Das Cauchysche Problem (83) 34. Charakteristische Streifen (85) 35. Ableitungen höherer Ordnung (87) 36. Reelle und komplexe Charakteristiken (89) 37. Die grundlegenden Sätze (90) 38. Vorintegrale (92) 39. Die Monge-Ampèresche Differentialgleichung (93) 40. Charakteristika bei beliebig vielen unabhängigen Veränderlichen (94) 41. Bicharakteristika (97) 42. Der Zusammenhang mit einem Variationsproblem (100) 43. Ausbreitung von Unstetigkeiten (103) 44. Starke Unstetigkeiten (104) 45. Die Riemannsche Integrationsmethode (108) 46. Charakteristische Anfangswerte (112) 47. Existenzsätze (113) 48. Die Formel der partiellen Integration und die Greensche Formel (117) 49. Die Methode von VOLTERRA (119) 50. Die Formel von SOBOLEW (122) 51. Die Formel von SOBOLEW (Fortsetzung) (125) 52. Die Konstruktion der Funktion Sigma (127) 53. Allgemeine Anfangsbedingungen (131) 54. Die verallgemeinerte Wellengleichung (133) 55. Die Wellengleichung für beliebig viele unabhängige Veränderliche (134) 56. Die energetische Ungleichung (137) 57. Der Eindeutigkeitssatz und der Satz über die stetige Abhängigkeit der Lösungen (141) 58. Der Fall der Wellengleichung (137) 59. Der Satz über die Einbettung in den Raum stetiger Funktionen und einige seiner Folgerungen (146) 60. Verallgemeinerte Lösungen von Gleichungen zweiter Ordnung (150) 61. Über die Existenz und Eindeutigkeit verallgemeinerter Lösungen des Cauchyschen Problems für die Wellengleichung (155) 62. Elliptische Differentialgleichungen (156) Abschnitt 3. Systeme partieller Differentialgleichungen (160) 63. Charakteristika bei Systemen partieller Differentialgleichungen (160) 64. Die kinematischen Kompatibilitätsbedingungen (164) 65. Die dynamischen Kompatibiltätsbedingungen (166) 66. Die Differentialgleichungen der Hydrodynamik (167) 67. Die Gleichungen der Elastizitätstheorie (170) 68. Anisotrope elastische Körper (172) 69. Elektromagnetische Wellen (173) 70. Starke Unstetigkeiten in der Elastizitätstheorie (178) 71. Charakteristika und große Frequenzen (181) 72. Der Fall zweier unabhängiger Veränderlicher (183) 73. Beispiele (185) Kapitel 2. Randwertproblem Abschnitt 1. Randwertprobleme bei einer gewöhnlichen (188) 74. Die Greensche Funktion einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung (188) 75. Überführung in eine Integralgleichung (191) 76. Die Symmetrie der Greenschen Funktion (193) 77. Eigenwerte und Eigenfunktionen des Randwertproblems (194) 78. Über das Vorzeichen der Eigenwerte (196) 79. Beispiele (197) 80. Die verallgemeinerte Greensche Funktion (199) 81. Die Legendreschen Polynome (204) 82. Die Hermiteschen und Laguerreschen Funktionen (207) 83. Differentialgleichungen vierter Ordnung (208) 84. Erweiterung des Entwicklungssatzes durch W.A. STEKLOW (210) 85. Rechtfertigung der Fouriermethode für die Wärmeleitungsgleichung (213) 86. Rechtfertigung der Fouriermethode für die Schwingungsgleichung (215) 87. Die Eindeutigkeitssätze (218) 88. Extremaleigenschaften der Eigenwerte und Eigenfunktionen (219) 89. Ein Satz von COURANT (223) 90. Ein asymptotischer Ausdruck für die Eigenwerte (224) 91. Ein asymptotischer Ausdruck für die Eigenfunktionen (219) 92. Das Ritzsche Verfahren (230) 93. Ein Beispiel von RITZ (231) Abschnitt 2. Elliptische Differentialgleichungen (233) 94. Das Newtonsche Potential (233) 95. Das Potential einer Doppelschicht (236) 96. Eigenschaften des Potentials einer einfachen Schicht (243) 97. Die Normalableitung des Potentials einer einfachen Schicht (244) 98. Die Normalableitung des Potentials einer einfachen Schicht (Fortsetzung) (247) 99. Der direkte Wert der Normalableitung auf S (248) 100. Die Ableitung des Potentials einer einfachen Schicht nach einer beliebigen Richtung (251) 101. Das logarithmische Potential (255) 102. Integralformeln und Parallelflächen (257) 103. Folgen harmonischer Funktionen (261) 104. Formulierung der inneren Randwertprobleme für die Laplacesche Gleichung (264) 105. Äußere Probleme im ebenen Fall (266) 106. Die Kelvintransformation (269) 107. Die Eindeutigkeit der Lösung des Neumannschen Problems (272) 108. Lösung der Randwertprobleme im dreidimensionalen Fall (275) 109. Untersuchung der auftretenden Integralgleichungen (277) 110. Übersicht über die Ergebnisse zur Lösbarkeit der betrachteten Randwertprobleme (281) 111. Randwertprobleme in der Ebene (282) 112. Die Integralgleichung der Kugelfunktionen (284) 113. Das Wärmegleichgewicht eines Wärme ausstrahlenden Körpers (285) 114. Das alternierende Verfahren von SCHWARZ (286) 115. Beweis des Hilfsatzes (289) 116. Das alternierende Verfahren von SCHWARZ (Fortsetzung) (290) 117. Sub- und superharmonische Funktionen (293) 118. Einige Hilfssätze (296) 119. Die Methode der Unter- und Oberfunktionen (297) 120. Untersuchung der Randwerte (300) 121. Die Laplacesche Differentialgleichung im n-dimensionalen Raum (304) 122. Die Greensch Funktion des Laplaceschen Operators (305) 123. Die Eigenschaften der Greenschen Funktion (307) 124. Die Greensche Funktion für ebene Bereiche (310) 125. Beispiele (314) 126. Die Greensche Funktion und die inhomogene Differentialgleichung (315) 127. Eigenwerte und Eigenfunktionen (318) 128. Die Normalableitung der Eigenfunktionen (322) 129. Die Extremaleigenschaften der Eigenwerte und Eigenfunktionen (323) 130. Die Helmholtzsche Gleichung und das Ausstrahlungsprinzip (325) 131. Der Eindeutigkeitssatz (327) 132. Die Prinzipien der Grenzamplitude und der Grenzabsorption (328) 133. Randwertprobleme für die Helmholtzsche Differentialgleichung (330) 134. Die Beugung einer elektromagnetischen Welle (335) 135. Der Vektor der magnetischen Feldstärke (337) 136. Der Eindeutigkeitssatz über die Lösung des Dirichletischen Problems für elliptische Differentialgleichungen (338) 137. Die Differentialgleichung (341) 138. Ein asymptotischer Ausdruch für die Eigenwerte (345) 139. Der Beweis des Satzes aus (138) (350) 140. Lineare Differentialgleichungen allgemeinerer Gestalt (357) 141. Der Greensche Tensor (358) 142. Das ebene statische Problem der Elastizitästheorie (360) 143. Über die Ergebnisse von SCHAUDER (362) 144. Die verallgemeinerten Lösungen der Klasse (365) 145. Die erste grundlegende (energetische) Ungleichung (369) 146. Der Raum und die zweite grundlegende Ungleichung (371) 147. Einige Ausführungen über Hilbertsche Räume und über Operatoren in Hilbertschen Räumen (378) 148. Über die Lösbarkeit des Dirichletschen Problems im Raum... (381) 149. Über die Fredholmsche Lösbarkeit des Dirichletschen Problems (385) 150. Über das Spektrum symmetrischer Operatoren (390) Kapitel 3. Parabolische und hyperbolische Differentialgleichungen (395) 151. Die Abhängigkeit der Lösung der Wärmeleitungsgleichung von der Anfangs- und Randbedingung sowie von der Störfunktion (395) 152. Die Potentiale der Wärmeleitungsgleichung im eindimensionalen Fall (397) 153. Wärmequellen im mehrdimensionalen Fall (400) 154. Die Greensche Funktion der Wärmeleitungsgleichung (401) 155. Anwendung der Laplacetrannsformation (402) 156. Anwendung des Differenzenverfahrens (406) 157. Die Fouriermethode zur Lösung der Wärmeleitungsgleichung (409) 158. Die inhomogene Differentialgleichung (411) 159. Die Eigenschaften der Lösungen der Wärmeleitungsgleichung (414) 160. Die verallgemeinerten Potentiale einer einfachen Schicht und einer Doppelschicht im eindimensionalen Fall (416) 161. Sub- und superparabolische Funktionen (421) 162. Parabolische Gleichungen in allgemeiner Gestalt. Die energetische Ungleichung (422) 163. Die Fouriermethode für parabolische Differentialgleichungen (426) 164. Die zweite grundlegende Ungleichung und die Lösbarkeit des ersten Anfangs-Randwertproblems (430) 165. Hyperbolische Gleichungen in allgemeiner Gestalt. Die energetische Ungleichung für das erste Anfangs-Randwertproblem (433) 166. Die Fourriermethode für Gleichungen vom hyperbolischen Typus (436) 167. Ein Randwertproblem für die Kugel (440) 168. Die Schwingungen des Innengebietes einer Kugel (444) 169. Untersuchung der Lösung (447) 170. Das Randwertproblem der Telegraphengleichung (449) Literaturhinweise (452) Namen- und Sachverzeichnis (467)