Lehrbuch der höheren Mathematik
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Der Band behandelt die Themen: Integralgleichungen - Variationsrechnung - Ergänzungen zur Theorie der Funktionenräume - Verallgemeinerte Ableitungen - Ein Minimalproblem für quadratische FunktionaleInhaltsverzeichnis:Kapitel 1. Integralgleichungen 1. Beispiele für die Aufstellung von Integralgleichungen (11) 2. Klassifikation der Integralgleichungen (14) 3. Orthogonale Funktionensysteme (16) 4. Fredholmsche Integralgleichungen zweiter Art (18) 5. Iterierte Kerne (20) 6. Integralbeziehungen für die Resolvente. Ein Existenz- und Eindeutigkeitssatz (23) 7. Der Fredholmsche Nenner (25) 8. Fre...
Der Band behandelt die Themen: Integralgleichungen - Variationsrechnung - Ergänzungen zur Theorie der Funktionenräume - Verallgemeinerte Ableitungen - Ein Minimalproblem für quadratische Funktionale
Inhaltsverzeichnis:
Kapitel 1. Integralgleichungen 1. Beispiele für die Aufstellung von Integralgleichungen (11) 2. Klassifikation der Integralgleichungen (14) 3. Orthogonale Funktionensysteme (16) 4. Fredholmsche Integralgleichungen zweiter Art (18) 5. Iterierte Kerne (20) 6. Integralbeziehungen für die Resolvente. Ein Existenz- und Eindeutigkeitssatz (23) 7. Der Fredholmsche Nenner (25) 8. Fredholmsche Integralgleichungen mit beliebigem lambda (31) 9. Die transponierte Integralgleichung (33) 10. Lösbarkeit im Fall einer charakteristischen Zahl (34) 11. Die Fredholmschen Minoren (40) 12. Integralgleichungen mit ausgeartetem Kern (40) 13. Beispiele (42) 14. Verallgemeinerung der erhaltenen Ergebnisse (44) 15. Kompakte Mengen stetiger Funktionen (46) 16. Nichtbeschränkte Kerne (49) 17. Integralgleichungen mit polarem Kern (40) 18. Lösbarkeit im Fall einer charakteristischen Zahl (54) 19. Der mehrdimensionale Fall (55) 20. Integralgleichungen mit regulären iterierten Kernen (56) 21. Der Fredholmsche Formelapparat für polare Kerne (59) 22. Das Lebesguesche Integral (60) 23. Orthonormalsysteme in L_2 (63) 24. Lineare beschränkte Operatoren in L_2 (66) 25. Integralgleichungen mit Kernen aus L_2 (67) 26. Die adjungierte Gleichung (69) 27. Der ausgeartete Kern (70) 28. Lösung der Integralgleichung mit einem Kern aus L_2 für beliebige lamda (72) 29. Vollstetige Operatoren in L_2 (75) 30. Symmetrische Kerne (78) 31. Reihenentwicklung des Kerns nach Eigenfunktionen (80) 32. Quellenmäßig darstellbare Funktionen (82) 33. Der Raum C L_2 (84) 34. Sätze über die Norm linearer Operatoren (85) 35. Die Existenz eines Eigenwertes (87) 36. Die Folge der Eigenwerte und der Entwicklungssatz (88) 37. Formulierung der Ergebnisse für Integraloperatoren (92) 38. Der Satz von DINI (93) 39. Reihenentwicklung der iterierten Kerne (95) 40. Darstellung der Lösung der Integralgleichung mit Hilfe der charakteristischen Zahlen und Eigenfunktionen (98) 41. Die Fredhomschen Formeln für symmetrische Kerne (99) 42. Klassifikation der symmetrischen Kerne (102) 43. Der Mercersche Satz (103) 44. Schiefsymmetrische Kerne und symmetrisierbare Integralgleichungen (104) 45. Integralgleichungen erster Art (106) 46. Symmetrisierung des Kerns (108) 47. Beispiele (110) 48. Von einem Parameter abhängende Kerne (110) 49. Funktionen mehrerer Veränderlicher (113) 50. Volterrasche Integralgleichungen (116) 51. Die Laplacetransformation (120) 52. Faltung von Funktionen (125) 53. Ein spezieller Fall Volterrascher Integralgleichungen (127) 54. Volterrasche Integralgleichungen erster Art (129) 55. Beispiele (132) 56. Belastete Integralgleichungen (136) 57. Integralgleichungen erster Art mit Cauchyschem Kern (139) 58. Randwertprobleme für analytische Funktionen (140) 59. Integralgleichungen zweiter Art mit Cauchyschem Kern (144) 60. Randwertprobleme für eine Strecke (146) 61. Die Umkehrung des Cauchyschen Integrals (149) 62. Die Fouriertransformation im Raum L_1 (150) 63. Die Fouriertransformation im Raum L_2. Hermitesche Polynome (154) 64. Die Fouriersche Integralgleichung (157) 65. Integralgleichungen mit unendlichem Integrationsintervall (158) 66. Beispiele (159) 67. Halbunendliche Integrationsintervalle (161) 68. Beispiele (163) 69. Halbunendliche Integrationsintervalle (Fortsetzung) (166) Kapitel 2. Variationrechnung 70. Problemdarstellung (172) 71. Fundamentallemmata der Variationsrechung (173) 72. Die Eulersche Gleichung im einfachsten Fall (176) 73. Ausdehnung der Ergebnisse auf mehrere gesuchte Funktionen und Ableitungen höherer Ordnung (179) 74. Ausdehnung der Ergebnisse auf mehrfache Integrale (181) 75. Bemerkungen zu den Eulerschen und Ostrogradskischen Gleichungen (202) 76. Beispiele (185) 77. Isoperimetrische Probleme (192) 78. Extrema mit Nebenbedingungen (194) 79. Beispiele (196) 80. Die Invarianz der Eulerschen und Ostrogradskischen Gleichungen (202) 81. Variationsprobleme in Parameterdarstellung (204) 82. Die geodätischen Linien im n-dimensionalen Raum (207) 83. Natürliche Randbedingungen (209) 84. Funktionale von allgemeinerer Gestalt (210) 85. Die allgemeine Form der ersten Variation (212) 86. Die Transversalitätsbedingung (215) 87. Die kanonischen Veränderlichen (217) 88. Das Extremalenfeld im dreidimensionalen Raum (219) 89. Die allgemeine Theorie der Extremalenfelder (223) 90. Ein Ausnahmefall (225) 91. Der Jacobische Satz (227) 92. Diskontinuierliche Lösungen (229) 93. Extrema bei einseitigen Bindungen (231) 94. Die zweite Variation (233) 95. Die Bedingung von JACOBI (234) 96. Schwache und starke Extrema (237) 97. Ausdehnung der Ergebnisse auf mehrere gesuchte Funktionen (239) 98. Die Weierstraßsche Funktion (241) 99. Beispiele (243) 100. Das Ostrogradski-Hamiltonsche Prinzip (245) 101. Das Prinzip der kleinsten Wirkung (246) 102. Saite und Membran (249) 103. Stab und Platte (250) 104. Die Grundgleichungen der Elastizitätstheorie (252) 105. Das absolute Extremum (255) 106. Das Dirichletsche Integral (257) 107. Der allgemeine Fall eines Funktionals bei mehreren unabhängigen Veränderlichen (261) 108. Direkte Methoden der Variationsrechnung (263) 109. Beispiel (264) Kapitel 3. Ergänzungen zur Theorie der Funktionenräume L_1 und L_2. Verallgemeinerte Ableitungen. Ein Minimalproblem für quadratische Funktionale 110. Mittelung von Funktionen aus L_1 und L_2 (267) 111. Eigenschaften der Mittelfunktionen (268) 112. Finite, unendlich oft differenzierbare Funktionen (271) 113. Verallgemeinerte Ableitungen (272) 114. Eigenschaften verallgemeinerter Ableitungen (274) 115. Die Funktionenklassen einiger Hilbertscher Räume (276) 116. Die Ungleichung von POINCARÉ. Der Satz von RELLICH (280) 117. Aufstellung eines Minimalproblems für ein quadratisches Funktional (283) 118. Lösung des Variationsproblems (284) 119. Zusammenhang mit einer Randwertaufgabe (286) Literaturhinweise (288) Namen- und Sachverzeichnis (297)
Inhaltsverzeichnis:
Kapitel 1. Integralgleichungen 1. Beispiele für die Aufstellung von Integralgleichungen (11) 2. Klassifikation der Integralgleichungen (14) 3. Orthogonale Funktionensysteme (16) 4. Fredholmsche Integralgleichungen zweiter Art (18) 5. Iterierte Kerne (20) 6. Integralbeziehungen für die Resolvente. Ein Existenz- und Eindeutigkeitssatz (23) 7. Der Fredholmsche Nenner (25) 8. Fredholmsche Integralgleichungen mit beliebigem lambda (31) 9. Die transponierte Integralgleichung (33) 10. Lösbarkeit im Fall einer charakteristischen Zahl (34) 11. Die Fredholmschen Minoren (40) 12. Integralgleichungen mit ausgeartetem Kern (40) 13. Beispiele (42) 14. Verallgemeinerung der erhaltenen Ergebnisse (44) 15. Kompakte Mengen stetiger Funktionen (46) 16. Nichtbeschränkte Kerne (49) 17. Integralgleichungen mit polarem Kern (40) 18. Lösbarkeit im Fall einer charakteristischen Zahl (54) 19. Der mehrdimensionale Fall (55) 20. Integralgleichungen mit regulären iterierten Kernen (56) 21. Der Fredholmsche Formelapparat für polare Kerne (59) 22. Das Lebesguesche Integral (60) 23. Orthonormalsysteme in L_2 (63) 24. Lineare beschränkte Operatoren in L_2 (66) 25. Integralgleichungen mit Kernen aus L_2 (67) 26. Die adjungierte Gleichung (69) 27. Der ausgeartete Kern (70) 28. Lösung der Integralgleichung mit einem Kern aus L_2 für beliebige lamda (72) 29. Vollstetige Operatoren in L_2 (75) 30. Symmetrische Kerne (78) 31. Reihenentwicklung des Kerns nach Eigenfunktionen (80) 32. Quellenmäßig darstellbare Funktionen (82) 33. Der Raum C L_2 (84) 34. Sätze über die Norm linearer Operatoren (85) 35. Die Existenz eines Eigenwertes (87) 36. Die Folge der Eigenwerte und der Entwicklungssatz (88) 37. Formulierung der Ergebnisse für Integraloperatoren (92) 38. Der Satz von DINI (93) 39. Reihenentwicklung der iterierten Kerne (95) 40. Darstellung der Lösung der Integralgleichung mit Hilfe der charakteristischen Zahlen und Eigenfunktionen (98) 41. Die Fredhomschen Formeln für symmetrische Kerne (99) 42. Klassifikation der symmetrischen Kerne (102) 43. Der Mercersche Satz (103) 44. Schiefsymmetrische Kerne und symmetrisierbare Integralgleichungen (104) 45. Integralgleichungen erster Art (106) 46. Symmetrisierung des Kerns (108) 47. Beispiele (110) 48. Von einem Parameter abhängende Kerne (110) 49. Funktionen mehrerer Veränderlicher (113) 50. Volterrasche Integralgleichungen (116) 51. Die Laplacetransformation (120) 52. Faltung von Funktionen (125) 53. Ein spezieller Fall Volterrascher Integralgleichungen (127) 54. Volterrasche Integralgleichungen erster Art (129) 55. Beispiele (132) 56. Belastete Integralgleichungen (136) 57. Integralgleichungen erster Art mit Cauchyschem Kern (139) 58. Randwertprobleme für analytische Funktionen (140) 59. Integralgleichungen zweiter Art mit Cauchyschem Kern (144) 60. Randwertprobleme für eine Strecke (146) 61. Die Umkehrung des Cauchyschen Integrals (149) 62. Die Fouriertransformation im Raum L_1 (150) 63. Die Fouriertransformation im Raum L_2. Hermitesche Polynome (154) 64. Die Fouriersche Integralgleichung (157) 65. Integralgleichungen mit unendlichem Integrationsintervall (158) 66. Beispiele (159) 67. Halbunendliche Integrationsintervalle (161) 68. Beispiele (163) 69. Halbunendliche Integrationsintervalle (Fortsetzung) (166) Kapitel 2. Variationrechnung 70. Problemdarstellung (172) 71. Fundamentallemmata der Variationsrechung (173) 72. Die Eulersche Gleichung im einfachsten Fall (176) 73. Ausdehnung der Ergebnisse auf mehrere gesuchte Funktionen und Ableitungen höherer Ordnung (179) 74. Ausdehnung der Ergebnisse auf mehrfache Integrale (181) 75. Bemerkungen zu den Eulerschen und Ostrogradskischen Gleichungen (202) 76. Beispiele (185) 77. Isoperimetrische Probleme (192) 78. Extrema mit Nebenbedingungen (194) 79. Beispiele (196) 80. Die Invarianz der Eulerschen und Ostrogradskischen Gleichungen (202) 81. Variationsprobleme in Parameterdarstellung (204) 82. Die geodätischen Linien im n-dimensionalen Raum (207) 83. Natürliche Randbedingungen (209) 84. Funktionale von allgemeinerer Gestalt (210) 85. Die allgemeine Form der ersten Variation (212) 86. Die Transversalitätsbedingung (215) 87. Die kanonischen Veränderlichen (217) 88. Das Extremalenfeld im dreidimensionalen Raum (219) 89. Die allgemeine Theorie der Extremalenfelder (223) 90. Ein Ausnahmefall (225) 91. Der Jacobische Satz (227) 92. Diskontinuierliche Lösungen (229) 93. Extrema bei einseitigen Bindungen (231) 94. Die zweite Variation (233) 95. Die Bedingung von JACOBI (234) 96. Schwache und starke Extrema (237) 97. Ausdehnung der Ergebnisse auf mehrere gesuchte Funktionen (239) 98. Die Weierstraßsche Funktion (241) 99. Beispiele (243) 100. Das Ostrogradski-Hamiltonsche Prinzip (245) 101. Das Prinzip der kleinsten Wirkung (246) 102. Saite und Membran (249) 103. Stab und Platte (250) 104. Die Grundgleichungen der Elastizitätstheorie (252) 105. Das absolute Extremum (255) 106. Das Dirichletsche Integral (257) 107. Der allgemeine Fall eines Funktionals bei mehreren unabhängigen Veränderlichen (261) 108. Direkte Methoden der Variationsrechnung (263) 109. Beispiel (264) Kapitel 3. Ergänzungen zur Theorie der Funktionenräume L_1 und L_2. Verallgemeinerte Ableitungen. Ein Minimalproblem für quadratische Funktionale 110. Mittelung von Funktionen aus L_1 und L_2 (267) 111. Eigenschaften der Mittelfunktionen (268) 112. Finite, unendlich oft differenzierbare Funktionen (271) 113. Verallgemeinerte Ableitungen (272) 114. Eigenschaften verallgemeinerter Ableitungen (274) 115. Die Funktionenklassen einiger Hilbertscher Räume (276) 116. Die Ungleichung von POINCARÉ. Der Satz von RELLICH (280) 117. Aufstellung eines Minimalproblems für ein quadratisches Funktional (283) 118. Lösung des Variationsproblems (284) 119. Zusammenhang mit einer Randwertaufgabe (286) Literaturhinweise (288) Namen- und Sachverzeichnis (297)