Lehrbuch der höheren Mathematik
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Der Band behandelt die Themen: Anfangsgründe der Funktionentheorie - Konforme Abbildung und ebene Felder - Anwendungen der Residuentheorie - Ganze und gebrochene Funktionen - Funktionen mehrerer Veränderlicher und von Matrizen - Lineare Differentialgleichungen - Spezielle Funktionen der mathematischen Physik - Reduktion von Matrizen auf kanonische FormInhaltsverzeichnis:Kapitel 1. Anfangsgründe der Funktionentheorie 1. Funktionen einer komplexen Veränderlichen (1) 2. Ableitungen (6) 3. Konforme Abbildungen (10) 4. Das Integral (13) 5. Der CAUCHYsche Integralsatz (15) 6. Die fundamentalen F...
Der Band behandelt die Themen: Anfangsgründe der Funktionentheorie - Konforme Abbildung und ebene Felder - Anwendungen der Residuentheorie - Ganze und gebrochene Funktionen - Funktionen mehrerer Veränderlicher und von Matrizen - Lineare Differentialgleichungen - Spezielle Funktionen der mathematischen Physik - Reduktion von Matrizen auf kanonische Form
Inhaltsverzeichnis:
Kapitel 1. Anfangsgründe der Funktionentheorie 1. Funktionen einer komplexen Veränderlichen (1) 2. Ableitungen (6) 3. Konforme Abbildungen (10) 4. Das Integral (13) 5. Der CAUCHYsche Integralsatz (15) 6. Die fundamentalen Formeln der Integralrechnung (18) 7. Die CAUCHYsche Integralformel (20) 8. Integrale vom CUACHYschen Typ (25) 9. Folgerungen aus der CAUCHYschen Formel (27) 10. Isolierte singuläre Punkte (29) 11. Unendliche Reihen mit komplexen Gliedern (31) 12. Satz von WEITERSTRASS (33) 13. Potenzreihen (36) 14. Die TAYLORsche Reihe (37) 15. LAURENTsche Reihen (40) 16. Einige Beispiele (43) 17. Isolierte singuläre Punkte. Der unendlich ferne Punkt (47) 18. Analytische Fortsetzungen (50) 19. Beispiele mehrdeutiger Funktionen (56) 20. Singuläre Punkte analytischer Funktionen und RIEMANNsche Flächen (63) 21. Der Residuensatz (66) 22. Sätze über die Anzahl der Nullstellen (69) 23. Umkehrung von Potenzreihen (72) 24. Das Spiegelungsprinzip (75) 25. TAYLORsche Reihen auf dem Rande des Konvergenzkreises (78) 26. Der Hauptwert eines Integrals (80) 27. Der Hauptwert eines Integrals (Fortsetzung) (84) 28. CAUCHYsche Integrale (88) Kapitel 2. Konforme Abbildung und ebene Felder 29. Konforme Abbildung (95) 30. Die lineare Abbildung (98) 31. Die allgemeine lineare Abbildung (99) 32. Die Funktion w = z2 (107) 33. Die Funktion w = k/2(z+1/z) (108) 34. Zweieick und Streifen (111) 35. Hauptsatz der Theorie der konformen Abbildung (113) 36. Die CHRISTOFFELsche Formel (115) 37. Einige Spezialfälle (122) 38. Das Äußere eines Vielecks (125) 39. Minimaleigenschaft der Abbildung auf den Kreis (127) 40. Das Verfahren der konjugierten trigonometrischen Reihen (130) 41. Die stationäre ebene Flüssigkeitsströmung (137) 42. Beispiele (139) 43. Das Problem der Umströmung (142) 44. Die Formel von JOUKOWSKI (143) 45. Das ebene elektrostatische Problem (145) 46. Beispiele (147) 47. Das ebene Magnetfeld (151) 48. Die SCHWARZsche Formel (151) 49. Der Kern ctg(s-t)/2 (154) 50. Randwertprobleme (157) 51. Die biharmonische Gleichung (161) 52. Die Wellengleichung und analytische Funktionen (164) 53. Hauptsatz (166) 54. Beugung ebener Wellen (171) 55. Reflexion von elastischen Wellen an geradlinigen Begrenzungen (175) Kapitel 3. Anwendung der Residuentheorie; ganze und gebrochene Funktionen 56. Das FRESNELsche Integral 181 57. Integration von Ausdrücken mit trigonometrischen Funktionen (183) 58. Die Integration einer rationalen Funktion (184) 59. Einige neue Integraltypen mit trigonometrischen Funktionen (186) 60. Lemma von JORDAN (189) 61. Darstellung einiger Funktionen durch Kurvenintegrale (190) 62. Beispiele von Integralen mehrdeutiger Funktionen (194) 63. Integration eines Systems linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten (198) 64. Partialbruchzerlegung einer meromorphen Funktion (202) 65. Die Funktion ctg z (205) 66. Die Konstruktion meromorpher Funktion (208) 67. Ganze Funktionen (209) 68. Unendliche Produkte (211) 69. Konstruktion einer ganzen Funktion aus ihren Nullstellen (214) 70. Integrale, die von einem Parameter abhängen (217) 71. Die Integraldarstellung der Gammafunktion (219) 72. Die EULERsche Betafunktion (223) 73. Das unendliche Produkt für eine Funktion (225) 74. Darstellung durch ein Kurvenintegral (230) 75. Die STIRLINGsche Formel (232) 76. Die EULERsche Summenformel (237) 77. Die BERNOULLIschen Zahlen (240) 78. Die Methode des größten Gefälles (242) 79. Abtrennung des Hauptbestandteiles eines Integrals (244) 80. Beispiele (250) Kapitel 4. Funktionen mehrerer Veränderlicher und Funktionen von Matrizen 81. Reguläre Funktionen mehrerer Veränderlicher (259) 82. Das Doppelintegral und die CAUCHYsche Formel (259) 83. Potenzreihen (261) 84. Analytische Fortsetzung (266) 85. Funktionen von Matrizen. Einführende Begriffe (268) 86. Potenzreihen einer Matrix (269) 87. Multiplikation von Potenzreihen. Umkehrung von Potenzreihen (272) 88. Weitere Konvergenzuntersuchungen (275) 89. Interpolation von Polynomen (278) 90. Die CAYLEYsche Identität und die SYLVESTERsche Formel (280) 91. Analytische Fortsetzung (282) 92. Beispiele mehrdeutiger Funktionen (284) 93. Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten (287) 94. Funktionen mehrerer Matrizen (292) Kapitel 5. Lineare Differentialgleichungen 95. Entwicklung von Lösungen in Potenzreihen (295) 96. Analytische Fortsetzung einer Lösung (299) 97. Die Umgebung eines singulären Punktes (300) 98. Außerwesentlich singuläre Punkte (304) 99. Differentialgleichungen der FUCHschen Klasse (311) 100. Die GAUSSsche Differentialgleichung (314) 101. Die hypergeometrische Reihe (316) 102. Die LEGENDREschen Polynome (320) 103. Die JAKOBIschen Polynome (326) 104. Konforme Abbildung und GAUSSsche Differentialgleichung (330) 105. Wesentlich singuläre Punkte (334) 106. Asymptotische Entwicklungen (337) 107. Die LAPLACE-Transformation (340) 108. Verschiedene Wahl der Lösung (346) 109. Asymptotische Darstellung einer Lösung (346) 110. Vergleich der erhaltenen Resultate (350) 111. Die BESSELsche Differentialgleichung (351) 112. Die HANKELschen Funktionen (355) 113. Die BESSELschen Funktionen 359 114. Die LAPLACE-Transformation in allgemeineren Fällen (360) 115. Die verallgemeinerten LAGUERREschen Polynome (362) 116. Positive Parameterwerte (365) 117. Eine Entartung der GAUSSschen Differentialgleichung (367) 118. Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten (369) 119. Analytische Koeffizienten (375) 120. Systeme linearer Differentialgleichungen (376) 121. Außerwesentlich singuläre Punkte (378) 122. Reguläre Differentialgleichungssysteme (381) 123. Darstellung einer Lösung in der Umgebung eines singulären Punktes (387) 124. Kanonische Lösungen (390) 125. Der Zusammenhang mit den regulären Lösungen vom FUCHSschen Typ (393) 126. Der Fall beliebiger Us (393) 127. Die Entwicklung in der Umgebung eines wesentlich singulären Punktes (397) 128. Entwicklungen in gleichmäßig konvergente Reihen (404) Kapitel 6. Spezielle Funktionen der mathematischen Physik Abschnitt 1. Kugelfunktionen und LEGENDREsche Funktionen (411) 129. Definition der Kugelfunktionen (411) 130. Explizite Ausdrücke der Kugelfunktionen (413) 131. Die Orthogonalität (416) 132. Die LEGENDREschen Polynome (420) 133. Die Entwicklung nach Kugelfunktionen (424) 134. Der Konvergenzbeweis (427) 135. Der Zusammenhang zwischen Kugelfunktion und Randwertproblemen (429) 136. Das DIRICHLETsche und NEUMANNsche Problem (431) 137. Das Potential räumlich verteilter Massen (434) 138. Das Potential einer Kugelschicht (435) 139. Das Elektron im Zentralfeld (438) 140. Kugelfunktionen und lineare Darstellungen der Drehungsgrupp (440) 141. Die LEGENDREschen Funktionen (442) 142. Die LEGENDREschen Funktionen zweiter Art (444) Abschnitt 2. Die BESSELschen Funktionen (448) 143. Definition der BESSELschen Funktionen (448) 144. Relationen zwischen den BESSELschen Funktionen (450) 145. Die Orthogonalität der BESSELschen Funktionen und ihre Nullstellen (453) 146. Erzeugende Funktion und Integraldarstellung (457) 147. Die Formel von FOURIER-BESSEL (460) 148. Die HANKELschen und die NEUMANNschen Funktionen (461) 149. Entwicklung der NEUMANNschen Funktionen mit ganzem Index (466) 150. Der Fall eines rein imaginären Argumentes (468) 151. Integraldarstellungen (470) 152. Asymptotische Darstellungen der HANKELschen Funktionen (472) 153. Die BESSELschen Funktionen und die LAPLACEsche Differentialgleichung (480) 154. Die Wellengleichung in Zylinderkoordinaten (482) 155. Die Wellengleichung in Kugelkoordinaten (485) Abschnitt 3. Die HERMITEschen und LAGUERREschen Polynome (488) 156. Der lineare Oszillator und die HERMITEschen Polynome (488) 157. Die Orthogonalitätseigenschaft (491) 158. Die erzeugende Funktion (492) 159. Parabolische Koordinaten und die HERMITEschen Funktionen (494) 160. Die LAGUERREschen Polynome (496) 161. Der Zusammenhang zwischen LAGUERREschen und HERMITEschen Polynomen (499) 162. Asymptotische Darstellung der HERMITEschen Polynome (500) 163. Asymptotische Darstellung der LEGENDREschen Polynome (503) Abschnitt 4. Elliptische Integrale und elliptische Funktionen (506) 164. Zurückführung elliptischer Integrale auf Normalform (506) 165. Reduktion von Integralen auf trigonometrische Form (509) 166. Beispiele (512) 167. Umkehrfunktionen elliptischer Integrale (515) 168. Allgemeine Eigenschaften elliptischer Funktionen (518) 169. Ein Hilfssatz (522) 170. Die WEIERSTRASSsche Rho-Funktion (523) 171. Die Differentialgleichung für Rho (u) (527) 172. Die Funktionen Delta_k(u) (530) 173. Reihenentwicklung einer ganzen periodischen Funktion (532) 174. Neue Bezeichnungen (534) 175. Die Funktion Theta_1(v) (535) 176. Die Funktion Theta_k(v) (538) 177. Eigenschaften der Thetafunktionen (541) 178. Darstellung der Zahlen e_k und Theta_s (543) 179. Die JAKOBIschen elliptischen Funktionen (547) 180. Die Haupteigenschaften der JAKOBINIschen Funktionen (547) 181. Die Differentialgleichungen für die JAKOBIschen Funktionen (549) 182. Die Additionstheoreme (550) 183. Der Zusammenhang zwischen den Funktionen Rho (u) und sn(u) (551) 184. Elliptische Koordinaten (553) 185. Einführung elliptischer Funktionen (555) 186. Die LAMÉsche Differentialgleichung (556) 187. Das einfache Pendel (558) 188. Beispiel einer konformen Abbildung (560) Anhang Reduktion von Matrizen auf kanonische Form (563) 189. Hilfssätze (563) 190. Einfache Eigenwerte (568) 191. Der erste Transfomationsschritt bei mehrfachen Eigenwerten (569) 192. Reduktion auf kanonische Form (573) 193. Bestimmung der Struktur einer kanonischen Form (578) 194. Beispiel (581) Literaturhinweise der Herausgeber (587) Sachverzeichnisse (594)
Inhaltsverzeichnis:
Kapitel 1. Anfangsgründe der Funktionentheorie 1. Funktionen einer komplexen Veränderlichen (1) 2. Ableitungen (6) 3. Konforme Abbildungen (10) 4. Das Integral (13) 5. Der CAUCHYsche Integralsatz (15) 6. Die fundamentalen Formeln der Integralrechnung (18) 7. Die CAUCHYsche Integralformel (20) 8. Integrale vom CUACHYschen Typ (25) 9. Folgerungen aus der CAUCHYschen Formel (27) 10. Isolierte singuläre Punkte (29) 11. Unendliche Reihen mit komplexen Gliedern (31) 12. Satz von WEITERSTRASS (33) 13. Potenzreihen (36) 14. Die TAYLORsche Reihe (37) 15. LAURENTsche Reihen (40) 16. Einige Beispiele (43) 17. Isolierte singuläre Punkte. Der unendlich ferne Punkt (47) 18. Analytische Fortsetzungen (50) 19. Beispiele mehrdeutiger Funktionen (56) 20. Singuläre Punkte analytischer Funktionen und RIEMANNsche Flächen (63) 21. Der Residuensatz (66) 22. Sätze über die Anzahl der Nullstellen (69) 23. Umkehrung von Potenzreihen (72) 24. Das Spiegelungsprinzip (75) 25. TAYLORsche Reihen auf dem Rande des Konvergenzkreises (78) 26. Der Hauptwert eines Integrals (80) 27. Der Hauptwert eines Integrals (Fortsetzung) (84) 28. CAUCHYsche Integrale (88) Kapitel 2. Konforme Abbildung und ebene Felder 29. Konforme Abbildung (95) 30. Die lineare Abbildung (98) 31. Die allgemeine lineare Abbildung (99) 32. Die Funktion w = z2 (107) 33. Die Funktion w = k/2(z+1/z) (108) 34. Zweieick und Streifen (111) 35. Hauptsatz der Theorie der konformen Abbildung (113) 36. Die CHRISTOFFELsche Formel (115) 37. Einige Spezialfälle (122) 38. Das Äußere eines Vielecks (125) 39. Minimaleigenschaft der Abbildung auf den Kreis (127) 40. Das Verfahren der konjugierten trigonometrischen Reihen (130) 41. Die stationäre ebene Flüssigkeitsströmung (137) 42. Beispiele (139) 43. Das Problem der Umströmung (142) 44. Die Formel von JOUKOWSKI (143) 45. Das ebene elektrostatische Problem (145) 46. Beispiele (147) 47. Das ebene Magnetfeld (151) 48. Die SCHWARZsche Formel (151) 49. Der Kern ctg(s-t)/2 (154) 50. Randwertprobleme (157) 51. Die biharmonische Gleichung (161) 52. Die Wellengleichung und analytische Funktionen (164) 53. Hauptsatz (166) 54. Beugung ebener Wellen (171) 55. Reflexion von elastischen Wellen an geradlinigen Begrenzungen (175) Kapitel 3. Anwendung der Residuentheorie; ganze und gebrochene Funktionen 56. Das FRESNELsche Integral 181 57. Integration von Ausdrücken mit trigonometrischen Funktionen (183) 58. Die Integration einer rationalen Funktion (184) 59. Einige neue Integraltypen mit trigonometrischen Funktionen (186) 60. Lemma von JORDAN (189) 61. Darstellung einiger Funktionen durch Kurvenintegrale (190) 62. Beispiele von Integralen mehrdeutiger Funktionen (194) 63. Integration eines Systems linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten (198) 64. Partialbruchzerlegung einer meromorphen Funktion (202) 65. Die Funktion ctg z (205) 66. Die Konstruktion meromorpher Funktion (208) 67. Ganze Funktionen (209) 68. Unendliche Produkte (211) 69. Konstruktion einer ganzen Funktion aus ihren Nullstellen (214) 70. Integrale, die von einem Parameter abhängen (217) 71. Die Integraldarstellung der Gammafunktion (219) 72. Die EULERsche Betafunktion (223) 73. Das unendliche Produkt für eine Funktion (225) 74. Darstellung durch ein Kurvenintegral (230) 75. Die STIRLINGsche Formel (232) 76. Die EULERsche Summenformel (237) 77. Die BERNOULLIschen Zahlen (240) 78. Die Methode des größten Gefälles (242) 79. Abtrennung des Hauptbestandteiles eines Integrals (244) 80. Beispiele (250) Kapitel 4. Funktionen mehrerer Veränderlicher und Funktionen von Matrizen 81. Reguläre Funktionen mehrerer Veränderlicher (259) 82. Das Doppelintegral und die CAUCHYsche Formel (259) 83. Potenzreihen (261) 84. Analytische Fortsetzung (266) 85. Funktionen von Matrizen. Einführende Begriffe (268) 86. Potenzreihen einer Matrix (269) 87. Multiplikation von Potenzreihen. Umkehrung von Potenzreihen (272) 88. Weitere Konvergenzuntersuchungen (275) 89. Interpolation von Polynomen (278) 90. Die CAYLEYsche Identität und die SYLVESTERsche Formel (280) 91. Analytische Fortsetzung (282) 92. Beispiele mehrdeutiger Funktionen (284) 93. Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten (287) 94. Funktionen mehrerer Matrizen (292) Kapitel 5. Lineare Differentialgleichungen 95. Entwicklung von Lösungen in Potenzreihen (295) 96. Analytische Fortsetzung einer Lösung (299) 97. Die Umgebung eines singulären Punktes (300) 98. Außerwesentlich singuläre Punkte (304) 99. Differentialgleichungen der FUCHschen Klasse (311) 100. Die GAUSSsche Differentialgleichung (314) 101. Die hypergeometrische Reihe (316) 102. Die LEGENDREschen Polynome (320) 103. Die JAKOBIschen Polynome (326) 104. Konforme Abbildung und GAUSSsche Differentialgleichung (330) 105. Wesentlich singuläre Punkte (334) 106. Asymptotische Entwicklungen (337) 107. Die LAPLACE-Transformation (340) 108. Verschiedene Wahl der Lösung (346) 109. Asymptotische Darstellung einer Lösung (346) 110. Vergleich der erhaltenen Resultate (350) 111. Die BESSELsche Differentialgleichung (351) 112. Die HANKELschen Funktionen (355) 113. Die BESSELschen Funktionen 359 114. Die LAPLACE-Transformation in allgemeineren Fällen (360) 115. Die verallgemeinerten LAGUERREschen Polynome (362) 116. Positive Parameterwerte (365) 117. Eine Entartung der GAUSSschen Differentialgleichung (367) 118. Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten (369) 119. Analytische Koeffizienten (375) 120. Systeme linearer Differentialgleichungen (376) 121. Außerwesentlich singuläre Punkte (378) 122. Reguläre Differentialgleichungssysteme (381) 123. Darstellung einer Lösung in der Umgebung eines singulären Punktes (387) 124. Kanonische Lösungen (390) 125. Der Zusammenhang mit den regulären Lösungen vom FUCHSschen Typ (393) 126. Der Fall beliebiger Us (393) 127. Die Entwicklung in der Umgebung eines wesentlich singulären Punktes (397) 128. Entwicklungen in gleichmäßig konvergente Reihen (404) Kapitel 6. Spezielle Funktionen der mathematischen Physik Abschnitt 1. Kugelfunktionen und LEGENDREsche Funktionen (411) 129. Definition der Kugelfunktionen (411) 130. Explizite Ausdrücke der Kugelfunktionen (413) 131. Die Orthogonalität (416) 132. Die LEGENDREschen Polynome (420) 133. Die Entwicklung nach Kugelfunktionen (424) 134. Der Konvergenzbeweis (427) 135. Der Zusammenhang zwischen Kugelfunktion und Randwertproblemen (429) 136. Das DIRICHLETsche und NEUMANNsche Problem (431) 137. Das Potential räumlich verteilter Massen (434) 138. Das Potential einer Kugelschicht (435) 139. Das Elektron im Zentralfeld (438) 140. Kugelfunktionen und lineare Darstellungen der Drehungsgrupp (440) 141. Die LEGENDREschen Funktionen (442) 142. Die LEGENDREschen Funktionen zweiter Art (444) Abschnitt 2. Die BESSELschen Funktionen (448) 143. Definition der BESSELschen Funktionen (448) 144. Relationen zwischen den BESSELschen Funktionen (450) 145. Die Orthogonalität der BESSELschen Funktionen und ihre Nullstellen (453) 146. Erzeugende Funktion und Integraldarstellung (457) 147. Die Formel von FOURIER-BESSEL (460) 148. Die HANKELschen und die NEUMANNschen Funktionen (461) 149. Entwicklung der NEUMANNschen Funktionen mit ganzem Index (466) 150. Der Fall eines rein imaginären Argumentes (468) 151. Integraldarstellungen (470) 152. Asymptotische Darstellungen der HANKELschen Funktionen (472) 153. Die BESSELschen Funktionen und die LAPLACEsche Differentialgleichung (480) 154. Die Wellengleichung in Zylinderkoordinaten (482) 155. Die Wellengleichung in Kugelkoordinaten (485) Abschnitt 3. Die HERMITEschen und LAGUERREschen Polynome (488) 156. Der lineare Oszillator und die HERMITEschen Polynome (488) 157. Die Orthogonalitätseigenschaft (491) 158. Die erzeugende Funktion (492) 159. Parabolische Koordinaten und die HERMITEschen Funktionen (494) 160. Die LAGUERREschen Polynome (496) 161. Der Zusammenhang zwischen LAGUERREschen und HERMITEschen Polynomen (499) 162. Asymptotische Darstellung der HERMITEschen Polynome (500) 163. Asymptotische Darstellung der LEGENDREschen Polynome (503) Abschnitt 4. Elliptische Integrale und elliptische Funktionen (506) 164. Zurückführung elliptischer Integrale auf Normalform (506) 165. Reduktion von Integralen auf trigonometrische Form (509) 166. Beispiele (512) 167. Umkehrfunktionen elliptischer Integrale (515) 168. Allgemeine Eigenschaften elliptischer Funktionen (518) 169. Ein Hilfssatz (522) 170. Die WEIERSTRASSsche Rho-Funktion (523) 171. Die Differentialgleichung für Rho (u) (527) 172. Die Funktionen Delta_k(u) (530) 173. Reihenentwicklung einer ganzen periodischen Funktion (532) 174. Neue Bezeichnungen (534) 175. Die Funktion Theta_1(v) (535) 176. Die Funktion Theta_k(v) (538) 177. Eigenschaften der Thetafunktionen (541) 178. Darstellung der Zahlen e_k und Theta_s (543) 179. Die JAKOBIschen elliptischen Funktionen (547) 180. Die Haupteigenschaften der JAKOBINIschen Funktionen (547) 181. Die Differentialgleichungen für die JAKOBIschen Funktionen (549) 182. Die Additionstheoreme (550) 183. Der Zusammenhang zwischen den Funktionen Rho (u) und sn(u) (551) 184. Elliptische Koordinaten (553) 185. Einführung elliptischer Funktionen (555) 186. Die LAMÉsche Differentialgleichung (556) 187. Das einfache Pendel (558) 188. Beispiel einer konformen Abbildung (560) Anhang Reduktion von Matrizen auf kanonische Form (563) 189. Hilfssätze (563) 190. Einfache Eigenwerte (568) 191. Der erste Transfomationsschritt bei mehrfachen Eigenwerten (569) 192. Reduktion auf kanonische Form (573) 193. Bestimmung der Struktur einer kanonischen Form (578) 194. Beispiel (581) Literaturhinweise der Herausgeber (587) Sachverzeichnisse (594)