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Lehrbuch der höheren Mathematik
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Der Band behandelt die Themen: Determinanten und die Auflösung von Gleichungssystemen - Lineare Transformationen und quadratische Formen - Elemente der Gruppentheorie und lineare Darstellung von GruppenInhaltsverzeichnis:Kapitel 1. Determinanten und die Auflösung von Gleichungssystemen (11) Abschnitt 1. Die Determinante und ihre Eigenschaften (11) 1. Definition der Determinante (11) 2. Permutationen (14) 3. Grundlegende Eigenschaften der Determinante (18) 4. Berechnung von Determinanten (22) 5. Beispiele (24) 6. Der Multiplikationssatz für Determinanten (28) 7. Rechteckige Schemata (31) Abs...
Der Band behandelt die Themen: Determinanten und die Auflösung von Gleichungssystemen - Lineare Transformationen und quadratische Formen - Elemente der Gruppentheorie und lineare Darstellung von Gruppen
Inhaltsverzeichnis:
Kapitel 1. Determinanten und die Auflösung von Gleichungssystemen (11) Abschnitt 1. Die Determinante und ihre Eigenschaften (11) 1. Definition der Determinante (11) 2. Permutationen (14) 3. Grundlegende Eigenschaften der Determinante (18) 4. Berechnung von Determinanten (22) 5. Beispiele (24) 6. Der Multiplikationssatz für Determinanten (28) 7. Rechteckige Schemata (31) Abschnitt 2. Die Auflösung linearer Gleichungssysteme (34) 8. Die Cramersche Regel (34) 9. Der allgemeine Fall (35) 10. Homogene Systeme (39) 11. Linearformen (41) 12. Der n-dimensionale Vektorraum (43) 13. Das innere Produkt (47) 14. Geometrische Deutung homogener Systeme (49) 15. Inhomogene Systeme (51) 16. Die Gramsche Determinante. Die Hadamardsche Ungleichung (54) 17. Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten (57) 18. Funktionaldeterminanten (61) 19. Implizite Funktionen (64) Kapitel 2. Lineare Transformationen (68) Abschnitt 3. Lineare Transformationen (68) 20. Koordinatentransformation im dreidimensionalen Raum (68) 21. Allgemeine lineare Transformationen des reelen dreidimensionalen Raumes (71) 22. Kovariante und kontravariante affine Vektoren (77) 23. Der Begriff des Tensors (79) 24. Beispiele affin-orthogonaler Tensnoren (82) 25. Der n-dimensionale komplexe Raum (84) 26. Elemente der Matrizenrechnung (88) 27. Eigenwerte und die Transformation einer Matrix auf die kanonische Form (92) 28. Unitäre und orthogonale Transformationen (96) 29. Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung (100) 30. Eigenschaften des inneren Produkts und der Norm (101) 31. Das Erhard-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren für Vektoren (103) Abschnitt 4. Quadratische Formen (104) 32. Die Transformation einer quadratischen Form auf eine Summe von Quadraten (104) 33. Mehrfache Wurzeln der charakteristischen Gleichung (108) 34. Beispiele (111) 35. Klassifikation der quadratischen Formen (114) 36. Die Formel von JACOBI (117) 37. Gleichzeitige Reduktion zweier quadratischer Formen auf eine Summe von Quadraten (118) 38. Kleine Schwingungen (119) 39. Extremaleigenschaften von Eigenwerten quadratischer Formen (121) 40. Hermetische Matrizen und hermitesche Formen (123) 41. Vertauschbare hermetische Matrizen (128) 42. Umformung unitärer Matrizen auf Diagonalform (130) 43. Projektionsmatrizen (133) 44. Matrizenfunktionen (137) 45. Der unendlichdimensionale Raum (139) 46. Konvergenz von Vektoren (144) 47. Orthonormierte Systeme (147) 48. Lineare Abbildungen in unendlich vielen Veränderlichen (150) 49. Der Funktionenraum der quadratintegrablen Funktionen (153) 50. Der Zusammenhang zwischen den Räumen l_2 und L_2 (154) 51. Lineare Operatoren in quadratintegrablen Funktionen (155) Kapitel 3. Elemente der Gruppentheorie und lineare Dastellungen von Gruppen (160) Abschnitt 5. Allgemeine Grundbegriffe der Gruppentheorie (160) 52. Gruppen linearer Transformationen (160) 53. Die Gruppen der regulären Polyeder (162) 54. Die Lorentz-Transformation (165) 55. Permutation (171) 56. Abstrakte Gruppen (176) 57. Untergruppen (177) 58. Klassen und Normalteiler (179) 59. Beispiele (182) 60. Isomorphe und homomorphe Gruppen (183) 61. Beispiele (185) 62. Stereographische Projektion (186) 63. Die Gruppe der unitären Transformationen und die Bewegungsgruppe (188) 64. Die allgemeine lineare Gruppe und die Lorentz-Gruppe (193) Abschnitt 6. Lineare Darstellung von Gruppen (196) 65. Darstellung von Gruppen durch lineare Tansformation (196) 66. Grundlegende Sätze (199) 67. Abelsche Gruppen und Darstellung ersten Grades (202) 68. Lineare Darstellungen der unitären Gruppe von zwei Veränderlichen (204) 69. Lineare Darstellungen der Drehungsgruppe (210) 70. Der Satz von der Einfachheit der Drehungsgruppe (212) 71. Die Laplacesche Gleichung und die linearen Darstellungen der Drehungsgruppe (213) 72. Das direkte Produkt von Matrizen (218) 73. Das Kronecker-Produkt zweier linearer Darstellungen der Drehungsgruppe (213) 74. Das direkte Produkt von Gruppen und seine linearen Darstellungen (222) 75. Das Ausreduzieren des Kronecker-Produktes von linearen Darstellungen der Drehungsgruppe (225) 76. Die Orthogonalitätseigenschaft nicht äquivalenter unitärer irreduzibler Darstellungen (233) 77. Charaktere (235) 78. Die reguläre Darstellung einer Gruppe (237) 79. Beispiele von Darstellungen endlicher Gruppen (238) 80. Darstellungen der linearen Gruppe zweier Veränderlicher (240) 81. Der Satz von der Einfachheit der Lorentz-Gruppe (243) Abschnitt 7. Kontinuierliche Gruppen (244) 82. Kontinuierliche Gruppen, Strukturkonstanten (244) 83. Infinitesimale Transformationen (248) 84. Drehungsgruppe (251) 85. Infinitesimale Transformationen und Darstellungen der Drehungsgruppe (252) 86. Die Darstellungen der Lorentz-Gruppe (255) 87. Einige Hilfsformeln (258) 88. Konstruktion einer Gruppe aus ihren Strukturkonstanten (260) 89. Integration auf einer Gruppe (261) 90. Orthogonalität. Beispiele (266) Literaturhinweise (271) Namen- und Sachverzeichnis (279)
Inhaltsverzeichnis:
Kapitel 1. Determinanten und die Auflösung von Gleichungssystemen (11) Abschnitt 1. Die Determinante und ihre Eigenschaften (11) 1. Definition der Determinante (11) 2. Permutationen (14) 3. Grundlegende Eigenschaften der Determinante (18) 4. Berechnung von Determinanten (22) 5. Beispiele (24) 6. Der Multiplikationssatz für Determinanten (28) 7. Rechteckige Schemata (31) Abschnitt 2. Die Auflösung linearer Gleichungssysteme (34) 8. Die Cramersche Regel (34) 9. Der allgemeine Fall (35) 10. Homogene Systeme (39) 11. Linearformen (41) 12. Der n-dimensionale Vektorraum (43) 13. Das innere Produkt (47) 14. Geometrische Deutung homogener Systeme (49) 15. Inhomogene Systeme (51) 16. Die Gramsche Determinante. Die Hadamardsche Ungleichung (54) 17. Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten (57) 18. Funktionaldeterminanten (61) 19. Implizite Funktionen (64) Kapitel 2. Lineare Transformationen (68) Abschnitt 3. Lineare Transformationen (68) 20. Koordinatentransformation im dreidimensionalen Raum (68) 21. Allgemeine lineare Transformationen des reelen dreidimensionalen Raumes (71) 22. Kovariante und kontravariante affine Vektoren (77) 23. Der Begriff des Tensors (79) 24. Beispiele affin-orthogonaler Tensnoren (82) 25. Der n-dimensionale komplexe Raum (84) 26. Elemente der Matrizenrechnung (88) 27. Eigenwerte und die Transformation einer Matrix auf die kanonische Form (92) 28. Unitäre und orthogonale Transformationen (96) 29. Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung (100) 30. Eigenschaften des inneren Produkts und der Norm (101) 31. Das Erhard-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren für Vektoren (103) Abschnitt 4. Quadratische Formen (104) 32. Die Transformation einer quadratischen Form auf eine Summe von Quadraten (104) 33. Mehrfache Wurzeln der charakteristischen Gleichung (108) 34. Beispiele (111) 35. Klassifikation der quadratischen Formen (114) 36. Die Formel von JACOBI (117) 37. Gleichzeitige Reduktion zweier quadratischer Formen auf eine Summe von Quadraten (118) 38. Kleine Schwingungen (119) 39. Extremaleigenschaften von Eigenwerten quadratischer Formen (121) 40. Hermetische Matrizen und hermitesche Formen (123) 41. Vertauschbare hermetische Matrizen (128) 42. Umformung unitärer Matrizen auf Diagonalform (130) 43. Projektionsmatrizen (133) 44. Matrizenfunktionen (137) 45. Der unendlichdimensionale Raum (139) 46. Konvergenz von Vektoren (144) 47. Orthonormierte Systeme (147) 48. Lineare Abbildungen in unendlich vielen Veränderlichen (150) 49. Der Funktionenraum der quadratintegrablen Funktionen (153) 50. Der Zusammenhang zwischen den Räumen l_2 und L_2 (154) 51. Lineare Operatoren in quadratintegrablen Funktionen (155) Kapitel 3. Elemente der Gruppentheorie und lineare Dastellungen von Gruppen (160) Abschnitt 5. Allgemeine Grundbegriffe der Gruppentheorie (160) 52. Gruppen linearer Transformationen (160) 53. Die Gruppen der regulären Polyeder (162) 54. Die Lorentz-Transformation (165) 55. Permutation (171) 56. Abstrakte Gruppen (176) 57. Untergruppen (177) 58. Klassen und Normalteiler (179) 59. Beispiele (182) 60. Isomorphe und homomorphe Gruppen (183) 61. Beispiele (185) 62. Stereographische Projektion (186) 63. Die Gruppe der unitären Transformationen und die Bewegungsgruppe (188) 64. Die allgemeine lineare Gruppe und die Lorentz-Gruppe (193) Abschnitt 6. Lineare Darstellung von Gruppen (196) 65. Darstellung von Gruppen durch lineare Tansformation (196) 66. Grundlegende Sätze (199) 67. Abelsche Gruppen und Darstellung ersten Grades (202) 68. Lineare Darstellungen der unitären Gruppe von zwei Veränderlichen (204) 69. Lineare Darstellungen der Drehungsgruppe (210) 70. Der Satz von der Einfachheit der Drehungsgruppe (212) 71. Die Laplacesche Gleichung und die linearen Darstellungen der Drehungsgruppe (213) 72. Das direkte Produkt von Matrizen (218) 73. Das Kronecker-Produkt zweier linearer Darstellungen der Drehungsgruppe (213) 74. Das direkte Produkt von Gruppen und seine linearen Darstellungen (222) 75. Das Ausreduzieren des Kronecker-Produktes von linearen Darstellungen der Drehungsgruppe (225) 76. Die Orthogonalitätseigenschaft nicht äquivalenter unitärer irreduzibler Darstellungen (233) 77. Charaktere (235) 78. Die reguläre Darstellung einer Gruppe (237) 79. Beispiele von Darstellungen endlicher Gruppen (238) 80. Darstellungen der linearen Gruppe zweier Veränderlicher (240) 81. Der Satz von der Einfachheit der Lorentz-Gruppe (243) Abschnitt 7. Kontinuierliche Gruppen (244) 82. Kontinuierliche Gruppen, Strukturkonstanten (244) 83. Infinitesimale Transformationen (248) 84. Drehungsgruppe (251) 85. Infinitesimale Transformationen und Darstellungen der Drehungsgruppe (252) 86. Die Darstellungen der Lorentz-Gruppe (255) 87. Einige Hilfsformeln (258) 88. Konstruktion einer Gruppe aus ihren Strukturkonstanten (260) 89. Integration auf einer Gruppe (261) 90. Orthogonalität. Beispiele (266) Literaturhinweise (271) Namen- und Sachverzeichnis (279)