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Discrete Tomography of Delone Sets with Long-Range Order
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Die vorliegende Dissertation behandelt grundlegende inverse Probleme der diskreten Tomographie im Fall von gewissen Delone Mengen varLambda subset mathbbm{R}^d, d geq 2, die, wie beispielsweise Gitter, eine weitreichende Ordnungsstruktur aufweisen. Als wichtigste Klasse wird die diskrete Tomographie von Systemen { em aperiodischer Ordnung}, genauer, von { em Streifenprojektionsmengen} (auch { em Quasigitter} oder { em mathematische Quasikristalle} genannt), studiert.Wir betrachten eine kleine Menge U von varLambda-Richtungen, d.h. von Richtungenu in mathbb{S}^{d-1}, die parallel zu von Null ve...
Die vorliegende Dissertation behandelt grundlegende inverse Probleme der diskreten Tomographie im Fall von gewissen Delone Mengen varLambda subset mathbbm{R}^d, d geq 2, die, wie beispielsweise Gitter, eine weitreichende Ordnungsstruktur aufweisen. Als wichtigste Klasse wird die diskrete Tomographie von Systemen { em aperiodischer Ordnung}, genauer, von { em Streifenprojektionsmengen} (auch { em Quasigitter} oder { em mathematische Quasikristalle} genannt), studiert.
Wir betrachten eine kleine Menge U von varLambda-Richtungen, d.h. von Richtungen
u in mathbb{S}^{d-1}, die parallel zu von Null verschiedenen Elementen der Differenzmenge varLambda- varLambda von varLambda
sind. Wir nehmen weiter an, dass die Anzahl der Elemente von endlichen Teilmengen von
varLambda auf s ämtlichen Linien parallel zu diesen Richtungen als Datum gegeben ist. Die naheliegenden algorithmischen Probleme sind dann die Frage nach der
{ em Konsistenz} der gegebenen Daten, die { em Rekonstruktion} einer Menge aus diesen Projektionsdaten und die Frage nach der { em Eindeutigkeit} dieser Rekonstruktion. Da das Rekonstruktionsproblem viele (wesentlich) verschiedene L ösungen haben kann, ist man auch an der (eindeutigen) { em Bestimmung} m öglichst
gro ss er Klassen mathcal{K} von endlichen Teilmengen von varLambda interessiert, in denen die Projektionsdaten charakterisierend sind. Dies verlangt eine kleine Menge U von
varLambda-Richtungen mit der Eigenschaft, dass zwei Elemente von mathcal{K} genau dann übereinstimmen, wenn ihre oben beschriebenen
Projektionsdaten bez üglich der Richtungen von U übereinstimmen. Ebenfalls wird in der vorliegenden Arbeit die interaktive Technik der { em sukzessiven Bestimmung} diskutiert. Im Gegensatz zum Konzept der Bestimmung ist es
hier erlaubt, die Richtungen induktiv zu w ählen, genauer darf die Information über die schon vorhandenen Projektionsdaten benutzt
werden, bevor die n ächste Richtung ausgew ählt wird.
Es werden hinreichende Bedingungen daf ür abgeleitet, dass die { em konvexen} Teilmengen einer { em algebraischen Delone Menge} varLambda subset R2 (die konvexen
Teilmengen von varLambda sind
endliche Teilmengen von varLambda, deren übliche konvexe
H ülle keinen neuen Elemente von varLambda enth ält) durch { em
vier} paarweise nicht-parallele varLambda-Richtungen bestimmt wird. Ebenfalls wird gezeigt, dass weniger als
vier varLambda-Richtungen niemals diese Eigenschaft haben. F ür
gewisse { em Kreisteilungs-Streifenprojektionsmengen} varLambda subset R2 wird auch die
Existenz geeigneter vier paarweise nicht-paralleler varLambda-Richtungen nachgewiesen. Es stellt sich heraus, dass diese Ergebnisse benutzt werden k önnen, um entsprechende Resultate fuer den Fall von
Ikosaeder-Streifenprojektionsmengen varLambda subset R3 zu erhalten. In Bezug auf das interaktive Konzept der
sukzessiven Bestimmung wird gezeigt, dass sowohl die Menge der endlichen Teilmengen einer
Kreisteilungs-Streifenprojektionsmenge varLambda als auch die einer Ikosaeder-Streifenprojektionsmenge varLambda durch geeignete { em zwei} varLambda-Richtungen sukzessive bestimmt wird.
Ebenfalls wird gezeigt, dass f ür eine gro ss e Klasse von Kreisteilungs-Streifenprojektionsmengen und
Ikosaeder-Streifenprojektionsmengen varLambda die oben beschriebenen algorithmischen Probleme f ür gegebene Projektionsdaten in
{ em zwei} nicht-parallele varLambda-Richtungen (einschr änkend
sind im Fall von Ikosaeder-Streifenprojektionsmengen dabei nur gewisse varLambda-Richtungen erlaubt) im reellen RAM-Modell in polynomieller Zeit l ösbar sind.
Wir betrachten eine kleine Menge U von varLambda-Richtungen, d.h. von Richtungen
u in mathbb{S}^{d-1}, die parallel zu von Null verschiedenen Elementen der Differenzmenge varLambda- varLambda von varLambda
sind. Wir nehmen weiter an, dass die Anzahl der Elemente von endlichen Teilmengen von
varLambda auf s ämtlichen Linien parallel zu diesen Richtungen als Datum gegeben ist. Die naheliegenden algorithmischen Probleme sind dann die Frage nach der
{ em Konsistenz} der gegebenen Daten, die { em Rekonstruktion} einer Menge aus diesen Projektionsdaten und die Frage nach der { em Eindeutigkeit} dieser Rekonstruktion. Da das Rekonstruktionsproblem viele (wesentlich) verschiedene L ösungen haben kann, ist man auch an der (eindeutigen) { em Bestimmung} m öglichst
gro ss er Klassen mathcal{K} von endlichen Teilmengen von varLambda interessiert, in denen die Projektionsdaten charakterisierend sind. Dies verlangt eine kleine Menge U von
varLambda-Richtungen mit der Eigenschaft, dass zwei Elemente von mathcal{K} genau dann übereinstimmen, wenn ihre oben beschriebenen
Projektionsdaten bez üglich der Richtungen von U übereinstimmen. Ebenfalls wird in der vorliegenden Arbeit die interaktive Technik der { em sukzessiven Bestimmung} diskutiert. Im Gegensatz zum Konzept der Bestimmung ist es
hier erlaubt, die Richtungen induktiv zu w ählen, genauer darf die Information über die schon vorhandenen Projektionsdaten benutzt
werden, bevor die n ächste Richtung ausgew ählt wird.
Es werden hinreichende Bedingungen daf ür abgeleitet, dass die { em konvexen} Teilmengen einer { em algebraischen Delone Menge} varLambda subset R2 (die konvexen
Teilmengen von varLambda sind
endliche Teilmengen von varLambda, deren übliche konvexe
H ülle keinen neuen Elemente von varLambda enth ält) durch { em
vier} paarweise nicht-parallele varLambda-Richtungen bestimmt wird. Ebenfalls wird gezeigt, dass weniger als
vier varLambda-Richtungen niemals diese Eigenschaft haben. F ür
gewisse { em Kreisteilungs-Streifenprojektionsmengen} varLambda subset R2 wird auch die
Existenz geeigneter vier paarweise nicht-paralleler varLambda-Richtungen nachgewiesen. Es stellt sich heraus, dass diese Ergebnisse benutzt werden k önnen, um entsprechende Resultate fuer den Fall von
Ikosaeder-Streifenprojektionsmengen varLambda subset R3 zu erhalten. In Bezug auf das interaktive Konzept der
sukzessiven Bestimmung wird gezeigt, dass sowohl die Menge der endlichen Teilmengen einer
Kreisteilungs-Streifenprojektionsmenge varLambda als auch die einer Ikosaeder-Streifenprojektionsmenge varLambda durch geeignete { em zwei} varLambda-Richtungen sukzessive bestimmt wird.
Ebenfalls wird gezeigt, dass f ür eine gro ss e Klasse von Kreisteilungs-Streifenprojektionsmengen und
Ikosaeder-Streifenprojektionsmengen varLambda die oben beschriebenen algorithmischen Probleme f ür gegebene Projektionsdaten in
{ em zwei} nicht-parallele varLambda-Richtungen (einschr änkend
sind im Fall von Ikosaeder-Streifenprojektionsmengen dabei nur gewisse varLambda-Richtungen erlaubt) im reellen RAM-Modell in polynomieller Zeit l ösbar sind.