Gute Kenntnisse in Maß- und Integrationstheorie sind unerläßlich für fast alle Bereiche der höheren Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik und Physik. In dem vorliegenden Lehrbuch wird diese Theorie von den allerersten Anfängen - Was soll eine Inhaltsmessung eigentlich leisten? - systematisch bis zur Theorie der Radonmaße entwickelt. Besonderer Wert ist auf ausführliche Motivationen der neu eingeführten Begriffe gelegt. Dem Zugang von L. Schwartz folgend werden Radonmaße auf beliebigen topologischen Räumen behandelt, wodurch der Rieszsche Darstellungssatz sehr allgemein und…mehr
Gute Kenntnisse in Maß- und Integrationstheorie sind unerläßlich für fast alle Bereiche der höheren Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik und Physik. In dem vorliegenden Lehrbuch wird diese Theorie von den allerersten Anfängen - Was soll eine Inhaltsmessung eigentlich leisten? - systematisch bis zur Theorie der Radonmaße entwickelt. Besonderer Wert ist auf ausführliche Motivationen der neu eingeführten Begriffe gelegt. Dem Zugang von L. Schwartz folgend werden Radonmaße auf beliebigen topologischen Räumen behandelt, wodurch der Rieszsche Darstellungssatz sehr allgemein und übersichtlich bewiesen werden kann. Den Bedürfnissen der Wahrscheinlichkeitstheorie wird durch die Behandlung von Maßen auf unendlichen Produkten (Produktmaße, Satz von Kolmogoroff) angemessen Rechnung getragen.
I. Grundlagen der Maß- und Integrationstheorie.- I.1 Maßtheorie: Das Programm ?-Algebra, Meßraum, erzeugte ?-Algebra, Maß, Maßraum, Stetigkeit von Maßen; Aufgaben.- I.2 Maßtheorie: Die Verwirklichung des Programms Ring, Figuren, Prämaß, Maß-Fortsetzungssatz, Dynkin-System, Lebesgue-Borelmaß, vollständige Maße, Lebesguemaß; Aufgaben.- I.3 Integrationstheorie: Das Programm Programm einer "gewichteten Inhaltsmessung".- I.4 Integrationstheorie: Die Verwirklichung des Programms MeBbare Funktionen, Permanenzeigenschaften, Elementar- Funktionen, Integral, Satz von der monotonen Konvergenz (B. Levi), integrierbare Funktionen; Aufgaben.- II. Die fundamentalen Sätze der Maßtheorie.- II.1 Einige vorbereitende Begriffsbildungen Nullmengen, fast überall, Maßkonvergenz; Aufgaben.- II.2 Konvergenzsätze Fatous Lemma, Satz von der dominierten Konvergenz (Lebesgue), Egoroffs Theorem; Aufgaben.- II.3 Maße mit Dichten, der Satz von Radon-Nikodym Dichten, Absolutstetigkeit, Theorem von Radon-Nikodym, paar- weise singulär, Lebesguescher Zerlegungssatz; Aufgaben.- II.4 Maße auf Produkten, der Satz von Fubini Produkt-?-Algebra, µ1 ? µ 2, Cavalieri-Prinzip, Satz von Fubini, MaBe auf unendlichen Produkten, vertragliche Familie von MaBen, kompakte Klasse, Satz von Kolmogoroff; Aufgaben.- II.5 Signierte Maße und Zerlegungssätze Signierte Maße, Hahn-Zerlegung, Jordan-Zerlegung, Variation; Aufgaben.- II.6 Bildmaße Bildmaß, Integrationstheorem für Bildmaße; Aufgaben.- II.7 Zusammenfassung.- III. Maße auf dem IRP, Riemann contra Lebesgue 136.- III.1 Überblick Ergebnisse zu Borel-Lebesguemaß und Lebesguemaß.- III.2 Lebesgue-Stieltjes-Maße Lebesgue-Stieltjes-Maß, MaBerzeugende Funktion; Aufgaben.- III.3 Riemann contra Lebesgue Vergleich Riemann- undLebesgueintegrale, Charakterisierungssatz für Riemann-Integrabilität; Aufgaben.- IV. Räume meßbarer Funktionen.- IV.1 Die. Räume Lp(S,A,µ,) für 1 ? p ? ? Zur p-ten Potenz integrable und im wesentlichen beschränkte Funktionen, die Räume Lp (S,A,µ), Höldersche und Minkowskische Ungleichung, die Lp(S,A,µ), Vollständigkeit der Lp(S,A,µ) (Riesz), Separabilität; Aufgaben.- IV. 2 Die Dualräume der Räume Lp(S, A,µ) Dualraum eines Banachraums, Nachweis von (Lp)'= Lq für 1 < p < ?; Aufgaben.- IV.3 Lokalisierbarkeit und der Dualraum von L (S,A,µ) Neue Definition des L?, lokale Nullmengen, lokale Meßbarkeit, lokalisierbare Meßraume, Lokalisierungssatz von Segal-Kelley, strikt lokalisierbare Maßraume; Aufgaben.- V. Maße auf topologischen Räumen.- V.1 Borelmengen, Regularitat und Radonmaße innere und äußere Regularität, Borelmengen, straffe Maäe, Radonmaße, polnische Räume; Aufgaben.- V.2 Der Fortsetzungssatz von Choquet.- V.3 Der Rieszsche Darstellungssatz und die Bestimmung von Dualräumen Träger einer Funktion, Rieszscher Darstellungssatz, Träger eines.- Radonmaßes, Rieszscher Darstellungssatz für alle stetigen Funktionen bzw. alle stetigen beschränkten Funktionen, Dualraum von CK (K kompakt); Aufgaben.- Anhang I: Souslinmengen (allgemeine Eigenschaften) Baum, Souslinmengen, F-Kapazität, kompakte Klasse, ?1 (L ? 8) c L.- Anhang II: Existenz von Souslinmengen Existieren echte Souslinmengen, ?1 (Borel) = Souslin.- Zeittabelle.- Lebensdaten einiger für die Maßtheorie relevanter Mathematiker.- Literatur.- Bezeichnungen.- Register.
I. Grundlagen der Maß- und Integrationstheorie.- I.1 Maßtheorie: Das Programm ?-Algebra, Meßraum, erzeugte ?-Algebra, Maß, Maßraum, Stetigkeit von Maßen; Aufgaben.- I.2 Maßtheorie: Die Verwirklichung des Programms Ring, Figuren, Prämaß, Maß-Fortsetzungssatz, Dynkin-System, Lebesgue-Borelmaß, vollständige Maße, Lebesguemaß; Aufgaben.- I.3 Integrationstheorie: Das Programm Programm einer "gewichteten Inhaltsmessung".- I.4 Integrationstheorie: Die Verwirklichung des Programms MeBbare Funktionen, Permanenzeigenschaften, Elementar- Funktionen, Integral, Satz von der monotonen Konvergenz (B. Levi), integrierbare Funktionen; Aufgaben.- II. Die fundamentalen Sätze der Maßtheorie.- II.1 Einige vorbereitende Begriffsbildungen Nullmengen, fast überall, Maßkonvergenz; Aufgaben.- II.2 Konvergenzsätze Fatous Lemma, Satz von der dominierten Konvergenz (Lebesgue), Egoroffs Theorem; Aufgaben.- II.3 Maße mit Dichten, der Satz von Radon-Nikodym Dichten, Absolutstetigkeit, Theorem von Radon-Nikodym, paar- weise singulär, Lebesguescher Zerlegungssatz; Aufgaben.- II.4 Maße auf Produkten, der Satz von Fubini Produkt-?-Algebra, µ1 ? µ 2, Cavalieri-Prinzip, Satz von Fubini, MaBe auf unendlichen Produkten, vertragliche Familie von MaBen, kompakte Klasse, Satz von Kolmogoroff; Aufgaben.- II.5 Signierte Maße und Zerlegungssätze Signierte Maße, Hahn-Zerlegung, Jordan-Zerlegung, Variation; Aufgaben.- II.6 Bildmaße Bildmaß, Integrationstheorem für Bildmaße; Aufgaben.- II.7 Zusammenfassung.- III. Maße auf dem IRP, Riemann contra Lebesgue 136.- III.1 Überblick Ergebnisse zu Borel-Lebesguemaß und Lebesguemaß.- III.2 Lebesgue-Stieltjes-Maße Lebesgue-Stieltjes-Maß, MaBerzeugende Funktion; Aufgaben.- III.3 Riemann contra Lebesgue Vergleich Riemann- undLebesgueintegrale, Charakterisierungssatz für Riemann-Integrabilität; Aufgaben.- IV. Räume meßbarer Funktionen.- IV.1 Die. Räume Lp(S,A,µ,) für 1 ? p ? ? Zur p-ten Potenz integrable und im wesentlichen beschränkte Funktionen, die Räume Lp (S,A,µ), Höldersche und Minkowskische Ungleichung, die Lp(S,A,µ), Vollständigkeit der Lp(S,A,µ) (Riesz), Separabilität; Aufgaben.- IV. 2 Die Dualräume der Räume Lp(S, A,µ) Dualraum eines Banachraums, Nachweis von (Lp)'= Lq für 1 < p < ?; Aufgaben.- IV.3 Lokalisierbarkeit und der Dualraum von L (S,A,µ) Neue Definition des L?, lokale Nullmengen, lokale Meßbarkeit, lokalisierbare Meßraume, Lokalisierungssatz von Segal-Kelley, strikt lokalisierbare Maßraume; Aufgaben.- V. Maße auf topologischen Räumen.- V.1 Borelmengen, Regularitat und Radonmaße innere und äußere Regularität, Borelmengen, straffe Maäe, Radonmaße, polnische Räume; Aufgaben.- V.2 Der Fortsetzungssatz von Choquet.- V.3 Der Rieszsche Darstellungssatz und die Bestimmung von Dualräumen Träger einer Funktion, Rieszscher Darstellungssatz, Träger eines.- Radonmaßes, Rieszscher Darstellungssatz für alle stetigen Funktionen bzw. alle stetigen beschränkten Funktionen, Dualraum von CK (K kompakt); Aufgaben.- Anhang I: Souslinmengen (allgemeine Eigenschaften) Baum, Souslinmengen, F-Kapazität, kompakte Klasse, ?1 (L ? 8) c L.- Anhang II: Existenz von Souslinmengen Existieren echte Souslinmengen, ?1 (Borel) = Souslin.- Zeittabelle.- Lebensdaten einiger für die Maßtheorie relevanter Mathematiker.- Literatur.- Bezeichnungen.- Register.
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