Die Verfahren der numerischen Mathematik werden in den unter schiedlichsten Bereichen von Naturwissenschaft und Technik ange wendet. Von den in der Mechanik gebräuohliohen Methoden (und in diesem Sinne ist der Titel dieses Buohes zu verstehen) sollen einige besonders häufig angewendete hier vorgestellt werden. Die zwangsläufig zu treffende Auswahl war nicht einfaoh. Die Ent soheidungen wurden sohließlich von der Absicht diktiert, erprobte und vielseitig anwendbare Verfahren anzugeben, die den Praktiker in die Lage versetzen, eine mögliohst große Palette von Problemen zu behandeln. Der…mehr
Die Verfahren der numerischen Mathematik werden in den unter schiedlichsten Bereichen von Naturwissenschaft und Technik ange wendet. Von den in der Mechanik gebräuohliohen Methoden (und in diesem Sinne ist der Titel dieses Buohes zu verstehen) sollen einige besonders häufig angewendete hier vorgestellt werden. Die zwangsläufig zu treffende Auswahl war nicht einfaoh. Die Ent soheidungen wurden sohließlich von der Absicht diktiert, erprobte und vielseitig anwendbare Verfahren anzugeben, die den Praktiker in die Lage versetzen, eine mögliohst große Palette von Problemen zu behandeln. Der Ingenieur ist es gewöhnt, auf den gesioherten Erkenntnissen der Physik und der Mathematik aufzubauen, nioht kritiklos, wohl aber 1m (bereohtigten) guten Vertrauen auf deren Gültigkeit. Er ist für Existenz- und Konvergenzbeweise dankbar, soheut jedooh gegebenenfalls auoh das "numerische Experiment" nioht. Sein In teresse konzentriert sich in erster Linie auf die Realisierbar keit der angebotenen Methoden. Dieser Aspekt stand bei der Be sohreibung der Bereohnungsverfahren im Mittelpunkt. Dem Leser, der an theoret ischen Fragen stärker interessiert ist, steht in der mathematischen Literatur eine Vielzahl ausgezeichneter Pu blikationen zur Verfügung. Das vorliegende Buch setzt die Kenntnisse der Grundausbildung in der Teohnisohen Meohanik voraus, die an einigen Stellen jedooh nioht ganz ausreiohen. In jedem Fall werden die benötigten For meln und Differentialbeziehungen sowie die Voraussetzungen der zugrunde liegenden Theorien in knapper Form zusammengestellt. Ausführlichere Informationen liefert die Literatur zur Techni sohen Meohanik und ihrer Spezialgebiete, die Literaturstellen /1/ bis /10/ werden (neben vielen anderen) in dieser Hinsioht empfohlen.
Prof. Dr.-Ing. habil. Jürgen Dankert lehrte Technische Mechanik und Informatik an der HAW Hamburg, wo er Dekan des Fachbereichs Maschinenbau und Produktion war.
Inhaltsangabe
'1. Numerische Methoden und Digitalrechentechnik.- 1.1. Vorbemerkungen.- 1.2. Programmierung.- 1.2.1. Assembler- und Compilersprachen.- 1.2.2. Einige allgemeine Bemerkungen zur Programmierung.- 1.2.3. FORTRAN-Programmierung numerischer Methoden.- 1.2.4. Einige Bemerkungen zu den Programmen im Text.- 2. Matrizennumerik.- 2.1. Zusammenstellung wichtiger Grundregeln der Matrizenrechnung.- 2.1.1. Lineare Transformation, Matrix, Vektor.- 2.1.2. Der n-dimensionale Vektorraum.- 2.1.3. Einfache Rechenregeln, spezielle Matrizen.- 2.1.4. Einige Eigenschaften linearer Transformationen.- 2.1.5. Eigenwerte, Eigenvektoren, quadratische Formen.- 2.1.6. Zusammenstellung einiger weiterer Rechenregeln.- 2.1.7. Programmierung von Matrizenoperationen.- 2.2. Lineare Gleichungssysteme.- 2.2.1. Übersicht über die Lösungsverfahren.- 2.2.2. Der GAUSSsche Algorithmus.- 2.2.3. Der verkettete Algorithmus.- 2.2.4. Das Verfahren von CHOLESKY.- 2.2.5. Bandalgorithmen, Externspeichernutzung.- 2.2.6. Rundungsfehler, Nachiteration.- 2.3. Matrixinversion.- 2.3.1. Übersicht.- 2.3.2. Inversion einer Rechtsdreiecksmatrix.- 2.3.3. Das Verfahren von GAUSS-JORDAN.- 2.3.4. Inversion einer symmetrischen, positiv definiten Matrix.- 2.3.5. Inversion von Bandmatrizen.- 2.4. Eigenwertprobleme.- 2.4.1. Problemstellungen, Lösungsverfahren.- 2.4.2. Überführung des allgemeinen in das spezielle Eigenwertproblem.- 2.4.3. Das Verfahren von JACOBI.- 2.4.4. Verfahren auf der Basis der v.MISESschen Vektoriteration.- 2.4.4.1. Der Grundgedanke der Vektoriteration.- 2.4.4.2. Der RAYLEIGHsche Quotient.- 2.4.4.3. Die inverse Vektoriteration.- 2.4.4.4. Simultaniteration bei symmetrischer Matrix, SCHMIDTsches Orthonormierungsverfahren.- 2.4.4.5. Das allgemeine Eigenwertproblem.- 2.5. Hypermatrizen.- 2.5.1. Multiplikation von Hypermatrizen.- 2.5.2. "Block"-CHOLESKY-Verfahren.- 2.5.3. Matrixinversion.- 3. Das Differenzenverfahren.- 3.1. Das Differenzenverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen.- 3.3.1. Einfache Differenzenformeln.- 3.1.2. Anwendungsbeispiel: Biegung des geraden Balkens.- 3.1.3. Der Fehler der Differenzenformeln.- 3.1.4. Verbesserte Differenzenformeln.- 3.1.5. Der elastisch gebettete Träger.- 3.1.6. Rand- und Zwischenbedingungen.- 3.1.7. Stabknickung.- 3.1.8. Freie Biegeschwingungen des geraden Balkens.- 3.2. Das Differenzenverfahren für partielle Differentialgleichungen.- 3.2.1. Einfache Differenzenformeln in kartesischen Koordinaten.- 3.2.2. POISSONsche Differentialgleichung, Torsionprismatischer Stäbe.- 3.2.3. Biegung dünner Platten.- 3.2.3.1. Differentialgleichung, Schnittgrößen.- 3.2.3.2. Randbedingungen.- 3.2.3.3. Ein Beispiel.- 3.2.4. Plattenbeulung.- 3.3. Anwendung des Differenzenverfahrens auf Variationsprobleme.- 3.3.1. Biegung des geraden Balkens.- 3.3.2. Plattenbiegung.- 3.4. Zusammenfassung.- 3.4.1. Feinheit der Diskretisierung, Genauigkeit.- 3.4.2. Anwendungsempfehlungen.- 4. Die Methode der finiten Elemente.- 4.1. Einführung.- 4.2. Die Deformationemethode der Stabstatik.- 4.2.1. Vorbetrachtungen.- 4.2.1.1. Begriffsdefinitionen.- 4.2.1.2. Der Berechnungsablauf.- 4.2.2. Elementsteifigkeitsmatrix des geraden Balken.- 4.2.3. Transformation in ein globales Koordinatensystem.- 4.2.4. Kompatibilität und Gleichgewicht, Aufbau der Systemsteifigkeitsmatrix.- 4.2.5. Randbedingungen, Lösung des Gleichungssystems.- 4.2.6. Verteilte Belastung, Elementlasten.- 4.2.7. Praktische Realisierung verschiedener Randbedingungen.- 4.2.8. Ein Beispiel.- 4.3. Grundlagen der Finite-Elemente-Methode.- 4.3.1. Finite-Elemente-Methode und RITZeches Verfahren.- 4.3.2. Grundgleichungen der Finite-Elemente-Methode.- 4.3.3. Bedingungen für die Ansatzfunktionen, Konvergenz.- 4.4. Ergänzungen zum eindimensionalen Problem.- 4.4.1. Stabknickung.- 4.4.2. Balkenschwingungen.- 4.5. Zweidimensionale Probleme.- 4.5.1. Dreieckselement SD6 zur Scheibenberechnung.- 4.5.2. Modifikationen des Elements SD6
'1. Numerische Methoden und Digitalrechentechnik.- 1.1. Vorbemerkungen.- 1.2. Programmierung.- 1.2.1. Assembler- und Compilersprachen.- 1.2.2. Einige allgemeine Bemerkungen zur Programmierung.- 1.2.3. FORTRAN-Programmierung numerischer Methoden.- 1.2.4. Einige Bemerkungen zu den Programmen im Text.- 2. Matrizennumerik.- 2.1. Zusammenstellung wichtiger Grundregeln der Matrizenrechnung.- 2.1.1. Lineare Transformation, Matrix, Vektor.- 2.1.2. Der n-dimensionale Vektorraum.- 2.1.3. Einfache Rechenregeln, spezielle Matrizen.- 2.1.4. Einige Eigenschaften linearer Transformationen.- 2.1.5. Eigenwerte, Eigenvektoren, quadratische Formen.- 2.1.6. Zusammenstellung einiger weiterer Rechenregeln.- 2.1.7. Programmierung von Matrizenoperationen.- 2.2. Lineare Gleichungssysteme.- 2.2.1. Übersicht über die Lösungsverfahren.- 2.2.2. Der GAUSSsche Algorithmus.- 2.2.3. Der verkettete Algorithmus.- 2.2.4. Das Verfahren von CHOLESKY.- 2.2.5. Bandalgorithmen, Externspeichernutzung.- 2.2.6. Rundungsfehler, Nachiteration.- 2.3. Matrixinversion.- 2.3.1. Übersicht.- 2.3.2. Inversion einer Rechtsdreiecksmatrix.- 2.3.3. Das Verfahren von GAUSS-JORDAN.- 2.3.4. Inversion einer symmetrischen, positiv definiten Matrix.- 2.3.5. Inversion von Bandmatrizen.- 2.4. Eigenwertprobleme.- 2.4.1. Problemstellungen, Lösungsverfahren.- 2.4.2. Überführung des allgemeinen in das spezielle Eigenwertproblem.- 2.4.3. Das Verfahren von JACOBI.- 2.4.4. Verfahren auf der Basis der v.MISESschen Vektoriteration.- 2.4.4.1. Der Grundgedanke der Vektoriteration.- 2.4.4.2. Der RAYLEIGHsche Quotient.- 2.4.4.3. Die inverse Vektoriteration.- 2.4.4.4. Simultaniteration bei symmetrischer Matrix, SCHMIDTsches Orthonormierungsverfahren.- 2.4.4.5. Das allgemeine Eigenwertproblem.- 2.5. Hypermatrizen.- 2.5.1. Multiplikation von Hypermatrizen.- 2.5.2. "Block"-CHOLESKY-Verfahren.- 2.5.3. Matrixinversion.- 3. Das Differenzenverfahren.- 3.1. Das Differenzenverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen.- 3.3.1. Einfache Differenzenformeln.- 3.1.2. Anwendungsbeispiel: Biegung des geraden Balkens.- 3.1.3. Der Fehler der Differenzenformeln.- 3.1.4. Verbesserte Differenzenformeln.- 3.1.5. Der elastisch gebettete Träger.- 3.1.6. Rand- und Zwischenbedingungen.- 3.1.7. Stabknickung.- 3.1.8. Freie Biegeschwingungen des geraden Balkens.- 3.2. Das Differenzenverfahren für partielle Differentialgleichungen.- 3.2.1. Einfache Differenzenformeln in kartesischen Koordinaten.- 3.2.2. POISSONsche Differentialgleichung, Torsionprismatischer Stäbe.- 3.2.3. Biegung dünner Platten.- 3.2.3.1. Differentialgleichung, Schnittgrößen.- 3.2.3.2. Randbedingungen.- 3.2.3.3. Ein Beispiel.- 3.2.4. Plattenbeulung.- 3.3. Anwendung des Differenzenverfahrens auf Variationsprobleme.- 3.3.1. Biegung des geraden Balkens.- 3.3.2. Plattenbiegung.- 3.4. Zusammenfassung.- 3.4.1. Feinheit der Diskretisierung, Genauigkeit.- 3.4.2. Anwendungsempfehlungen.- 4. Die Methode der finiten Elemente.- 4.1. Einführung.- 4.2. Die Deformationemethode der Stabstatik.- 4.2.1. Vorbetrachtungen.- 4.2.1.1. Begriffsdefinitionen.- 4.2.1.2. Der Berechnungsablauf.- 4.2.2. Elementsteifigkeitsmatrix des geraden Balken.- 4.2.3. Transformation in ein globales Koordinatensystem.- 4.2.4. Kompatibilität und Gleichgewicht, Aufbau der Systemsteifigkeitsmatrix.- 4.2.5. Randbedingungen, Lösung des Gleichungssystems.- 4.2.6. Verteilte Belastung, Elementlasten.- 4.2.7. Praktische Realisierung verschiedener Randbedingungen.- 4.2.8. Ein Beispiel.- 4.3. Grundlagen der Finite-Elemente-Methode.- 4.3.1. Finite-Elemente-Methode und RITZeches Verfahren.- 4.3.2. Grundgleichungen der Finite-Elemente-Methode.- 4.3.3. Bedingungen für die Ansatzfunktionen, Konvergenz.- 4.4. Ergänzungen zum eindimensionalen Problem.- 4.4.1. Stabknickung.- 4.4.2. Balkenschwingungen.- 4.5. Zweidimensionale Probleme.- 4.5.1. Dreieckselement SD6 zur Scheibenberechnung.- 4.5.2. Modifikationen des Elements SD6
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