Das vorliegende Ubungs- und Arbeitsbuch dient der Vorbereitung auf die Mathe matik-Grundausbildung an Hochschulen im weitesten Sinne. Dabei stehen natur-, ingenieur-und wirtschaftswissenschaftliche Studiengange im Mittelpunkt. Es wendet sieh sowohl an jene Leser, die sich fiiihzeitig entschlossen haben, ein mathematikintensives Studium zu beginnen, als auch an alle, die schon studieren und nun merken, was ihnen an Mathematikkenntnissen noch fehlt, und die das F ehlende moglichst schnell nachholen wollen. Das Buch beinhaltet alle wesentlichen Stoffgebiete, die auch in den MathematikprO fungen…mehr
Das vorliegende Ubungs- und Arbeitsbuch dient der Vorbereitung auf die Mathe matik-Grundausbildung an Hochschulen im weitesten Sinne. Dabei stehen natur-, ingenieur-und wirtschaftswissenschaftliche Studiengange im Mittelpunkt. Es wendet sieh sowohl an jene Leser, die sich fiiihzeitig entschlossen haben, ein mathematikintensives Studium zu beginnen, als auch an alle, die schon studieren und nun merken, was ihnen an Mathematikkenntnissen noch fehlt, und die das F ehlende moglichst schnell nachholen wollen. Das Buch beinhaltet alle wesentlichen Stoffgebiete, die auch in den MathematikprO fungen zum Abitur und zu anderen Formen der Hochschulreife von Bedeutung sind. Da es in Deutschland kein "Einheitsabitur" gibt, sind die Kenntnisse, Fahigkeiten und Fertigkeiten im Fach Mathematik sagar bei Studienanfangem formal gleicher Bil dungswege ext rem unterschiedlich und nicht selten zu gering. Die Mathematikausbil dung orientiert sich dann meist an einem "mittleren" Studenten. Die Folge sind auBerordentliche Schwierigkeiten bei einem betrachtlichen Teil der Studienanfanger, und das nicht nur im Fach Mathematik, sondem auch in anderen Grundlagenfachem. Oft ist das Scheitem eines Hochschulstudiums auf diese Anfangsschwierigkeiten zu rOckzufiihren, wahrend gute Mathematik-Vorkenntnisse fur den Erfolg des Studiums und sagar fur den beruflichen Erfolg entscheidend sein konnen. Die Autoren kennen diese Probleme von beiden Seiten: aus der Sicht der Mathematik Grundausbildung an Hochschulen und aus der Sieht der Vorbereitung auf das Hoch schulstudium. Dabei haben sie auch jahrelang mit verschiedenen von ihnen entwickel ten Lehrmaterialien Erfahrungen sammeln konnen.
1 Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen.- 1.1 Aufbau des Zahlensystems.- 1.2 Abgeleitete Rechenregeln.- 1.3 Übungsaufgaben.- 2 Potenzen und Wurzeln.- 2.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten.- 2.2 Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten.- 2.3 Potenzen mit reellen Exponenten.- 2.4 Zusammenfassung.- 2.5 Übungsaufgaben.- 3 Logarithmen.- 3.1 Begriff des Logarithmus.- 3.2 Logarithmengesetze.- 3.3 Zusammenfassung.- 3.4 Übungsaufgaben.- 4 Goniometrie.- 4.1 Elementargeometrie.- 4.2 Die Seitenverhältnisse am rechtwinkligen Dreieck.- 4.3 Die Winkelfunktionen am Einheitskreis.- 4.4 Sinus- und Kosinussatz.- 4.5 Trigonometrische Formeln.- 4.6 Übungsaufgaben.- 5 Komplexe Zahlen.- 5.1 Summe und Differenz.- 5.2 Produkt.- 5.3 Quotient.- 5.4 Übungsaufgaben.- 6 Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten.- 6.1 Übungsaufgaben.- 7 Einige Grundbegriffe der mathematischen Logik.- 7.1 Aussage, Wahrheitswert, Aussageform.- 7.2 Verknüpfung von Aussagen (Aussagenfunktionen).- 7.3 Beziehungen zwischen den Aussagenfunktionen.- 7.4 Existenz- und Universalaussagen.- 7.5 Notwendige und hinreichende Bedingung.- 7.6 Übungsaufgaben.- 8 Beweismethoden.- 8.1 Der direkte Beweis.- 8.2 Der indirekte Beweis.- 8.3 Beweis durch vollständige Induktion.- 8.4 Übungsaufgaben.- 9 Grundbegriffe der Mengenlehre.- 9.1 Der Begriff der Menge.- 9.2 Relationen zwischen Mengen.- 9.3 Operationen mit Mengen.- 9.4 Abbildungen.- 9.5 Übungsaufgaben.- 10 Kombinatorik - Binomischer Satz.- 10.1 Die Fakultät.- 10.2 Binomialkoeffizienten.- 10.3 Der binomische Satz.- 10.4 Kombinatorik.- 10.5 Übungsaufgaben.- 11 Lineare Algebra.- 11.1 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten.- 11.2 Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten.- 11.3 Beliebig viele Gleichungen mit beliebig vielen Unbekannten.- 11.4Homogene Gleichungssysteme.- 11.5 Übungsaufgaben.- 12 Algebraische Gleichungen.- 12.1 Nichtlineare Gleichungen.- 12.2 Quadratische Gleichungen.- 12.3 Gleichungen dritten Grades.- 12.4 Wurzelgleichungen.- 12.5 Übungsaufgaben.- 13 Transzendente Gleichungen.- 13.1 Logarithmische Gleichungen.- 13.2 Exponentialgleichungen.- 13.3 Goniometrische Gleichungen.- 13.4 Übungsaufgaben.- 14 Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen.- 14.1 Ungleichungen.- 14.2 Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen.- 14.3 Übungsaufgaben.- 15 Elementare Funktionen.- 15.1 Zum Funktionsbegriff.- 15.2 Darstellung von Funktionen.- 15.3 Zu einigen elementaren Funktionen.- 15.4 Eigenschaften von Funktionen.- 15.5 Mittelbare Funktionen.- 15.6 Umkehrfunktionen.- 15.7 Übungsaufgaben.- 16 Analytische Geometrie der Ebene.- 16.1 Allgemeines.- 16.2 Länge und Anstieg einer Strecke.- 16.3 Verschiedene Formen der Gleichung einer Geraden.- 16.4 Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden.- 16.5 Parallelverschiebung des Koordinatensystems.- 16.6 Der Flächeninhalt eines Dreiecks.- 16.7 Der Kreis.- 16.8 Die Ellipse.- 16.9 Die Hyperbel.- 16.10 Die Parabel.- 16.11 Übungsaufgaben.- 17 Vektorrechnung.- 17.1 Grundbegriffe.- 17.2 Vektoren im kartesischen Koordinatensystem.- 17.3 Gerade und Ebene im Raum.- 17.4 Produkte von Vektoren.- 17.5 Übungsaufgaben.- 18 Zahlenfolgen.- 18.1 Einführung.- 18.2 Begriff der Zahlenfolge.- 18.3 Grenzwerte von Zahlenfolgen.- 18.4 Berechnung von Grenzwerten.- 18.5 Übungsaufgaben.- 19 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen.- 19.1 Grundlegende Begriffe.- 19.2 Sätze über Grenzwerte und Stetigkeit.- 19.3 Eigenschaften stetiger Funktionen.- 19.4 Die Stetigkeit der elementaren Funktionen.- 19.5 Übungsaufgaben.- 20 Differentialrechnung.- 20.1 Differentialquotient und Ableitung.- 20.2Differentiationsregeln.- 20.3 Die Ableitungen der elementaren Funktionen.- 20.4 Extremwerte und Wendepunkte.- 20.5 Optimierungsprobleme.- 20.6 Übungsaufgaben.- 21 Integralrechnung.- 21.1 Das unbestimmte Integral.- 21.2 Das bestimmte Integral.- 21.3 Zwei Integrationsverfahren.- 21.4 Anwendungen der Integralrechnung.- 21.5 Übungsaufgaben.- Lösungen der Übungsaufgaben.
1 Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen.- 1.1 Aufbau des Zahlensystems.- 1.2 Abgeleitete Rechenregeln.- 1.3 Übungsaufgaben.- 2 Potenzen und Wurzeln.- 2.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten.- 2.2 Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten.- 2.3 Potenzen mit reellen Exponenten.- 2.4 Zusammenfassung.- 2.5 Übungsaufgaben.- 3 Logarithmen.- 3.1 Begriff des Logarithmus.- 3.2 Logarithmengesetze.- 3.3 Zusammenfassung.- 3.4 Übungsaufgaben.- 4 Goniometrie.- 4.1 Elementargeometrie.- 4.2 Die Seitenverhältnisse am rechtwinkligen Dreieck.- 4.3 Die Winkelfunktionen am Einheitskreis.- 4.4 Sinus- und Kosinussatz.- 4.5 Trigonometrische Formeln.- 4.6 Übungsaufgaben.- 5 Komplexe Zahlen.- 5.1 Summe und Differenz.- 5.2 Produkt.- 5.3 Quotient.- 5.4 Übungsaufgaben.- 6 Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten.- 6.1 Übungsaufgaben.- 7 Einige Grundbegriffe der mathematischen Logik.- 7.1 Aussage, Wahrheitswert, Aussageform.- 7.2 Verknüpfung von Aussagen (Aussagenfunktionen).- 7.3 Beziehungen zwischen den Aussagenfunktionen.- 7.4 Existenz- und Universalaussagen.- 7.5 Notwendige und hinreichende Bedingung.- 7.6 Übungsaufgaben.- 8 Beweismethoden.- 8.1 Der direkte Beweis.- 8.2 Der indirekte Beweis.- 8.3 Beweis durch vollständige Induktion.- 8.4 Übungsaufgaben.- 9 Grundbegriffe der Mengenlehre.- 9.1 Der Begriff der Menge.- 9.2 Relationen zwischen Mengen.- 9.3 Operationen mit Mengen.- 9.4 Abbildungen.- 9.5 Übungsaufgaben.- 10 Kombinatorik - Binomischer Satz.- 10.1 Die Fakultät.- 10.2 Binomialkoeffizienten.- 10.3 Der binomische Satz.- 10.4 Kombinatorik.- 10.5 Übungsaufgaben.- 11 Lineare Algebra.- 11.1 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten.- 11.2 Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten.- 11.3 Beliebig viele Gleichungen mit beliebig vielen Unbekannten.- 11.4Homogene Gleichungssysteme.- 11.5 Übungsaufgaben.- 12 Algebraische Gleichungen.- 12.1 Nichtlineare Gleichungen.- 12.2 Quadratische Gleichungen.- 12.3 Gleichungen dritten Grades.- 12.4 Wurzelgleichungen.- 12.5 Übungsaufgaben.- 13 Transzendente Gleichungen.- 13.1 Logarithmische Gleichungen.- 13.2 Exponentialgleichungen.- 13.3 Goniometrische Gleichungen.- 13.4 Übungsaufgaben.- 14 Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen.- 14.1 Ungleichungen.- 14.2 Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen.- 14.3 Übungsaufgaben.- 15 Elementare Funktionen.- 15.1 Zum Funktionsbegriff.- 15.2 Darstellung von Funktionen.- 15.3 Zu einigen elementaren Funktionen.- 15.4 Eigenschaften von Funktionen.- 15.5 Mittelbare Funktionen.- 15.6 Umkehrfunktionen.- 15.7 Übungsaufgaben.- 16 Analytische Geometrie der Ebene.- 16.1 Allgemeines.- 16.2 Länge und Anstieg einer Strecke.- 16.3 Verschiedene Formen der Gleichung einer Geraden.- 16.4 Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden.- 16.5 Parallelverschiebung des Koordinatensystems.- 16.6 Der Flächeninhalt eines Dreiecks.- 16.7 Der Kreis.- 16.8 Die Ellipse.- 16.9 Die Hyperbel.- 16.10 Die Parabel.- 16.11 Übungsaufgaben.- 17 Vektorrechnung.- 17.1 Grundbegriffe.- 17.2 Vektoren im kartesischen Koordinatensystem.- 17.3 Gerade und Ebene im Raum.- 17.4 Produkte von Vektoren.- 17.5 Übungsaufgaben.- 18 Zahlenfolgen.- 18.1 Einführung.- 18.2 Begriff der Zahlenfolge.- 18.3 Grenzwerte von Zahlenfolgen.- 18.4 Berechnung von Grenzwerten.- 18.5 Übungsaufgaben.- 19 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen.- 19.1 Grundlegende Begriffe.- 19.2 Sätze über Grenzwerte und Stetigkeit.- 19.3 Eigenschaften stetiger Funktionen.- 19.4 Die Stetigkeit der elementaren Funktionen.- 19.5 Übungsaufgaben.- 20 Differentialrechnung.- 20.1 Differentialquotient und Ableitung.- 20.2Differentiationsregeln.- 20.3 Die Ableitungen der elementaren Funktionen.- 20.4 Extremwerte und Wendepunkte.- 20.5 Optimierungsprobleme.- 20.6 Übungsaufgaben.- 21 Integralrechnung.- 21.1 Das unbestimmte Integral.- 21.2 Das bestimmte Integral.- 21.3 Zwei Integrationsverfahren.- 21.4 Anwendungen der Integralrechnung.- 21.5 Übungsaufgaben.- Lösungen der Übungsaufgaben.
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