Dieses Buch gibt eine Einführung in die Elementare Differentialgeometrie und zeigt an diesem Gegenstand, wie man zur Lösung eigener mathematischer Probleme ein leistungsfähiges Maple-Programmpaket entwickeln kann. Der Leser wird in sechs Kapiteln mit den Begriffen, Methoden und Resultaten der Kurven- und Flächentheorie sowie der lokalen Riemannschen Geometrie vertraut gemacht. Im Wechsel damit stehen Maple-Kapitel, in denen jeweils die zuvor vermittelte Theorie schrittweise in das Programmpaket eingewoben wird. Zusätzlich dienen zahlreiche mit Maple erstellte Graphiken der Vertiefung des…mehr
Dieses Buch gibt eine Einführung in die Elementare Differentialgeometrie und zeigt an diesem Gegenstand, wie man zur Lösung eigener mathematischer Probleme ein leistungsfähiges Maple-Programmpaket entwickeln kann. Der Leser wird in sechs Kapiteln mit den Begriffen, Methoden und Resultaten der Kurven- und Flächentheorie sowie der lokalen Riemannschen Geometrie vertraut gemacht. Im Wechsel damit stehen Maple-Kapitel, in denen jeweils die zuvor vermittelte Theorie schrittweise in das Programmpaket eingewoben wird. Zusätzlich dienen zahlreiche mit Maple erstellte Graphiken der Vertiefung des Verständnisses der differentialgeometrischen Inhalte. Die beigefügte CD-ROM enthält neben dem kompletten, kommentierten Programmpaket eine "Bibliothek" wichtiger Kurven und Flächen in Versionen für Windows 95/NT, Macintosh und Linux.
Prof. Dr. Helmut Reckziegel lehrt und forscht am Mathematishen Institut der Universität zu Köln. Dipl.-Math.Knut Pawel ist Mitarbeiter der Arbeitsgruppe von Herrn Reckziegel. Markus Kreiner ist studentische Hilfskraft am Mathematischen Institut.
Inhaltsangabe
1 Der Raum der elementaren Differentialgeometrie.- 1.1 Der n-dimensionale affine Raum.- 1.2 Affine Abbildungen.- 1.3 Affine Unterräume.- 1.4 Orientierte euklidische Vektorräume.- 1.5 Der n-dimensionale euklidische Raum.- 1.6 Kartesische Koordinatensysteme.- 1.7 Differentialrechnung in euklidischen Räumen.- 2 Maple-Arbeitsmethoden im ?n.- 2.1 Der ?n: Punkte, Vektoren und Matrizen.- 2.2 Der ?n als orientierter euklidischer Vektorraum.- 2.3 Arbeiten mit Abbildungen.- 2.4 Differentialrechnung im ?n.- 3 Ebene Kurventheorie.- 3.1 Länge von Wegen.- 3.2 Parametrisierung nach der Bogenlänge.- 3.3 Differentiation und Integration nach der Bogenlänge.- 3.4 Geometrische Grundgrößen der Kurventheorie.- 3.5 Orientierte Winkel in der Ebene.- 3.6 Die ebene Prenetsche Kurventheorie.- 3.7 Der Hauptsatz der ebenen Kurventheorie.- 3.8 Krümmungskreise.- 3.9 Enveloppen, Parallelkurven, Evoluten und Involuten.- 3.10 Der Jordansche Kurvensatz.- 3.11 Die isoperimetrische Ungleichung.- 3.12 Die Totalkrümmung einer Kurve.- 3.13 Eilinien.- 4 Ebene Kurventheorie mit Maple.- 4.1 Wie wir Kurven mit Maple behandeln.- 4.2 Erstellung von Kurvenplots.- 4.3 Bahngeschwindigkeit und Kurvenlänge.- 4.4 Geometrische Grundgrößen der Kurventheorie.- 4.5 Orientierte Winkel in der Ebene.- 4.6 Ebene Prenetsche Kurventheorie.- 4.7 Der Hauptsatz der ebenen Kurventheorie.- 4.8 Krümmungskreise.- 4.9 Enveloppen, Parallelkurven, Evoluten und Involuten.- 4.10 Eilinien.- 5 Räumliche Kurventheorie.- 5.1 Generalvoraussetzungen und Bezeichnungen.- 5.2 Die Prenetschen Gleichungen.- 5.3 Auswertung der Taylorentwicklung 3. Ordnung einer Kurve.- 5.4 Infinitesimale Charakterisierung ebener Kurven.- 5.5 Sphärische Kurven.- 5.6 Kinematik eines starren Körpers.- 5.7 Hauptsatz der räumlichen Kurventheorie.-5.8 Satz von Fenchel und von Fary/Milnor.- 6 Räumliche Kurventheorie mit Maple.- 6.1 Dreidimensionale Prenetsche Kurventheorie.- 6.2 Die ausgezeichneten Ebenen einer Kurve.- 7 Einführung in die Flächentheorie.- 7.1 Der Begriff der Fläche.- 7.2 Graphenflächen.- 7.3 Rotationsflächen.- 7.4 Regelflächen.- 7.5 Tangential- und Normalenräume einer Fläche.- 7.6 Zwei Theoreme für Flächenparameterisierungen.- 7.7 Der Maßtensor einer Parametrisierung.- 7.8 Orthogonale Parametrisierungen.- 7.9 Isotherme Parametrisierungen.- 7.10 Höherdimensionale Flächen, Integration und Volumina.- 8 Modellierung von Flächen und Riemannschen Gebieten mit Maple.- 8.1 Wie wir Flächen behandeln.- 8.2 Erstellung von Flächenplots.- 8.3 Graphen-, Rotations- und Regelflächen.- 8.4 Riemannsche Gebiete.- 8.5 Der Maßtensor einer Parametrisierung.- 8.6 Mit dem Schiff von der alten in die neue Welt.- 9 Äußere Geometrie von Flächen.- 9.1 Das Einheitsnormalenfeld einer Flächenparametrisierung.- 9.2 Formoperator und zweite Fundamentalform einer Parametrisierung.- 9.3 Normalkrümmung und geodätische Krümmung einer Flächenkurve.- 9.4 Die skalaren Krümmungsgrößen.- 9.5 Zur Berechnung der skalaren Krümmungsgrößen.- 9.6 Die Gaußsche Krümmung als Maß der Flächenverzerrung der Gaußabbildung.- 9.7 Spezielle lokale Parametrisierungen.- 9.8 Tubenabbildung und Fokalpunkte.- 9.9 Fokalflächen von Kurven und Röhren um Kurven.- 9.10 Minimalflächen.- 10 Äußere Geometrie von Flächen mit Maple.- 10.1 Das Einheitsnormalenfeld einer Flächenparametrisierung.- 10.2 Formoperator und zweite Fundamentalform einer Parametrisierung.- 10.3 Normalkrümmung und geodätische Krümmung einer Flächenkurve.- 10.4 Die skalaren Krümmungsgrößen.- 10.5 Tubenabbildung und Fokalpunkte einerFlächenparametrisierung.- 10.6 Fokalflächen von Kurven und Röhren um Kurven.- 10.7 Minimalflächen.- 11 Innere Geometrie von Flächen.- 11.1 Christoffelsymbole Riemannscher Gebiete.- 11.2 Die Levi-Civita-Ableitung eines Riemannschen Gebietes.- 11.3 Die Gaußsche Ableitungsgleichung.- 11.4 Geodätische Linien.- 11.5 Das Theorema egregium von Gauß.- 11.6 Der Fundamentalsatz der Flächentheorie.- 12 Innere Geometrie von Flächen mit Maple.- 12.1 Christoffelsymbole Riemannscher Gebiete.- 12.2 Die Levi-Civita-Ableitung eines Riemannschen Gebietes.- 12.3 Geodätische Linien.- 12.4 Gaußsche Krümmung Riemannscher Gebiete.- A Eine kurze Einführung in Maple.- A.1 Die Online-Hilfe von Maple.- A.2 Wichtige Maple-Befehle.- A.3 Datentypen in Maple.- A.4 Programmieren mit Maple.- A.5 Erstellen eigener Programmpakete.- B Benutzung der Programm-CD.- C Übersicht über die Prozeduren des Programmpaketes.- C.1 Zu den Arbeitsmethoden im ?n.- C.2 Zur Kurventheorie.- C.3 Zur Flächentheorie.
1 Der Raum der elementaren Differentialgeometrie.- 1.1 Der n-dimensionale affine Raum.- 1.2 Affine Abbildungen.- 1.3 Affine Unterräume.- 1.4 Orientierte euklidische Vektorräume.- 1.5 Der n-dimensionale euklidische Raum.- 1.6 Kartesische Koordinatensysteme.- 1.7 Differentialrechnung in euklidischen Räumen.- 2 Maple-Arbeitsmethoden im ?n.- 2.1 Der ?n: Punkte, Vektoren und Matrizen.- 2.2 Der ?n als orientierter euklidischer Vektorraum.- 2.3 Arbeiten mit Abbildungen.- 2.4 Differentialrechnung im ?n.- 3 Ebene Kurventheorie.- 3.1 Länge von Wegen.- 3.2 Parametrisierung nach der Bogenlänge.- 3.3 Differentiation und Integration nach der Bogenlänge.- 3.4 Geometrische Grundgrößen der Kurventheorie.- 3.5 Orientierte Winkel in der Ebene.- 3.6 Die ebene Prenetsche Kurventheorie.- 3.7 Der Hauptsatz der ebenen Kurventheorie.- 3.8 Krümmungskreise.- 3.9 Enveloppen, Parallelkurven, Evoluten und Involuten.- 3.10 Der Jordansche Kurvensatz.- 3.11 Die isoperimetrische Ungleichung.- 3.12 Die Totalkrümmung einer Kurve.- 3.13 Eilinien.- 4 Ebene Kurventheorie mit Maple.- 4.1 Wie wir Kurven mit Maple behandeln.- 4.2 Erstellung von Kurvenplots.- 4.3 Bahngeschwindigkeit und Kurvenlänge.- 4.4 Geometrische Grundgrößen der Kurventheorie.- 4.5 Orientierte Winkel in der Ebene.- 4.6 Ebene Prenetsche Kurventheorie.- 4.7 Der Hauptsatz der ebenen Kurventheorie.- 4.8 Krümmungskreise.- 4.9 Enveloppen, Parallelkurven, Evoluten und Involuten.- 4.10 Eilinien.- 5 Räumliche Kurventheorie.- 5.1 Generalvoraussetzungen und Bezeichnungen.- 5.2 Die Prenetschen Gleichungen.- 5.3 Auswertung der Taylorentwicklung 3. Ordnung einer Kurve.- 5.4 Infinitesimale Charakterisierung ebener Kurven.- 5.5 Sphärische Kurven.- 5.6 Kinematik eines starren Körpers.- 5.7 Hauptsatz der räumlichen Kurventheorie.-5.8 Satz von Fenchel und von Fary/Milnor.- 6 Räumliche Kurventheorie mit Maple.- 6.1 Dreidimensionale Prenetsche Kurventheorie.- 6.2 Die ausgezeichneten Ebenen einer Kurve.- 7 Einführung in die Flächentheorie.- 7.1 Der Begriff der Fläche.- 7.2 Graphenflächen.- 7.3 Rotationsflächen.- 7.4 Regelflächen.- 7.5 Tangential- und Normalenräume einer Fläche.- 7.6 Zwei Theoreme für Flächenparameterisierungen.- 7.7 Der Maßtensor einer Parametrisierung.- 7.8 Orthogonale Parametrisierungen.- 7.9 Isotherme Parametrisierungen.- 7.10 Höherdimensionale Flächen, Integration und Volumina.- 8 Modellierung von Flächen und Riemannschen Gebieten mit Maple.- 8.1 Wie wir Flächen behandeln.- 8.2 Erstellung von Flächenplots.- 8.3 Graphen-, Rotations- und Regelflächen.- 8.4 Riemannsche Gebiete.- 8.5 Der Maßtensor einer Parametrisierung.- 8.6 Mit dem Schiff von der alten in die neue Welt.- 9 Äußere Geometrie von Flächen.- 9.1 Das Einheitsnormalenfeld einer Flächenparametrisierung.- 9.2 Formoperator und zweite Fundamentalform einer Parametrisierung.- 9.3 Normalkrümmung und geodätische Krümmung einer Flächenkurve.- 9.4 Die skalaren Krümmungsgrößen.- 9.5 Zur Berechnung der skalaren Krümmungsgrößen.- 9.6 Die Gaußsche Krümmung als Maß der Flächenverzerrung der Gaußabbildung.- 9.7 Spezielle lokale Parametrisierungen.- 9.8 Tubenabbildung und Fokalpunkte.- 9.9 Fokalflächen von Kurven und Röhren um Kurven.- 9.10 Minimalflächen.- 10 Äußere Geometrie von Flächen mit Maple.- 10.1 Das Einheitsnormalenfeld einer Flächenparametrisierung.- 10.2 Formoperator und zweite Fundamentalform einer Parametrisierung.- 10.3 Normalkrümmung und geodätische Krümmung einer Flächenkurve.- 10.4 Die skalaren Krümmungsgrößen.- 10.5 Tubenabbildung und Fokalpunkte einerFlächenparametrisierung.- 10.6 Fokalflächen von Kurven und Röhren um Kurven.- 10.7 Minimalflächen.- 11 Innere Geometrie von Flächen.- 11.1 Christoffelsymbole Riemannscher Gebiete.- 11.2 Die Levi-Civita-Ableitung eines Riemannschen Gebietes.- 11.3 Die Gaußsche Ableitungsgleichung.- 11.4 Geodätische Linien.- 11.5 Das Theorema egregium von Gauß.- 11.6 Der Fundamentalsatz der Flächentheorie.- 12 Innere Geometrie von Flächen mit Maple.- 12.1 Christoffelsymbole Riemannscher Gebiete.- 12.2 Die Levi-Civita-Ableitung eines Riemannschen Gebietes.- 12.3 Geodätische Linien.- 12.4 Gaußsche Krümmung Riemannscher Gebiete.- A Eine kurze Einführung in Maple.- A.1 Die Online-Hilfe von Maple.- A.2 Wichtige Maple-Befehle.- A.3 Datentypen in Maple.- A.4 Programmieren mit Maple.- A.5 Erstellen eigener Programmpakete.- B Benutzung der Programm-CD.- C Übersicht über die Prozeduren des Programmpaketes.- C.1 Zu den Arbeitsmethoden im ?n.- C.2 Zur Kurventheorie.- C.3 Zur Flächentheorie.
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