Es wird geschiitzt, daf. man tiber kommutative Algebra und algebraische Geometrie beim derzeitigen Stand des Wissens eine 200 Semester dauernde Vorlesung halten konnte, in der man sich niemals wiederholen miiEte. Jede Einflihrung in eines dieser Gebiete muB daher eine strenge Stoffauswahl treffen. Ich will zunachst angeben, welche Gesichtspunkte im vorliegenden Buch nit die Wahl des behandelten Materials maBgebend waren. Diese Einflihrung ist aus Vorlesungen fur Studenten hervorgegangen, die schon einen Grundkurs in Algebra absolviert hatten, bei denen daher Kenntnisse in linearer Algebra,…mehr
Es wird geschiitzt, daf. man tiber kommutative Algebra und algebraische Geometrie beim derzeitigen Stand des Wissens eine 200 Semester dauernde Vorlesung halten konnte, in der man sich niemals wiederholen miiEte. Jede Einflihrung in eines dieser Gebiete muB daher eine strenge Stoffauswahl treffen. Ich will zunachst angeben, welche Gesichtspunkte im vorliegenden Buch nit die Wahl des behandelten Materials maBgebend waren. Diese Einflihrung ist aus Vorlesungen fur Studenten hervorgegangen, die schon einen Grundkurs in Algebra absolviert hatten, bei denen daher Kenntnisse in linearer Algebra, Ring-, Korper- und Galoistheorie vorausge setzt werden konnten. Mit sehr viel mehr soUte auch nicht begonnen werden. Ich habe mir in der Vorlesung und imjetzigen Text vorgenommen, mit moglichst geringen Hilfsmitteln zu einigen neueren Resultaten der kommutativen Algebra und alge braischen Geometrie hinzuftihren, die sich mit der Darstellung algebraischer Varietiiten als Durchschnitt von moglichst wenig Hyperf/iichen befassen und - damit eng gekoppel- mit der moglichst sparsamen Erzeugung von Idealen in noetherschen Ringen.
Zur Terminologie.- I. Algebraische Varietäten.- 1. Affine algebraische Varietäten.- 2. Der Hilbertsche Basissatz. Zerlegung einer Varietät in irreduzible Komponenten.- 3. Der Hilbertsche Nullstellensatz.- 4. Das Spektrum eines Rings.- 5. Projektive Varietäten und homogenes Spektrum.- Literaturhinweise.- II. Dimension.- 1. Krulldimension von topologischen Räumen und Ringen.- 2. Primidealketten und ganze Ringerweiterungen.- 3. Dimension affiner Algebren und affiner algebraischer Varietäten.- 4. Dimension projektiver Varietäten.- Literaturhinweise.- III. Reguläre und rationale Funktionen auf algebraischen Varietäten. Lokalisation.- 1. Einige Eigenschaften der Zariski-Topologie.- 2. Die Garbe der regulären Funktionen auf einer algebraischen Varietät.- 3. Quotientenringe und Quotientenmoduln. Beispiele.- 4. Eigenschaften von Quotientenringen und Quotientenmoduln.- 5. Fasersumme und Faserprodukt von Moduln. Verkleben von Moduln.- Literaturhinweise.- IV. Das Lokal-Global-Prinzip in der kommutativen Algebra.- 1. Der Übergang vom Lokalen zum Globalen.- 2. Erzeugung von Moduln und Idealen.- 3. Projektive Moduln.- Literaturhinweise.- V. Über die Anzahl der Gleichungen, die zur Beschreibung einer algebraischen Varietät nötig sind.- 1. Jede Varietät im n-dimensionalen Raum ist Durchschnitt von n Hyperflächen.- 2. Ringe und Moduln endlicher Länge.- 3. Der Krullsche Hauptidealsatz. Dimension des Durchschnitts zweier Varietäten.- 4. Anwendungen des Hauptidealsatzes in noetherschen Ringen.- 5. Der graduierte Ring und der Konormalenmodul eines Ideals.- Literaturhinweise.- VI. Reguläre und singuläre Punkte algebraischer Varietäten.- 1. Reguläre Punkte algebraischer Varietäten. Reguläre lokaleRinge.- 2. Die Nullteiler eines Rings oder Moduls. Primärzerlegung.- 3. Reguläre Folge. Cohen-Macaulay-Moduln und -Ringe.- 4. Ein Zusammenhangssatz für mengentheoretische vollständige Durchschnitte im projektiven Raum.- Literaturhinweise.- VII. Projektive Auflösungen.- 1. Projektive Dimension von Moduln.- 2. Homologische Charakterisierung regulärer Ringe und lokal vollständiger Durchschnitte.- 3. Moduln der projektiven Dimension ? 1.- 4. Algebraische Kurven in A3, die lokal vollständige Durchschnitte sind, lassen sich als Durchschnitt zweier algebraischer Flächen darstellen.- Literaturhinweise.- Literatur.- A. Lehrbücher.- B. Originalarbeiten.- Liste der verwendeten Symbole.- Sachwortverzeichnis.
Zur Terminologie.- I. Algebraische Varietäten.- 1. Affine algebraische Varietäten.- 2. Der Hilbertsche Basissatz. Zerlegung einer Varietät in irreduzible Komponenten.- 3. Der Hilbertsche Nullstellensatz.- 4. Das Spektrum eines Rings.- 5. Projektive Varietäten und homogenes Spektrum.- Literaturhinweise.- II. Dimension.- 1. Krulldimension von topologischen Räumen und Ringen.- 2. Primidealketten und ganze Ringerweiterungen.- 3. Dimension affiner Algebren und affiner algebraischer Varietäten.- 4. Dimension projektiver Varietäten.- Literaturhinweise.- III. Reguläre und rationale Funktionen auf algebraischen Varietäten. Lokalisation.- 1. Einige Eigenschaften der Zariski-Topologie.- 2. Die Garbe der regulären Funktionen auf einer algebraischen Varietät.- 3. Quotientenringe und Quotientenmoduln. Beispiele.- 4. Eigenschaften von Quotientenringen und Quotientenmoduln.- 5. Fasersumme und Faserprodukt von Moduln. Verkleben von Moduln.- Literaturhinweise.- IV. Das Lokal-Global-Prinzip in der kommutativen Algebra.- 1. Der Übergang vom Lokalen zum Globalen.- 2. Erzeugung von Moduln und Idealen.- 3. Projektive Moduln.- Literaturhinweise.- V. Über die Anzahl der Gleichungen, die zur Beschreibung einer algebraischen Varietät nötig sind.- 1. Jede Varietät im n-dimensionalen Raum ist Durchschnitt von n Hyperflächen.- 2. Ringe und Moduln endlicher Länge.- 3. Der Krullsche Hauptidealsatz. Dimension des Durchschnitts zweier Varietäten.- 4. Anwendungen des Hauptidealsatzes in noetherschen Ringen.- 5. Der graduierte Ring und der Konormalenmodul eines Ideals.- Literaturhinweise.- VI. Reguläre und singuläre Punkte algebraischer Varietäten.- 1. Reguläre Punkte algebraischer Varietäten. Reguläre lokaleRinge.- 2. Die Nullteiler eines Rings oder Moduls. Primärzerlegung.- 3. Reguläre Folge. Cohen-Macaulay-Moduln und -Ringe.- 4. Ein Zusammenhangssatz für mengentheoretische vollständige Durchschnitte im projektiven Raum.- Literaturhinweise.- VII. Projektive Auflösungen.- 1. Projektive Dimension von Moduln.- 2. Homologische Charakterisierung regulärer Ringe und lokal vollständiger Durchschnitte.- 3. Moduln der projektiven Dimension ? 1.- 4. Algebraische Kurven in A3, die lokal vollständige Durchschnitte sind, lassen sich als Durchschnitt zweier algebraischer Flächen darstellen.- Literaturhinweise.- Literatur.- A. Lehrbücher.- B. Originalarbeiten.- Liste der verwendeten Symbole.- Sachwortverzeichnis.
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