Quelle: Wikipedia. Seiten: 30. Kapitel: Normalenvektor, Frenetsche
Formeln, Christoffelsymbole, Zweite Fundamentalform, Geodäte,
Gauß-Weingarten-Gleichungen, Raumkurve, Weingartenabbildung,
Reguläre Fläche, Erste Fundamentalform, Satz von Gauß-Bonnet,
Gaußsche Krümmung, Geodätische Krümmung, Theorema egregium,
Raumkrümmung, Indikatrix, Evolvente, Regelfläche, Satz von
Clairaut, Mittlere Krümmung, Hauptkrümmung, Evolute,
Tangentialebene, Weylsches Einbettungsproblem, Homöoid, Windung,
Affensattel, Satz von Liouville, Vierscheitelsatz, Kreisevolvente,
Mainardi-Codazzi-Gleichungen, Doppelpunkt. Auszug: Die frenetschen
Formeln (Frenet-Formeln), benannt nach dem französischen
Mathematiker Jean Frédéric Frenet, sind die zentralen Gleichungen
in der Theorie der Raumkurven, einem wichtigen Teilgebiet der
Differentialgeometrie. Sie werden auch Ableitungsgleichungen oder
Frenet-Serret-Formeln genannt, letzteres nach Joseph Serret, der
die Formeln vollständig angab. Wir behandeln die frenetschen
Formeln zunächst im dreidimensionalen Anschauungsraum und stellen
dann die Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen vor. Die Formeln
verwenden eine Orthonormalbasis (Einheitsvektoren, die paarweise
senkrecht aufeinander stehen) aus drei Vektoren (Tangentenvektor ,
Hauptnormalenvektor und Binormalenvektor ), die das lokale
Verhalten der Kurve beschreiben, und drücken die Ableitungen dieser
Vektoren nach der Bogenlänge als Linearkombinationen der genannten
drei Vektoren aus. Dabei treten die für die Kurve
charakteristischen skalaren Größen Krümmung und Torsion auf. Der
Vektor verbindet zwei Punkte der Bahn und hat die Länge . Für geht
gegen die Bogenlänge des zwischen und gelegenen Bahnstücks: Vom
Anfangspunkt zum Punkt beträgt die Bogenlänge der Bahn Gegeben sei
eine durch die Bogenlänge parametrisierte Raumkurve: .Für einen
Kurvenpunkt erhält man durch Ableiten nach den
Tangenteneinheitsvektor, der die momentane Richtung der Kurve, also
die Änderung der Position bei einer Änderung der Bogenlänge,
angibt: .Wegen ist der Betrag der Ableitung gleich 1; somit handelt
es sich um einen Einheitsvektor. Der Tangenteneinheitsvektor ändert
entlang der Bahn im Allgemeinen seine Richtung, nicht aber seine
Länge (er bleibt stets ein Einheitsvektor) bzw. . Daraus kann man
folgern, dass die Ableitung des Tangenteneinheitsvektors senkrecht
zu diesem steht: Die Bahnkurve kann man in eine Taylorreihe um
entwickeln: Bahnkurve (rot) mit Tangenteneinheitsvektoren und
Schmiegkreis mit Radius . zur Veranschaulichung übertrieben groß
gewählt.Die Näherungskurve zweiter Ordnung in ist eine Parabel, die
in
