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Lässt sich die Zukunft vorhersagen, Glück berechnen? Bis zur Mitte des 17. Jahrhunderts lautete die Antwort: Nein. Doch dann erfanden Blaise Pascal, einer der berühmtesten Philosophen seiner Zeit, und Pierre Fermat, der genialste Mathematiker der Epoche, in einem Briefwechsel die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Keith Devlin, Autor des Bestsellers "Das Mathe-Gen", erzählt hier, wie das Wahrscheinlichkeitsdenken ausgehend von den Spielsalons unsere Alltagswelt erobert hat. Das Problem, über das sich Pascal und Fermat brieflich austauschten, war nur ein abgebrochenes Glücksspiel. Doch was sie dabei entdeckten, sollte unsere Ansicht über die Zukunft revolutionieren. Die von ihnen erfundene Methode, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, mit der bestimmte Ereignisse eintreten, hat viele Errungenschaften der modernen Welt - vom Versicherungs- und Kreditwesen über Risikoabschätzungen und Kosten-Nutzen-Analysen bis hin zu Wetterprognosen und Demoskopie - erst ermöglicht. In seinem ebenso kenntnisreichen wie unterhaltsamen Buch erzählt Devlin, wie Mathematik, und Wissenschaft überhaupt, gemacht wird.
Versüßte Abstraktion: Eine Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung von Keith Devin
Wenn Ihnen jemand verrät, dass er zwei Kinder hat und eins davon ein Mädchen ist, wie hoch liegt dann die Wahrscheinlichkeit, dass es sich beim anderen auch um ein Mädchen handelt? Wenn Sie darauf jetzt sofort antworten wollen: „Natürlich bei 50 Prozent” und sogar bereit wären, eine entsprechende Wette abzuschließen, sollten Sie sich zügeln. Die Wahrscheinlichkeit liegt nämlich nur bei 33 Prozent, was dem gesunden Menschenverstand hohnzusprechen scheint. Doch überlegen Sie: Es gibt in dieser Familie vier mögliche Fälle, nämlich dass erst ein Mädchen und dann ein Junge geboren wird, oder erst ein Junge und dann ein Mädchen, oder erst ein Mädchen und dann noch eins, oder erst ein Junge und dann noch einer. Durch die Auskunft des Vaters ist von diesen vier gleich wahrscheinlichen Möglichkeiten bloß eine einzige ausgeschlossen worden, nämlich die letzte. Bleiben drei Fälle, und nur in einem davon ist auch das zweite Kind ein Mädchen. Gibt der Vater hingegen an, das ältere Kind sei ein Mädchen, so steigt die Aussicht, dass auch das jüngere eins ist, tatsächlich auf 50 Prozent an.
Wenn Sie hier danebengeraten haben, brauchen Sie sich nicht zu genieren; etwas ganz Ähnliches ist auch dem großen Philosophen und Mathematiker Blaise Pascal im 17. Jahrhundert widerfahren. Der Mathematikprofessor und Wissenschaftsjournalist Keith Devlin hat jetzt ein schmales Buch zur Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung geschrieben, das im Deutschen den etwas irreführend allgemeinen Titel trägt „Pascal, Fermat und die Berechnung des Glücks”, im englischen Original jedoch den sehr viel präziseren „The Unfinished Game. Pascal, Fermat and the Seventeenth-Century Letter That Made the World Modern”. Es handelt sich tatsächlich im Kern nur um einen einzigen Brief von rund dreitausend Wörtern Länge, in dem sich Pascal mit dem „Problem des abgebrochenen Spiels” befasst, das heißt mit der Frage, welcher Betrag vom Gesamteinsatz an die einzelnen Teilnehmer auszuzahlen ist, wenn jeder von ihnen während des bisherigen Verlaufs einen unterschiedlich hohen Punktestand und damit eine andere Chance, den Jackpot zu knacken, erreicht hat. Pascal tut sich sehr schwer mit der Antwort; und er irrt. Aber gerade dieser Irrtum beflügelt seinen Korrespondenzpartner Pierre de Fermat zur richtigen Lösung. So begründen sie gemeinsam die neue Disziplin der Stochastik.
Von Fermat hat eine breitere Öffentlichkeit in den letzten Jahren dank Simon Singhs Bestseller „Fermats letzter Satz” gehört. Dieser besteht in der Behauptung, es sei unmöglich, den Satz des Pythagoras auf die dritte Dimension auszudehnen, also für die Gleichung „a³+ b³ = c³” eine ganzzahlige Lösung zu finden. Der nach drei Jahrhunderten doch noch geführte Beweis (der Andre Wiles zum berühmtesten lebenden Mathematiker machte) fiel dermaßen komplex aus, dass Singh es aufgab, dem Leser irgendetwas davon verständlich machen zu wollen, und die zweite Hälfte seines Buchs komplett aus dem Fundus der Anekdote bestritt. Das hatte für den gutwilligen Laien etwas sehr Frustrierendes, denn er bekam sozusagen nicht einmal die Chance zu scheitern.
Auch Devlin macht von den farbigen Lebensläufen und Charakteren seiner Protagonisten effektvollen Gebrauch. Besonders Fermat scheint ein hinreißendes Scheusal gewesen zu sein; worin er aber nur knapp vor dem alten Streithammel Girolamo Cardano liegt, dessen Karriere einen scharfen Knick erlitt, als sein Sohn wegen Giftmords an seiner liederlichen Ehefrau hingerichtet wurde, der aber gleichwohl die Kardanwelle und die kardanische Aufhängung erfand.
Fasziniert blickt der Leser auf das Titelkupfer des ersten im eigentlichen Sinn statistischen Werks, John Graunts Auswertung der Londoner Sterbetafeln von 1664-65: Wo er heute nichts als langweilige Tabellen zu gewärtigen hätte, da lachen ihn Totenschädel, überkreuzte Gebeine, Sanduhren und die Gerätschaften des Totengräbers an. So eindringlich wurde den Zeitgenossen die Abstraktion versüßt! Auch Devlin beschreitet jenen Pfad und setzt auf die Lockung: „Leser, denen Formeln Kopfschmerzen bereiten, können dieses Kapitel überspringen. Aber dann verpassen sie ein Beispiel dafür, dass eine scheinbar niederschmetternde medizinische Prognose bei der richtigen Deutung ihre Schrecken verlieren kann.” Devlins Aufgabe gestaltet sich indes nicht ganz so unmöglich wie im Fall von Singh und Fermat, denn die Anfangsgründe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lassen sich durchaus einigermaßen fasslich machen.
Man mag einwenden, dass jemand, der keine Formeln mag, besser überhaupt die Finger von einer Geschichte der Mathematik lässt, so wie er auch nicht einem Schwimmverein beitreten sollte, wenn er keine Nässe verträgt. Doch zu den erfreulichsten Eigenschaften des Buchs gehört es, dass es seine Formeln zu versprachlichen versteht. So findet sich zum Beispiel bei Pascal eine Zwillingsformel: „p x X + (1 – p) x Y” und „p x unendlich + (1 – p) x Z”, die auf Anhieb erst mal ratlos macht. Sie dient dem Ausdruck von Pascals religiöser und ethischer Grundannahme. Der Autor erklärt: Benimm dich besser so, als gäbe es Gott und als würde er dereinst Gericht halten, denn selbst wenn die Wahrscheinlichkeit seiner Existenz infinitesimal gering sein sollte, so sind Lohn und Strafe, die für diesen Fall in Aussicht stehen, als eine unendliche Größe anzusetzen, sodass der Erwartungswert nach beiden Richtungen das, was einem Atheisten hienieden allenfalls widerfahren kann, unbedingt um einen mehr als empfindlichen Betrag übersteigt. Sich vor der Hölle zu fürchten, hat auch dann Sinn, wenn die Chancen 1:1000 stehen sollten, dass es sie gar nicht gibt; und Atheismus ist in jedem Fall eine dumme Spielstrategie. Nach Lektüre von Devlins Buch ist man überzeugt, dass die Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung wahrlich keine Grenzen kennt. BURKHARD MÜLLER
KEITH DEVLIN: Pascal, Fermat und die Berechnung des Glücks. Eine Reise in die Geschichte der Mathematik. Aus dem Englischen von Enrico Heinemann. Verlag C.H. Beck, München 2009. 204 Seiten, 17,90 Euro.
Atheismus ist in jedem Fall eine dumme Spielstrategie
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Abzählen mit Pascal und Fermat: Keith Devlin zeichnet nach, wie das Denken in Wahrscheinlichkeiten unsere Alltagswelt vom Spieltisch aus eroberte.
Er war kein gewöhnlicher Spieler. Girolamo Cardano war ein Zocker, der am Spieltisch das von seinem Vater ererbte Vermögen durchbrachte, dann die Möbel und den Schmuck seiner Frau. Er spielte jeden Tag, obschon er besser als jeder andere wusste, dass er auf Dauer nur verlieren konnte. So finden sich in seinem 1524 geschriebenen, aber erst 1663 gedruckten "Buch vom Würfelspiel" die Gesetze zur Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten. "Der größte Vorteil", so Cardano, "erwächst aus dem Spiel, das man gar nicht spielt."
Der Mathematik sind allerdings erhebliche Vorteile aus dem Glücksspiel erwachsen. Das schildert der britische Mathematiker Keith Devlin eindrucksvoll in seinem Buch über "Pascal, Fermat und die Berechnung des Glücks". Es ist ein Streifzug durch die Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung, aufgehängt an dem Briefwechsel zweier ihrer Protagonisten, genauer: an einem Brief, den Blaise Pascal am 24. August 1654 an seinen Landsmann Pierre de Fermat schrieb. Für Devlin ist dieser Brief "die Gründungsakte der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie". Von dort aus wirft er den Blick zurück zu Vordenkern wie Cardano und in die Zukunft der Versicherungsmathematik und des Risikomanagements.
Pascals Brief an Fermat ist ein gut gewählter Beleg dafür, wie das Denken in Wahrscheinlichkeiten unsere Alltagswelt vom Spieltisch aus erobert hat. Sein Verfasser war ein schon in jungen Jahren herausragender Mathematiker, zugleich Erfinder einer mechanischen Rechenmaschine, streng religiös und von eher asketischem Gemüt. Nur ein Schilfrohr sei der Mensch, schrieb Pascal, das Zerbrechlichste in der Welt: "Aber ein Schilfrohr, das denkt."
Das Würfelspiel konfrontierte Pascal mit neuen Fragestellungen. Hatte er sich zuvor mit Kegelschnitten befasst, dachte er nun darüber nach, warum die Chancen, mit zwei Würfeln einen Sechserpasch zu erzielen, selbst bei 24 Würfen immer noch knapp unter fünfzig Prozent liegen. Pascal suchte Rat bei Kollegen. 1654 wandte er sich an Pierre de Fermat.
Der Jurist und Anwalt am Obersten Strafgericht in Toulouse galt als begnadeter Zahlentheoretiker. Die Rechenkunst war nur eine Freizeitbeschäftigung für ihn, er hatte nie eine akademische Position inne. Dennoch lieferte Fermat wegweisende Beiträge zur analytischen Geometrie und der damals aufkommenden Infinitesimalrechnung. Als 1653 wieder einmal die Pest in der Region wütete, erkrankte er und wurde kurzerhand für tot erklärt. Erweckten ihn Pascals Briefe im Jahr darauf zu neuem Leben?
Pascal wollte wissen, wie die Spieleinsätze bei einem Würfelspiel zu verteilen sind, wenn ein Spiel vorzeitig abgebrochen werden muss. Fermat interessierte sich nicht sonderlich für Glücksspiele. Doch weil der einunddreißigjährige Pascal voller Hochachtung an seinen erfahrenen Landsmann herantrat und noch dazu sein eigenes Talent zu erkennen gab, wollte ihm Fermat die Antwort nicht schuldig bleiben.
Sie kam postwendend. Allerdings war sie für Pascal nicht leicht zu verstehen - und das dürfte auch für heutige Durchschnittsleser gelten. Devlin kommentiert den Brief daher Absatz für Absatz. Als erfahrener Autor und Kolumnist der Tageszeitung "The Guardian" findet er einfache, treffende Beispiele, um den Kern der mathematischen Anfrage und die Struktur des Problems herauszuarbeiten.
Wenn Ihnen jemand erzählt, er habe zwei Kinder, und Sie im Verlauf des Gesprächs heraushören, dass mindestens eins davon ein Mädchen (M) ist, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich beim zweiten Kind um einen Jungen (J) handelt? Der erste Gedanke: 50 Prozent. Ist das richtig?
Bei zwei Kindern gibt es vier Möglichkeiten: M-M, M-J, J-M, J-J. Mit dem Wissen, dass mindestens ein Kind ein Mädchen ist, entfällt die Letzte. Die verkürzte Liste lässt erkennen, dass die Wahrscheinlichkeit für zwei Mädchen mit 33 Prozent nur halb so hoch ist wie die für ein Mädchen und einen Jungen. Anders wäre es, wenn Ihr Gesprächpartner gesagt hätte: "Die Älteste ist ein Mädchen." Dann würde auch die vorletzte Variante entfallen, und die Chancen für einen Jungen lägen tatsächlich bei 50 Prozent.
Interessanterweise hat das Spielabbruchproblem, das Pascal beschäftigte, eine ähnliche Lösung. Betrachten wir den einfachen Fall, dass zwei Spieler, nennen wir sie wieder M und J, eine Münze werfen: Kopf oder Zahl. Sie spielen fünf Runden, gewonnen hat, wer mindestens drei Runden für sich entscheidet. Doch beim Stand von zwei zu eins für M müssen sie das Spiel vorzeitig beenden. Wie sind die Einsätze aufzuteilen?
Die naheliegende Antwort lautet: im Verhältnis zwei zu eins. Doch schon Cardano erkannte, dass dies nicht richtig sein kann. Nicht der Spielstand entscheidet. Stattdessen liegt der Schlüssel zur Lösung in der Anzahl der Punkte, die den Spielern noch zu einem Sieg fehlen.
Die beiden noch ausstehenden Runden könnten mit je gleicher Wahrscheinlichkeit mit folgenden Siegern enden: M-M, M-J, J-M, J-J. Da aber M nur noch ein einziger Punkt zum Gesamtsieg fehlt, ist M gegenüber J mit drei zu eins im Vorteil. M stehen folglich 75 und nicht nur 66 Prozent der Einsätze zu.
Pascals Anfrage im Sommer 1654 war komplizierter. Fermat aber löste das Problem auf ähnliche Weise: Er listete einfach alle Kombinationen auf. Darunter waren auch solche, die vielleicht gar nicht mehr gespielt werden mussten, weil das Spiel schon vorher beendet sein konnte. Gerade dies machte seinem Briefpartner zu schaffen. Deshalb suchte Pascal nach einer anderen Lösung, die er schließlich auch fand.
Devlin versteht es, die Stolpersteine farbig zu markieren, die selbst große Mathematiker wie Pascal beim Denken in Wahrscheinlichkeiten aus dem Tritt brachten. Die oft biographisch eingeleiteten Kapitel entfernen sich im zweiten Teil des so anregenden wie lehrreichen Buches immer weiter von Pascals denkwürdigem Brief. Der Autor erzählt nun von den Sterbetafeln, die der Brite John Graunt in Pascals Todesjahr erstellte und die schon bald zur Datenbasis für Lebensversicherungen werden sollten. Schließlich gelangt er zur Bayes'schen Formel, mit der der Londoner Pfarrer Thomas Bayes der Wahrscheinlichkeitstheorie im 18. Jahrhundert eine originelle Wendung gab. "Leser, denen Formeln Kopfschmerzen bereiten, können dieses Kapitel überspringen", heißt es dort. Dank umsichtiger Erläuterungen verliert jedoch selbst diese heute bedeutende Gleichung in Devlins Darstellung ihren Schrecken.
THOMAS DE PADOVA
Keith Devlin: "Pascal, Fermat und die Berechnung des Glücks". Eine Reise in die Geschichte der Mathematik. Aus dem Englischen von Enrico Heinemann. C. H. Beck Verlag, München 2009. 205 S., Abb., geb., 17,90 [Euro].
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Perlentaucher-Notiz zur Süddeutsche Zeitung-Rezension
Rezensent Burkhard Müller hat sich ganz gefesselt in Keith Devlins Darstellung der historischen Anfänge der Wahrscheinlichkeitsrechnung vertieft. Er ist sich sicher, dass hier auch diejenigen Leser auf ihre Kosten kommen, die nicht gerade für mathematische Formeln schwärmen. Der britische Mathematikprofessor und Wissenschaftsjournalist Devlin zeichne nicht nur die Pioniere der Wahrscheinlichkeitsrechnung Blaise Pascal und Pierre de Fermat, ein "hinreißendes Scheusal" überaus lebendig. Er verstehe es auch, dem mehr oder weniger geneigten Leser die mathematischen "Abstraktionen", um die es hier geht, zu "versüßen" und zu veranschaulichen, freut sich der Rezensent. Und so werde selbst die "Zwillingsformel" Pascals für Nichtmathematiker schließlich dahingehend "fasslich", dass es allemal sicherer ist, an die Existenz Gottes zu glauben als Atheist zu sein, so Müller sehr eingenommen.
© Perlentaucher Medien GmbH
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