Andere Kunden interessierten sich auch für
![Hirngeflüster]( "Hirngeflüster")
Hirngeflüster12,00 €![Der Quantensprung des Denkens]( "Der Quantensprung des Denkens")
Der Quantensprung des Denkens14,00 €![Alles wird Zahl]( "Alles wird Zahl")
Alles wird Zahl15,00 €![Welt-Formeln]( "Welt-Formeln")
Welt-Formeln14,00 €![Zahlen]( "Zahlen")
Zahlen9,95 €![HOW TO - Wie man's hinkriegt]( "HOW TO - Wie man's hinkriegt")
HOW TO - Wie man's hinkriegt12,00 €![Null, unendlich und die wilde 13]( "Null, unendlich und die wilde 13")
Null, unendlich und die wilde 1315,00 €
Jeder Mensch kann denken. Doch ganz so wie beim Laufen, Sprachenlernen oder Organisieren können einige von uns es besser, andere weniger gut oder gar schlecht. Für alle gibt es jedoch eine erfreuliche Nachricht: Ebenso wie die anderen Fähigkeiten lässt sich auch das Denken verbessern - durch Übung, Vervollkommnung der Technik und Einsatz von Hilfsmitteln. Das äußerst vergnüglich zu lesende Buch stellt knapp zwei Dutzend leicht verständliche, doch ungemein wirksame Denkwerkzeuge vom Analogieprinzip über den Widerspruchsbeweis bis hin zur Brute-force-Methode vor. Bei mittlerer Kondition sind sie alle mit einfacher Schulmathematik zu verstehen. Diese bewährten Techniken des formalen Denkens erleichtern die Erzeugung von Ideen und steigern die Erfolgsaussichten bei der Lösung von Problemen. Zugleich zeigen die unterhaltsamen Gedankenreisen des Buches, daß Denken und Spaßhaben sich keineswegs ausschließen.
Christian Hesse erläutert die Werkzeuge der Mathematiker und weiß dazu manche gute Geschichte zu erzählen
Wie brät sich ein Mathematiker zwei Eier? Erster Fall: Die Eier sind im Keller. Dann bringt er sie in die Küche und brät sie. Zweiter Fall: Die Eier sind in der Küche. Dann trägt er sie hinunter in den Keller und geht zurück in die Wohnung. Damit ist das Problem auf den ersten Fall zurückgeführt. In Christian Hesses Buch über "Das Einmaleins des klaren Denkens" ist das neunte der Werkzeuge das "Spezialisierungsprinzip". Man löst ein Problem, indem man zunächst einen Spezialfall behandelt und dann alle anderen Fälle darauf zurückführt. Wie man an diesem alten Beispiel sieht, funktioniert das sehr gut.
Der Verlag verkauft das Buch als eine Einführung in klares Denken. Er hätte es klipp und klar eine Einführung in das mathematische Denken nennen sollen. Aber vielleicht hat man Angst, mit dem M-Wort ein paar potentielle Käufer zu vergraulen. Hesse ist Mathematikprofessor in Stuttgart, sein Buch ist ein Bauchladen, in dem man viel findet und viel nicht findet. Gerade das macht seinen Reiz aus.
Man könnte das Wesen der Schreinerei beschreiben, indem man berichtete, wie ein Schreiner mit Säge, Hobel, Bohrer und so weiter arbeitet. Genau das wird hier für die Mathematik anhand ihrer effektivsten Werkzeuge auf elementare Weise durchgeführt. Das sind Werkzeuge wie zum Beispiel das "Randomisierungsprinzip". Ein cleveres Beispiel einer Anwendung davon ist die folgende: Wie kann ich abschätzen, wie viele Fische in einem Teich sind? Ich fange n Stück davon, markiere sie alle mit einem roten Punkt und setze sie zurück. Dann fange ich erneut Fische. Wenn der Anteil der markierten Fische x Prozent ausmacht, dann müssen insgesamt ungefähr 100n/x Fische im Teich sein.
Hesse mischt witzige Trivialbeispiele mit solchen, die man nur versteht, wenn man den Gedankengang sorgfältig verfolgt. Ein Beispiel für Letztere ist der Große Fermatsche Satz, der besagt, dass für n[größer]2 die Summe von zwei positiven n-ten Potenzen keine n-te Potenz sein kann. Der Satz wurde von Fermat im siebzehnten Jahrhundert formuliert, aber erst 1994 von Andrew Wiles bewiesen. Natürlich war die endlich doch gefundene Lösung eine kollektive Leistung. Den Beweis kann Hesse freilich nur skizzieren.
Was er aber vollständig vorführt, ist ein Beweis für den Spezialfall n=4, der von Fermat stammt. Hier kommt wieder eines von den vorgestellten Denkwerkzeugen zur Anwendung, diesmal das "Prinzip Unendlicher Abstieg". Wir wollen zeigen, es gibt etwas nicht, in diesem Fall ein Tripel von positiven ganzen Zahlen (x,y,z) mit x [hoch]4 + y[hoch]4= z[hoch]4. Dazu machen wir einen Widerspruchsbeweis - Werkzeug Nr. 6, das "Gegenteilsprinzip" - und nehmen an, das gibt es doch. Mit einer trickreichen Konstruktion finden wir dann ein neues Tripel (X,Y,Z) mit X[hoch]4 + Y[hoch]4 =Z[hoch]4 und Z[kleiner]z. Das ist der Abstieg. Wir sind sozusagen auf einer Treppe eine oder mehrere Stufen nach unten gegangen. Wenn wir diesen Prozess wiederholen, kommen wir irgendwann am Fuß der Treppe an, und da tritt der Widerspruch auf. Der Abstieg ist endlich und unendlich zugleich. Das haut nicht hin.
Das allerletzte Werkzeug, wenn gar nichts anderes zu helfen scheint, ist das "Brute-Force-Prinzip". Man probiert alle Möglichkeiten aus, wenn das denn geht und die Zeit dafür reicht. Auch ein perfekter Code beispielsweise lässt sich so prinzipiell immer knacken. Immerhin kann man mit viel Glück das Brute-Force-Prinzip vielleicht auf ein kleineres Teilproblem beschränken. So hat Alan Turing im Zweiten Weltkrieg die deutschen Verschlüsselungsmaschine "Enigma" geknackt.
Hesses Buch ist eine Sammlung von schönen mathematischen Geschichten, so wie sie vor Zeiten Martin Gardner in seiner Kolumne im "Scientific American" erzählt hat. Nur sind diese Geschichten hier halbwegs systematisch nach den Lösungsmethoden geordnet. Das Faszinierende an der Mathematik ist freilich gerade, dass man vorher nicht weiß, welche Probleme leicht sind und welche sich als schwierig zu lösen herausstellen.
Der Autor versteht mitreißend zu schreiben. Man spürt, dass er das Material über Jahre liebevoll gesammelt hat. Sein Sinn für Komik ist gut entwickelt. Zum Beispiel erläutert er das sechste Werkzeug, das Gegenteilsprinzip, mit einem Zitat von Donald Rumsfeld: "Wie wir wissen, gibt es Dinge, die wir wissen. Wir wissen auch, dass es Unbekanntes gibt, von dem wir wissen, dass es unbekannt ist. Wir wissen, dass es Dinge gibt, die wir nicht wissen. Aber es gibt auch Dinge, von denen wir nicht wissen, dass wir sie nicht wissen."
Hesse hat das ganze Buch mit solchen Kostbarkeiten gespickt. Manchmal schweift er auch etwas von seinem Thema ab, aber das kann man über den "Tristram Shandy" von Laurence Sterne auch sagen. Zum Beispiel ist das achtzehnte Werkzeug das "Färbungsprinzip". Das Färben meint nur die Zerlegung einer Menge in unterschiedliche Typen von Elementen. Die Farben sind hier willkürlich gewählte Etiketten. Trotzdem berichtet uns Hesse erst einmal lange darüber, wie die Bantus in Kamerun die Farben des Regenbogens sehen.
Die Mischung des Bandes enthält alles, von absurden Spielereien bis hin zu profunden Einsichten. Vielleicht kommt ja irgendwann noch ein zweiter Band, der uns auch noch über die Verteilung der Primzahlen, die Quadratur des Kreises oder den Fundamentalsatz der Algebra informiert. Und zum Abschluss noch eine kleine Aufgabe: Haben Frauen mehr Brüder als Männer? Aber Vorsicht, da lauert eine Denkfalle.
ERNST HORST.
Christian Hesse: "Das Einmaleins des klaren Denkens". 22 Denkwerkzeuge für ein besseres Leben. Verlag C. H. Beck, München 2009. 352 S., Abb., br., 14,95 [Euro].
Alle Rechte vorbehalten. © F.A.Z. GmbH, Frankfurt am Main
Perlentaucher-Notiz zur F.A.Z.-Rezension
Hingerissen zeigt sich Rezensent Ernst Horst von diesem Buch des Mathematikprofessors Christian Hesse. Ein klein wenig irreführend scheint ihm der Titel "Das Einmaleins des klaren Denken", schließlich ist das Buch seines Erachtens vor allem eine Einführung in das mathematische Denken, bei der man die Gedankengänge mitunter recht genau verfolgen müsse, um die Beispiele zu verstehen. Er vergleicht das Buch mit einem "Bauchladen", der viel bietet, manches aber auch nicht, was für ihn den Reiz ausmacht. So findet er darin Trivialbeispiele, Anspruchsvolles wie einen Spezialfall des Satzes von Fermat, "absurde Spielereien" und tiefgründige Einsichten. Insgesamt schätzt er das Buch als Sammlung von "schönen mathematischen Geschichten". Mit besonderem Lob bedenkt er die Sprache des Autors, die er als "mitreißend" empfindet, sowie seinen Sinn für Komik.
© Perlentaucher Medien GmbH
© Perlentaucher Medien GmbH